Ξέρω ότι κάποτε ήταν η ύλη αντίστοιχου μαθήματος στο τμήμα ηλεκτρολόγων μηχανικών τού ΕΜΠ. Τι γίνεται τώρα και τι γίνεται σε άλλα μη-μαθηματικά τμήματα δεν μπορώ να το ξέρω. Φαντάζομαι ότι η ύλη σε ένα τμήμα πληροφορικής δεν έχει την παραμικρή σχέση με το πνεύμα αυτών των διαλέξεων.

Ναι, ακριβώς.

Θα μπορούσες να πεις ότι η x_n φράσσεται από κάποιο μ. Τότε, θα έπρεπε να προσθαφαιρέσεις το x_ny, και θα είχες στο τέλος με+ε|y|. Δηλαδή, ο «φυσιολογικός» τρόπος να αποδείξεις αυτήν την ιδιότητα σε οδηγεί να χρησιμοποιήσεις το φράγμα για μια από τις δύο ακολουθίες (όποιας θέλεις). Όχι, όμως, και τα δύο φράγματα ταυτόχρονα. Δεν βλέπω πώς θα μπορούσες να καταλήξεις στο Με+με.

@@themismitsis7879 ευχαριστω για την απαντηση σας και ποιος ο λογος που δεν μπορω να παρω και τα 2 φραγματα ταυτοχρονα;

@@buttdecicionsΔεν το "απαγορεύει" κάποιος. Απλώς, αν χρησιμοποιήσεις το ένα, δεν εμφανίζεται η ανάγκη στην απόδειξη να χρησιμοποιήσεις και το άλλο.

@@vaggos6292 Η n-οστή ρίζα τού n τείνει στο 1, και έτσι η n-οστή ρίζα τού n^p τείνει επίσης στο 1.

Ναι, το αναφέρω αυτό που λες. Επίσης αναφέρω ότι δεν χρειάζεται. Το μόνο που χρειάζεται είναι ο ορισμός του αριθμού e.

Αυτό κάνουμε. Τις προσθέτουμε.

Είναι καθαρά θέμα σύμβασης. Συνήθως, οι φυσικοί ορίζονται να είναι οι θετικοί ακέραιοι, και έτσι το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός. Μπορεί, βέβαια, το μηδέν να θεωρείται φυσικός, με μια προφανή τροποποίηση στη διατύπωση κάποιων από τα αποτελέσματα (ή τους ορισμούς) που παρουσιάζονται στα βίντεο .

@@themismitsis7879 ευχαριστώ πολύ

Εξαρτάται από το τι είδους "ανάλυση" κάνουν στο τμήμα αυτό. Αν η προσέγγιση είναι αυστηρή, τότε ναι, είναι κατάλληλο.

Αν η τομή είναι κενή, δεν έχουμε να δείξουμε κάτι. Το κενό σύνολο είναι (κατά σύμβαση) ανοιχτό και κλειστό.

@@themismitsis7879 σωστά ευχαριστώ πολύ!!

Aναφέρεται σε σκέτες ακολουθίες Cauchy. Όχι σε ζεύγη. Μια τυχούσα Cauchy πάει σε Cauchy.

Οι δυο «Αναλύσεις» απευθύνονται σε φοιτητές μαθηματικών τμημάτων (και εν μέρει κάποιων πολυτεχνικών). Είναι γενικά ακατάλληλες για φοιτητές τού ΟΠΑ, τα μαθηματικά μαθήματα τού οποίου έχουν εντελώς διαφορετική φιλοσοφία και προσανατολισμό.

Ναι, σωστά. Συγκλίνει ομοιόμορφα.

@@themismitsis7879 ευχαριστώ

Ίσως στο επόμενο lockdown…😊

Ρωτάς αν έχω να προτείνω κάποια βίντεο στο KZbin;

@@themismitsis7879 Κατα προτιμηση δικα σας βιντεο . Εναλλακτικα αν δεν υπαρχουν δικα σας τοτε θα δεχτω οποιαδηποτε δικη σας προταση.

@@TheNikolas2014 Εγώ δεν έχω φτιάξει βίντεο μιγαδικής ανάλυσης. Υπάρχουν διάφορα άλλων, για πράδειγμα αυτά είναι πολύ καλά (στα αγγλικά): kzbin.info/aero/PLVMgvCDIRy1wzJcFNGw7t4tehgzhFtBpm

@@themismitsis7879 Τελεια. Σας ευχαριστω πολυ για την διαθεση του πολυτιμου χρονου σας. Καλο Πασχα!

@@TheNikolas2014 Επίσης σε εσένα.

Έστω A υποσύνολο του R με A=[a,b] τότε ισχύει supA=b ∈A

Αν αναφέρεσαι σε ενδεχόμενη άσκηση διαγωνίσματος, προφανώς δεν ξέρω την απάντηση. Εξαρτάται από τις οδηγίες που θα σας δώσουν.

