Ну вроде всё понятно. Сначала сообразил, что корни не могут быть больше единицы, потом угадал один из них (x=-2). Затем представил всё уравнение, как (x+2)(6x^2-x-1), приравнял к 0 вторые скобки и нашёл ещё 2 корня.

При x^4 единица и при x^2 единица

Не видишь группировку - не надо, просто представь уравнение как (x+2)(x^2+x+3), приравняй к нулю каждый множитель и реши. Мнимые корни найди, если того требует задание.

Сразу видно, что большей степени x соответствует больший коэффициент, поэтому все положительные корни меньше единицы. А отрицательных быть не может, т.к. перед 8x^2 стоит минус, и перед свободным членом тоже. Угадываем x=0,5, затем представляем всё выражение, как (x-0,5)(24x^2+4x+2)=0, приравниваем вторую скобку к 0 и находим корни, которые будут мнимые, если надо.

Ну нет рациональных нулей, зато иррациональные мне нравятся. X=+-sqrt2. Дальше нужно раскладывать на множители и приравнивать к 0. Получится (x^2-2)×(x^2+x+1)=0. Кстати, а почему не искать нули среди корней из свободного члена?

Ну вот лично я сходу угадал, что x=-1. А дальше можно применить либо разложение на скобки, либо группировку "наоборот". Ещё правда можно угадать, что x=2.

Конкретно в этом случае можно было сначала угадать один корень (x=-1). А потом представить уравнение вот так: (x+1)(2x^2+7x+6)=0. Приравнять вторую скобку к 0 и найти корни через дискриминант. Ну хотя x=-2 тоже можно было угадать.

Спасибо! Было понятно!

Спасибо . Но можно чуть иначе . Так как x=0 не корень , делим обе части уравнения на x^4 . Вводим новую переменную : (1) t=1-4/x . Значит : (2) x=4/(1-t) . Получаем уравнение : (3) t^4=1 , у которого очевидно четыре корня : t1=1 ; t2=-1 ; t3=i ; t4=-i .( кто не верит - проверьте подстановкой , а больше четырёх , как известно, у уравнения четвёртой степени не бывает 😊) . Подставляем найденные корни в «обратную подстановку» (2) - получаем : x1=4/(1-1) НЕТ ТАКОГО КОРНЯ! x2=4/(1-(-1))=2 !!! X2=2 !!!! x3=4/(1-i)=4*(1+i)/(1-i)*(1+i)=4*(1+i)/(1+1) ; !!! X3=2*(i+1) !!!! x4=4/(1+i)=……..=4*(1-i)/(1+1) ; !!!!! X4=2*(1-i) !!!!! С уважением , Лидий

Можно и в Калининград через Владивосток ехать)))

Та алгебраические преобразования полезны но мне кажется важнее видеть какой смысл это несёт - в идеале насколько это скажем в физике или моделировании родного

В принципе если уравнение способно разложиться, значит оно имеет целый корень, и ,значит, можем его подобрать и поделить на (x-этот корень) в этом случае это -2, значит делим на x+2, и остальные корни находим из квадратного уравнения

Спасибо

Уравнение кубическое, поэтому видим разность (сумму) кубов: x^3 + 2^3 -2x - 4 = 0 --> (x+2)*(...) -2*(x+2) = 0

Получается, что любое уравнение имеет корни, мнимые.

На этот раз корней на бесконечности нет ¯\_(ツ)_/¯

X^3-2x+4=0 тут можно сразу вынести общий множитель. Внимание: мы его выбираем не произвольно, а из того что вообще можно выбрать, тут еще можно выбрать (x^2-2): x(x^2-2)-2x+4=0. Но этот путь никуда не ведет, разложить можно только через радикалы потому что квадрат у х стоит. x^3-2(x-2)=0 то есть (х-2) - это тот самый множитель вокруг которого будем группировать в дальнейшем все уравнение. Дальше просто прибавляем его и вычитаем к исходному уравнению: x^3-2x+4=0 x^3-2x+2x-2x+4=0 x^3-4x+2x+4=0 а теперь группируем вынося наш уже выбранный общий множитель за скобки: x(x^2-4)-2(x-2)=0 x(x-2)(x+2)-2(x-2)=0

Если нам сложно ответить на вопрос "как увидеть разность квадратов", может тогда есть какой-то способ увидеть, что её точно нет?

