Perché non saprei fino a che "livello di profondità" spiegarli. Il target di questi video in cui risolvo gli esami di maturità è quello di studenti di fine quinta liceo scientifico che si presuppone non abbiano bisogno di una spiegazione, ad esempio, di come si calcola la derivata di una funzione razionale fratta oppure di una spiegazione su come si semplifica una frazione algebrica. Il concetto è quello di fornire una procedura di risoluzione, concentrandosi su quali sono le idee e le procedure scelte, piuttosto che concentrarsi su come si mettano tecnicamente in pratica tali procedure, il cui svolgimento è comunque visibile nel video e presente nel pdf nel link in descrizione che puoi scaricare per controllare tutti i passaggi algebrici con comodo. A che anno del corso di studio sei? Quali sono i passaggi algebrici che in particolare non ti risultano facilmente comprensibili?

Non sono sicuro di aver capito cosa intendi, ma provo ad interpretare il tuo suggerimento. Se intendi sostituire il sin(x) alla prima riga con x e poi "guardare solo il coefficiente di x alla terza sia sopra che sotto" purtroppo non si può fare perché la parte principale del numeratore è ax^3 se x tende ad infinito e, peraltro, con x che tende ad infinito non potresti sostituire sin(x) con x. Se invece intendi sostituire alla terzultima riga sin x con x qui l'idea ha molto senso e il risultato poi ti viene comunque a = -7/6. Ultime 2 osservazioni: 1) il concetto di parte principale di una funzione spesso non viene svolto al liceo, ma solo nei corsi di analisi 1 all'università, quindi per una maturità scientifica usare Hopital è più "classica" come procedura; 2) quando si decide di lavorare con la parte principale di una funzione bisogna sempre fare attenzione a dove tende la x: nel nostro caso la parte principale di sinx è x perché x tende a zero e allo stesso tempo la parte principale di ax^3 + bx non è x^3 quando x tende a zero. La parte principale è il primo termine non nullo dello sviluppo di Taylor centrato in (x-x0), ossia +bx, ma usando questa idea non si riesce a risolvere l'esercizio. Spero di esserti stato utile.

Io intendevo sostituire i parametri al limite iniziale e verificare se il risultato venisse 1 come dice la traccia. Nel caso in cui si sostituisce a = -1, il limite diventa semplicemente x³/x³ che equivale ad uno, perché -x ( che sarebbe -bx) e senx ( che sarebbe x per il principio di sostituzione degli infinitesimali che alle superiori si fanno, dato che io stesso rivelo di essere un liceale e di averlo fatto) si annullano, e quindi si verifica il limite come vero, ma ciò non accade quando al limite iniziale si sostituisce ad a -7/6. Non so arrivato a questo punto cosa sia più giusto o sbagliato. Perché da un lato con a = -1 il limite si verifica, dall altro seguendo un procedimento che non ha errori risulta a = -7/6 (io ad a = -1 ci sono giunto semplicemente sostituendo al limite in cui è stato applicato per la prima volta Hop. b=1 e poi notando che cos0 e -b = 0, rimanendo alla fine -3ax³/3x³ = 1 -> a=-1.) Spero che mi riesca a dare una delucidazione con un ultima risposta se non le dispiace

Inoltre nella terz' ultima riga se semplicemente si considera senx come 0 rimane -6ax/6ax= 1 -> a=-1

Al denominatore ho scritto 6ax intendevo scrivere solo 6x

Capisco la frustrazione nel vedere due procedimenti che sembrano giusti portare a due risultati diversi, cerco di rispondere con ordine alle varie questioni che poni. Se sostituisci a = -1 ottieni dentro il limite (x^3+bx+sinx)/x^3. Purtroppo questo limite non fa uno, ma fa infinito. Ti spiego prima quali sono i passaggi giusti per risolvere questo limite e poi cosa sbagli. Passaggi giusti (ometto per praticità la scrittura di limite per x che tende a zero davanti a ciascuno di essi): divido numeratore e denominatore per x ed ottengo (x^2 + b + sinx / x) /x^2; dentro la parentesi al posto di sinx / x sostituisco 1 a causa del limite notevole; a questo punto ho (x^2 + b + 1) /x^2; adesso sostituisco lo 0 (ricordiamoci che x tende a zero) ed ottengo (b+1) / 0 che tende ad infinito. Cosa sbagli: quando giungi a questo limite (x^3+bx+sinx)/x^3 applichi erroneamente il principio di sostituzione degli infinitesimi, confondendolo con il principio di sostituzione degli infiniti. Infatti il numeratore x^3+bx+sinx è "rappresentato" da x^3 se x tende ad infinito, ma NON è "rappresentato" da x^3 se x tende a zero che è il nostro caso! Non so a che livello di profondità tu abbia svolto questa parte di programma ma la parte principale di una funzione è il primo termine non nullo del suo sviluppo di Taylor, nel nostro caso la parte principale di x^3+bx+sinx (PER X CHE TENDE A ZERO) è b+1. Come consiglio generale, ogni volta che hai un limite notevole della forma 0/0 ed infinito/infinito, se applicando Hopital non peggiori le cose, ti suggerirei di usare sempre il Teorema di Hopital e non "impelagarti" in sostituzioni di infiniti ed infinitesimi che possono portare più facilmente a confondersi, proprio perché a seconda di dove tende la x le sostituzioni da fare cambiano, mentre le derivate che fai per applicare Hopital non hanno questo rischio. Mi auguro di aver risposto ai tuoi dubbi.

Lieto che ti sia piaciuta!

Grazie a te, spero ti sia stata utile!