Ich entschuldige mich. so wie ech verstehe, ist es : Man muss sich die Anzahl merken, wie oft man durch das Zahlensystem gesprungen ist. dh 3 +4 zb im 5er system = 2, (da man 1 mal durchs ganze 5er gesprungen ist, schreibt man dann 12)

Beim Nachweis der nicht glm. Stetigkeit auf ganz R muss man ja für ein selbstgewähltes eps die genannte Eigenschaft nachweisen. Ich habe mir einfach eps=1 gewählt und dann muss ich für ein beliebig (kleines) delta>0 zwei Punkte x,x1 finden, die nah beieinander sind (Abstand kleiner delta) und deren Funktionswerte aber mindestens Abstand 1 (eps) haben. Dass ich konkret x=1/delta nehme und x1 = x+delta gewählt habe, liegt einfach daran, dass ich dafür tatsächlich weiß, dass die Funktion die notwendige Eigenschaft hat. Das funktioniert hier so, weil wir konkret die Funktion f(x) = x^2 haben. Bei einer anderen Funktion muss man x und x1 bestimmt anders wählen. Wenn man x = 1/delta wählt, dann sorgt das dafür, dass bei einem seeehr kleinem delta das x seeeeehr groß ist die Funktion x^2 dann auch seeehr stark steigt. Kurzum: Die Wahl x=1/delta ist kein Patentrezept, funktioniert in diesem Fall. Bei einer anderen Funktion muss man eine neue Idee haben.

Der Abstand zwischen den beiden (angeblichen) Grenzwerten ist ja |a-b| und wenn man eps = |a-b| / 3 wählt, dann überlappen sich die eps-Umgebungen der beiden Grenzwerte nicht. Somit kann die Folge nicht in beiden Umgebungen der beiden Grenzwerte gleichzeitig sein.

Wenn man mit S_n die Summe von 1+1/2+...+1/n bezeichnet, dann ist ja (S_2n - S_n)>=1/2. Die Reihe konvergiert gdw. die Folge S_n konvergiert. Weil eine Folge konvergiert gdw sie eine Cauchy-Folge ist, hat man insgesamt die Aussage: Die Reihe konvergiert gdw die Folge S_n ist eine Cauchy-Folge. Aber wg. | S_2n - S_n | >= 1/2 ist die Folge S_n keine Cauchy-Folge. Denn die Cauchy-Eigenschaft sagt ja, dass man für ein beliebiges eps>0 einen Index n0 finden kann, so dass | S_m - S_n | < eps ist, wenn k,m>=n0. Wenn man eps=1/4 setzt, dann kann man ein solches n0 nicht finden, weil ja für jedes n0 gilt: | S_2n0 - S_n0 | > 1/2 > eps. Somit ist S_n keine Cauchy-Folge.

Ne, das wurde nicht vergessen. Bei der Substitution werden ja auch die Grenzen angepasst (von 0 bis pi^2) zu (von 0 bis pi). Wenn man also ein bestimmtes Integral hat, dann ist eine Resubstitution nicht nötig. Anders sieht es aus, wenn man ein unbestimmtes Integral hat. Dann sucht man ja die Stammfunktion von cos(wurzel(x)). Wir sind durch die Substitution zum Term 2(t sin(t)+cos(t)) gekommen. Für die Stammfunktion muss man dann tatsächlich die Substitution rückgängig machen, dh. 2(wurzel(x) sin(wurzel(x)) + cos(wurzel(x)))+C ist die Stammfunktion.

Gute Frage! Nein, da muss man anders vorgehen: Wenn man 138,732 im 10er-System hat und ins 5er-System umwandeln möchte, dann muss man zuerst die 138 wie im Video beschrieben nach 1023 umrechnen. Die Nachkommastellen, also 0,732 im 10er System, wandelt man dann wie folgt in Nachkommastellen des 5er-Systems um: 0,732 * 5 = 3,66 ---> Ziffer 3 Rest 0,66 0,66 * 5 = 3,3 ----> Ziffer 3 Rest 0,3 0,3 * 5 = 1,5 ----> Ziffer 1 Rest 0,5 0,5 * 5 = 2,5 -----> Ziffer 2 Rest 0,5 0,5 * 5 = 2,5 ------> Ziffer 2 Rest 0,5 (jetzt merkt man hoffentlich, dass das unendlich lang weiterläuft) Das Ergebnis für die Nachkommastellen im 5er-System ist dann 0,33122222222... Insgesamt ist also 138,732 im 10er-System die Zahl 1023,33122222222222... im 5er System Die Nachkommastellen 0,732 werden also umgerechnet in 3/(5^1) + 3/(5^2) + 1/(5^3) + 2/(5^4) + ... HTH