Почему только 1? Теорема о рациональных корнях даёт следующие варианты: ±1; ±1/2; ±1/3; ±1/4; ±1/6; ±1/8; ±1/12; ±1/24. Причём других рациональных корней быть не может.

Ты минус забыл у 8, 1 корень это минус два

Как хитро Вы поймали зрителей! При верных выкладках в математике (которые точно будут проверять) заложить ошибку орфографическую! "Радуемся правильно решённой (дательный падеж) задач ̲е̲ "

А квадратное уравнение, выделяя полный квадрат, так быстро решать, оказывается! Какие там дискриминанты? x² -6x + 9 - 8 = 0 (x-3)² = (2√2)² x = 3±2√2

То есть, если у нас x⁴ = -4, тогда надо найти 4 числа с модулем ⁴√4 (что равно √2) и такими аргументами, чтобы при их умножении на 4 получалось π. Нарисовав на листочке бумаги эти 4 точки, на том и остановился, задачу посчитал решенной. В видео, спасибо автору, показано что эти четыре точки есть числа ±1±𝑖

уравнение увидел и на автомате стал решать методом неопределенных коэффициентов, приведенное ур. 4-ой степени раскладывается по формуле: (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+bd. Получается система: a+c=1 b+d+ac=-1 ad+bc=-2 bd=-2 Решать проще с последнего ур., берем b=-2, d=1 (можно наоборот) и все устно решается: (x^-2)(x^2+x+1)=0

И какой толк от тех корней?

Вовсе необязательно было решать уравнение, ради ответа на вопрос задачи

3.

*(x−4)⁴ = x⁴* Извлекаем корень: *x − 4 = {±1; ±𝒊}x* Переносим слагаемые: *x − {±1; ±𝒊}x = 4* Приводим подрбные: *{0; 2; 1±𝒊}x = 4* Находим решения: *x = {4/2; 4/(1±𝒊)} = {2; 2±2𝒊}*

подобные уравнения решаются просто: (x-4)^4=x^4 Извлекаем квадратный корень из обеих частей (сразу корень 4 степени нельзя, теряются корни) √((x-4)^4)=√(x^4) (x-4)^2=±x^2 два уравнения: 1) (x-4)^2=x^2 √((x-4)^2)=√(x^2) x-4=±x снова получаем 2 уравнения: 1a) x-4=x - не имеет корней (то самое сокращение x^4) 1b) x-4=-x x=2 Решаем второе уравнение: 2) (x-4)^2=-x^2 √((x-4)^2)=√-(x^2) √((x-4))^2=√(-1)(x^2) x-4=±ix получаем 2 уравнения: 2a) x-4=ix x-ix=4 x(1-i)=4 x=4/(1-i) умножаем числитель и знаменатель дроби в правой части на сопряженное комплексное число 1+i: x=(4(1+i)/((1-i)(1+i)) x=(4(1+i))/2 x=2(1+i) x=2+2i 2b) x-4=-ix решается как предыдущее x=2-2i Итого три корня: 2; 2+2i; 2-2i.

Я себе графики представил. x в чётных степенях выглядит как парабола, стремящаяся к "прямоугольному" виду при увеличении степени. Если в скобках вычитать число, то "парабола" смещается вправо, но не меняет форму. То есть это две "параболы", пересекающие друг друга в одной точке. 1 корень. На словах дольше, чем в уме.

