10:41 のあたりでしょうか。㉑の動画では、波動関数|φ>を物理量Aの演算子の固有状態で展開しました。展開係数ciをAの固有状態 |ψi>の係数とした時、|φ>=\sum_{i}ci |ψi> とかけますが、この状態に対して物理量Aを測定すると、確率|ci|^2で|ψi>に収縮します。10:41 の場合、|φ>そのものが固有状態というのは、あるiについて|φ> = |ψi>とかけるということで、ci=1となります。つまり|ci|^2=1となり、確率1で|ψi>に収縮します。

@okuma-physics はい、その時間あたりのことです。そこをブラケットなしで理解したいです。｛(量子力学Ⅰ ）の範囲ブラケット 摂動論なし}この同時固有状態について詳しく解説している方が@okuma-physics さんしか見当たりませんでした。言い訳かもしれませんが、留学生が演習の時間に確率が100％で定まることを説明したのですが、GPTを利用した回答のため、変な日本語でした。GPTを利用したことがわかったのは、自分もわからなかったから、使って全く同じ留学生の説明が出てきたためです。 拙い文章で申し訳ありません。

@@iqediq7439 演算子Aの固有値が0と1で与えられ、それらの波動関数(固有関数,固有状態)を ψ_0(x), ψ_1(x) とすると, 1/root(2)*( ψ_0(x) + ψ_1(x) )のような関数は固有値が0の状態と1の状態が1:1で重なり合った状態になります。例え話ですが, A = 猫演算子として「猫が生きている=ψ_1(x) , 死んでいる=ψ_0(x) 」という二つの固有状態が存在するとします。1:1で「生きている猫」と「死んでいる猫」が混ざっている場合は, 50%の確率で生きているor死んでいる状態に収縮します。これは, 猫演算子(A)について「測定」をすると, 測定後は必ず猫演算子の固有状態 ψ_1(x)(生きている状態)かψ_0(x)(死んでいる状態)のいずれかに収縮するという観測のルールから帰結されます。そして, どのくらいの確率でどの固有状態に収縮するかを決めるのが, 重ね合わせの係数c_i (前のコメント参照)の絶対値の2乗で, 猫の例では|c_1|^2 = (1/root(2))^2=1/2で ψ_1(x)(生きている状態)に, |c_0|^2=(1/root(2))^2=1/2)でψ_0(x)(死んでいる状態)に収縮します。 一方, 重ね合わせではなく ψ_1(x)について猫演算子(A)の測定をしたらどうでしょうか。この場合, ψ_1(x)自体が観測前から固有状態ですので, 強いて係数を書くならc_1=1ですので, 測定を行うと, |c_1|^2=1, つまり確率100%で ψ_1(x)(生きている状態)に収縮します。つまり, 猫演算子(A)について測定した場合, 猫演算子(A)の固有状態は状態が変化することなくそのまま実現することになります。 この意味で, 量子力学特有の曖昧さは固有状態に関する測定には現れないわけです。 同時固有状態についても同様に考え, 例えば猫の色演算子「B」を設定し, 白なら1, 黒なら0とすれば, 「生きていて白い猫はψ_11(x)」,「生きていて黒い猫はψ_10(x)」, 等計4つの組み合わせ(11,10,01,00)に対応する猫演算子Aと色演算子Bの同時固有状態が存在します。同時固有状態, 例えば「生きていて白い猫はψ_11(x)」を猫演算子Aで測定すれば, その状態は変化することなく100%の確率で生きている(1)という状態のままですし, 色演算子Bについても100%の確率で白い状態のままです。

私も物理は手を動かすのが一番だと思います。講義ノートは大学の前任者のノート含め色々なものからピックアップして作っておりますが, 例えば小出 昭一郎 「解析力学」, 前野昌弘「よくわかる解析力学」などは参考になるかと思います。最近出た本ですと, 渡辺悠樹「解析力学」が基礎から発展まで扱っていると思います。

@@okuma-physics 返信ありがとうございます。 最後の問いを計算したところ d/dx ( y'/(1+y')^2) =0 となりました。 この計算結果はあっているのでしょうか。 解説する予定はありますでしょうか。