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Ja, stimmt. Da habe ich eine Nullstelle zuviel eingezeichnet. Ich war halt so im Schwung ;-)

Ooops :-) Sehr gut beobachtet! Der Fehler ist beim Ende der Schleife: Jede for-Schleife endet bei "end" und diesen Wert berechne ich durch (i+1)* (long) (N/T). Das ist dann problematisch, wenn N _nicht_ durch T teilbar ist, weil die Long-Division ja keine Nachkommastellen produziert. Somit fallen bei T=12 exakt 7 Summanden weg... Beheben kann man das durch eine Fallunterscheidung: Wenn i==T-1 ist, dann ist end = N zu wählen. Danke für den Hinweis!

@@HenningDierks Lieben Dank für die Erklärung!

Das stimmt. Dann haben beide Intervalle unendlich viele Folgenglieder. In dem Fall darf man sich ein Intervall aussuchen. Wichtig für den Nachweis von einem Häufungspunkt ist, das mindestens eins der beiden unendlich viele Folgenglieder hat. Und wenn es zwei oder mehr Häufungspunkte gibt, dann wird man zwangsläufig auch mal in der Lage sein, sich für eine der beiden Hälften entscheiden zu dürfen

Moin! Danke für diesen Hinweis. Das ist in der Tat ein Vorzeichenfehler. Zum Glück ändert das nichts an der Aussage über die Konvergenz 🙂

@@HenningDierks Vielen Dank für die Antwort und Videos!

Völlig richtig, da habe ich das Vorzeichen verdreht :-/

Ich habe dazu noch zwei andere Videos: kzbin.info/www/bejne/jWfShqF9hKerqLs und kzbin.info/www/bejne/fIfNloqandeajqc Viele Grüße, HD

Ja, das geht auch, wenn man ausnutzt, dass [a,b] kompakt ist. Weil [a,b] kompakt ist, kann man aus einer unendlichen Überdeckung von [a,b] mit offenen Mengen, eine endliche Auswahl treffen, die [a,b] auch überdeckt. Ganz grob geht das dann so: Wähle ein epsilon>0 fest. Dann hat man für alle x aus [a,b] eine delta-Umgebung, so dass die Stetigkeitseigenschaft (mit epsilon/2) gilt. Aus diesen (unendlich vielen) delta-Umgebungen kann man dann endliche viele wählen, die auch [a,b] überdecken. Dann wählt man das Minimum der deltas, die die unendliche Überdeckung bilden. Für dieses Minimum-Delta kann man dann die gleichmäßige Stetigkeit nachrechnen. HTH, HD

Die Daumen sind gedrückt!

Wenn es um die Reihe 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... geht, dann wird man nicht nachweisen können, denn diese Reihe konvergiert nicht. kzbin.info/www/bejne/hoKcgGWdpdOgZ80

Der Grund, warum h so gewählt wird, ist das Ziel, dass der Satz von Rolle anwendbar ist und als Konsequenz daraus die Aussage des 2. MWS folgt. In meiner Analysis-Vorlesung, die ich damals gehört habe, wurde h einfach so hingeschrieben (ohne Motivation oder Erklärung) und man stellte fest, dass es damit passt. Fertig... Bei dem Video habe ich versucht, die Wahl von h geeignet zu motivieren, indem ich diese Metapher verwende. Die Interpretation von g (erklommene Höhenmeter) und f (gefahrene Meter) soll helfen, die Konstruktion von h nachzuvollziehen. Mit dieser Metapher kann man h(x) eben so lesen: Die Differenz zwischen aktuell erklommenen Höhenmetern und den durchschnittlich zu erwartenden erklommenen Höhenmetern zum Zeitpunkt x. HTH, HD

Es ist ja bekannt, dass ln(x) gegen +unendlich geht, wenn x gegen +unendlich geht. Dann folgt aber auch: Wenn x -> +unendlich, dann folgt ln(x)-> +unendlich, und dann muss auch ln( ln(x) )->+unendlich gehen, weil ja der innere Wert gegen +unendlich geht,