Michael Penn у себя на канале на днях разместил ролик, где он решал _линейное_ уравнение *bx + c = 0* как _квадратное_ *ax² + bx + c = 0* при _стремлении_ старшего коэффициента *a* при *x²* к нулю (т.е. в пределе) и искал корни линейного уравнения по формуле корней квадратного уравнения (через дискриминант) - результат получился довольно интересный (с заходом на территорию проективной геометрии).

Да там невооруженным взглядом сразу видно что уравнение 3-й степени (так как при раскрытии скобок x^4 сократится) и имеет 1 действительный и 2 комплексных корня. Сразу мысленно избавляемся от степени и уравнение распадается на 4 уравнения: 1) x-4=x - корней нет 2) x-4=-x - тут действительный корень 3) x-4=ix - тут комплексный корень 4) x-4=-ix - тут тоже комплексный корень

сразу понял что уравнение 3 степени, слева четвертая степень, коэффициент при старшей степени единица, справа она же, при переносе знак меняется, старшие степени сокращаются.

4:15 _я понял это только сейчас_ Вот это интересно, Виктор. Я - не понимаю. Особенности мышления? Живопись, портрет, логика - понятно. А здесь? Очень интересно. Надо разобраться! 🙂

-2 - l корень.

Сразу видна идея x²+y²=(x+iy)(x-iy)

Легкая задачка. Смотрим внимательно, расписываем три икс квадрат на два икс квадрат и икс квадрат. Снова смотри внимательно, выносим икс кв. за скобки, в скобках - икс плюс два, - а оставшийся трехчлен разбиваем на множители - находим по теореме Виета. Икс плюс два выносим за скобки - в скобках икс кв. плюс икс плюс 3.

Видимо, надо рисовать поверхность w(z) = |z^4 + 4|, и там, где поверхность пересекает плоскость z = 0, и будут комплексные корни z = x + i*y.

3

-2 корень подбором

Если в этом уравнении есть целые корни (наиболее частный случай в школьныхо примерах), то по теории они ищутся среди делителей свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Несложно убедиться, что -2 является корнем. Тогда результато после группировки будет появление сомножителя x + 2. Выделим этот сомножител, заодно и сгруппируем как надо X³ + 3x² + 5x + 6 = x³ + 2x² + x² + 2x + 3x + 6 = x²(x+2) + x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)•(x²+x+3). Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности x + 2 = 0 или x² + x + 3 = 0. Второе уравнение и вовсе не имеет действительных корней. Поэтому единственным действительным корнем исходного уравнения будет число -2. Добавьте ещё 2 комплексно-соряжённых корня, если они вам зачем-то нужны.

Есть способ попроще разложить на множители сумму квадратов a^2+ b^2=(a+bi)(a-bi)

Если нужно решить ур-е в чем смысл использования прав.знаков Декарта? Т.к. корень -1/2 виден сразу, проще сразу разделить на х+1/2 и решать одно квадр. ур-е.

это все хорошо, вольфрамальфа такой же ответ дает, но я не понимаю что делать с корнями √(+-2i) , потому что (√(2i))^4 даст -4

Так очевидная группировка: x^3 + 4x^2 + 4x - x^2 +x + 6 = x(x+2)^2 - (x-3)(x+2)

Виктор, так как всё-таки решаются иррациональные уравнения над полем комплексных чисел, когда комплексный корень является многозначным? Давайте остановимся на уравнениях с кубическим корнем: например, ³√z = −2 или ³√(z−6) = z - такие уравнения вообще рассматриваются над ℂ?

Заметил, что вы называете комплексные числа то ко́мплексными (8:40), то компле́ксными (6:36).

А как тогда решаются иррациональные уравнения вида ³√x = −2 или, скажем, ³√(x−6) = x над полем комплексных чисел, если комплексный корень многозначный и выражение с корнем кубическим возвращает сразу три значения?

ну это повезло просто что рациональные корни есть, а если нет то доставай кардану.

Съёмка с дрона красивая, вдвойне приятно, если из личного архива, а не со стока