@@えこ-j2g 大学で並行して行っている授業の宿題相当のため、直接解答を解説できません。申し訳ありません! いくつかヒントを。恐らくy'による微分を間違えていると思います。何を求めれば良いかの方針は正しいと思います。d/dx (〇〇)=0の正しい形が求められたら、両辺をxについて積分してy'を積分定数も用いて書き下してみてください。y'がdy/dxであることを思い出せば、どんな結論になるかがわかるかと思います。次の動画で解説する難しめの動画で似たような微分などもやりますので、そちらも参考にしていただければと思います。

いただいたヒントをもとに計算し直しました。最短距離を与える曲線が直線であることが確認できました。ありがとうございます。

申し訳ありません。あくまで大学で行う授業の講義ノート作成の一環として動画をアップロードしている都合上, 原稿を作って発表練習をするといった労力を割くのは難しいです。倍速視聴をお勧めします。

空気と物体の相互作用の結果で決まるので、必ず成り立つとは思えませんが、例えば雨粒のモデル化では粘性係数・雨粒の半径で決まるようです。(勿論形状など他の要素にも依存すると思います。)

@@okuma-physics 半年前の動画なのに返信ありがとうございます！なるほどです！

根拠というよりは前提になります。粒子のエネルギーだけ知っており質量を知らず、この粒子の質量について知りたい状況を考えます。m=~という風に書き換えると便利です。この条件下で粒子の速度が光速に近づく時、Eは固定されているので式から質量mが0に近づくことがわかります。

来学期が丁度解析力学の担当ですので、対応した動画を作る予定です。是非ご覧いただければ!

申し訳ありませんが、中間テストの点数は一律で非公開にしています。。。

科学史の専門家ではありませんので、以下個人の見解です。「量子力学」という用語に違和感を感じるのは、日本語訳の問題ではないでしょうか。ニュートンの「Mechanics」は、まさに「力」の学問であったため、その訳語には「力学」が用いられました。しかし、Mechanicsという単語からは「自然のメカニズムを解明する学問」というニュアンスを感じ取れるように思います (※個人の感想)。その意味で、「量子の世界のメカニズムを解明する学問」=「Quantum mechanics」と捉えれば、そこまで違和感がないように私個人は思います。「物体の運動」についても、「波動関数のダイナミクス」に拡張されたと考えれば、「物体」の在り方に関する人類の理解が進んだものと解釈できます。一方で、訳語の「量子力学」は適切ではないかもしれないな、と思う事はよくあります。(量子の「力」学なのに、「力」自体を考える場面は驚くほど少ないです。) 局所・非局所に関する論点は、Quantum Mechanicsという用語が確立した後の時代のものであると考えられ(←おそらく。。。)、用語の決定には寄与していないと考えられます。現在でこそ強調される論点ですが、アインシュタインらが発表した当時は反応が薄く、少なくとも学問の名前に後追いで反映されるほどのインパクト無かったのではないかと考えます。私個人は「Mechnics」という語感と「非局所性」が矛盾するようには思いません。非直観的ではあるが、量子現象の数理的メカニズムを完全に記述することに成功しているためです。 多くの場合において、物理学者は「量子論」と「量子力学」をそれほど意識せずに使っています。なぜなら、特に明白な定義が存在するわけではないからです。「量子論」については多義語的であるとすら思います。研究の現場で「量子論」というと、量子的な考えが取り入れられた学術領域全般に対して使われる用語です。一方、入門的な授業などで「量子論」というと、「前期量子論」という「量子力学が出来上がる前の場当たり的かつ統一的でない理論の寄せ集め」をイメージして使われる事が多いです。「量子力学」は、学部で習う、100年近く前にはおおよそ完成された初等的かつ統一的な理論体系を指します。特に、量子力学が誕生した当初は「前期量子論」を統一的に理解できる画期的な理論体系、として認識されていたと思われます。ベルの不等式周りを含めても基本的に半世紀以上前には完成されたと考えてよいでしょう。このように、量子論、量子力学という用語をどの場面で使うかの認識は、物理学者の間でなんとなく共有されている程度です。相対性理論についても、相対論的力学、という用語はおそらく使われています。相対論は相対論的考え方を扱う学術領域の総称、相対論的力学はもう少し限定的、という程度の使い分けがなされているのではないでしょうか。いずれにせよ、コーヒーブレイクで話す類の差でしかなく、真面目に議論している物理学者を見た事がありません。 >>「「非局所的相関性」というテーマは、未だに、うまく説明されないまま、止むことのない議論が続いています。」 これに関しては、物理学者の間で物理学の問いとして議論されている訳ではありません。自然科学では、一連の実験結果を上手く記述する理論の中で最もシンプルな理論が現状で最も優れたものである、と考える慣習があります。量子力学が対象とする実験結果で、量子力学と矛盾する確証があるものは現在のところ存在しません。従って、自然科学としての物理学において、「量子力学」という初等的理論に関する争点は(少なくとも根幹部分において)残っておらず、足踏みをしているという認識は正しくありません。(ベルの不等式周辺は21世紀以降にも繰り返し検証が行われているので、実験的にはもちろん現役の話題です。) 「自然科学の問い」としては完結している一方で、直観に反するのでマシな解釈を与えたいという考えは理解できるものです。しかし、解釈の違いが仮説・検証を通した自然科学の議論に影響を与えないのであれば、それは自然科学の体系内での争点ではありません。哲学・思想・宗教の領域です。 >>サムネの「神はサイコロを振る」 という内容の解説をもう少し詳細にお願いできませんか。　聖書を読んでいると神が重要な決定を下すとき、人間に「くじ引き」をさせることが時々あるからです。 聖書にそのような記述があるとは。。。 「神はサイコロを振らない」というアインシュタインの信念に反し、神の立場でも確率的な事象が存在することを比喩的に表現したものです。特に深い意味はございません。

申し訳ありませんが、他クラスで言うところのレポート点の代わりですので解説はできません。。。

講義中に告知した通り、チェック問題と数字を弄ったもの、あとはノート内の内容から逸脱しない範囲で出題します。

「床に対する摩擦」と「空気に対する摩擦」は、どちらも本来複雑な物理現象で、正確な記述は困難です。このような時には状況に応じて、現実を「簡単化」して考えます。物理学ではこの簡単化のことを、「モデル (模型)を作る」、「モデルで近似する」と言います。実際の物理現象を上手く説明し、かつ単純なモデルで記述される事を目指した簡単化を行います。 今回の場合は、雨粒などの落下運動のデータを表す最も簡単なモデルが、F= - kvの形であることが知られているので、このような力の形を仮定しました。この問題の場合は垂直抗力の登場の余地がないので、床とは違う記述になっています。一方、床との摩擦をF= - k v で扱っている授業も見た事がありますので、空気抵抗以外でもこの形を仮定することはあるようです。採用したモデルが妥当か、なぜそれで上手くいくのかという問いへの答えには、専門的な知識が要求されたり、あるいは正確には分かっていない事が多いです。

笑

私の担当した講義の参考図書には、佐川 弘幸, 清水 克多郎「量子力学」を使う人が多いようです。もう少し発展よりですと、小形正男「量子力学」,上田正仁「現代量子物理学」を参考にしました。上田先生に関してはweb上に講義ノートがあるようですので、探してみてください。勝本 信吾 「半導体量子輸送物性」などはテーマに近いかもしれません。

時間変化を代表するのはあくまでも波動関数ですので、xには時間微分がヒットしません。 (発展的ですが、演算子自体が時間変化する形式論もあります。その場合はx(t)のように考えることもあります。)

moodleに告知しました。ご確認ください。

有難うございます!

10:47 からバネ (単振動)に関する説明をしています。1次元のバネには運動エネルギーと位置エネルギーという2つの自由度が存在し、それぞれにkBT/2が割り当てられる、というのが等分配則の主張です。レイリー・ジーンズの式では、電磁波をバネと見做します (ここは非自明な仮定ですね)。次の動画(④)において一応簡単な導出が行われておりますが、完全な理解のためには古典統計力学を学ぶ必要があります。