Στην ιστοσελίδα μου: www.math.uoc.gr -> Ανθρώπινο δυναμικό

Το ίδιο n_0 είναι. Στο 14:28 το ζητάμε, και μετά στο 17:10 το έχουμε βρει.

Το Α είναι το πεδίο ορισμού. Το f(x_0) είναι τιμή τής συνάντησης και μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο Α. Εδώ, αυτό δεν έχει σημασία.

Που αναφέρεσαι;

@@themismitsis7879 το διάβασα στον σπιβακ στην άσκηση 18 του ογδόου κεφαλαίου και με έχει μπερδέψει όπως και η λύση που δίνεται στο λυσάρι που κυκλοφορεί γιαυτο ρωτάω

@@airsun Το ορίζει ακριβώς στην άσκηση. Δεν είναι κάτι που χρησιμοποιείται οπουδήποτε άλλου.

@@themismitsis7879 ευχαριστώ για την ανταπόκριση,έχω κάνει εγγραφή και στο κανάλι σας!

Ναι. Απλώς, στις πολύ αρχικές αποδείξεις, θέλει κανείς, για παιδαγωγικούς λόγους, να παρουσιάζει επιχειρήματα που βασίζονται αποκλειστικά στον ορισμό.

Εφάμοσε την Αρχιμήδεια ιδιότητα για ε=1/Μ^2.

Αδερφέ εμένα μπορεί να με σώσει που το χρωστάω για Σεπτέμβρη;

1. Ναι, μπορείς να διατυπώσεις το θεώρημα ακολουθιακά. 2. Μια συνάρτηση μπορεί να είναι ομοιόμορφα συνεχής στούς ρητούς χωρίς καν να είναι συνεχής παντού. Ωστόσο, αν μια συνεχής συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής στους ρητούς, τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής παντού.

Ευχαριστώ για την ευγενική σας στάση να απαντήσετε. 1. Δεν εννοώ διαφορετική διατύπωση αλλά την εξής ασθενεστέρα υπόθεση: Για ∀ ακολουθία Χn→a να ∃ το όριο της f(Xn) χωρίς να απαιτούμε να είναι το ίδιο κάθε φορά. Αποδεικνύεται ότι θα είναι το ίδιο. Γιατί όμως το περιορίζουμε όταν έχουμε γενικότερη πρόταση με ένα σύνολο Α παντού πυκνό σε ένα κλειστό και φραγμένο υπερσύνολό του Β; 2. Η παρατήρησή σας εδώ με βοήθησε στην προσπάθειά μου (νόμιζα ότι ματαιοπονώ) να αποδείξω ότι μια ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση ρητού ορίσματος επεκτείνεται ομοιόμορφα συνεχώς στο R.@@themismitsis7879

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσει κανείς την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση.

Δεν κάνουμε κάποια υπόθεση σχετικά με την παραγωγισιμότητα. Τα σχήματα δείχνουν παραγωγίσιμες συναρτήσεις για να είναι πιο όμορφα. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των σημείων στα οποία μια κυρτή συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη είναι το πολύ αριθμήσιμο. Επομένως, το να θεωρήσεις ότι μια αυθαίρετη κυρτή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη δεν είναι "πολύ λάθος".

Όχι, δεν μπορούμε να το πούμε. Δεν προκύπτει από κάπου ότι (r-ε)^n=a.

@@themismitsis7879 ωω ναι ειναι μεγαλυτερο γνησιως του a εχετε δικιο ,ευχαριστω!

Ήθελα να τονίσω ότι η έννοια τής σύγκλισης είναι πάντα ως προς κάποια μετρική γιατί μπορεί σε κάποιον να ακούστηκε περίεργο το ότι η 1/n δεν συγκλίνει.

@@themismitsis7879 Ευχαριστώ για την απάντηση

Ναι, ήθελα να πω ότι η πράσινη λωρίδα βρίσκεται στην ουρά.

@@themismitsis7879 οκ. κατανοητό.

παμακ κι εσυ? 😅

@@myriamkapon χαχα οχι φίλε μου εμπ είμαι

Το “maximum” απείρου πλήθους αριθμών μπορεί να είναι άπειρο. Δηλαδή, το Μ που λες μπορεί να είναι άπειρο.

Που αναφέρεσαι;

@@themismitsis7879 Στη συγκλιση της ακολουθιας (-1)^n αποδικνειουμε οτι δεν συγκλινει για ε=1/10, μεχρι εκει κατανοητο. Αυτο γιατι ειναι αρκετο για να δειξουμε οτι δε συγκλινει; Θελω για καθε ε>0 και ας πουμε για ε=2 μου βγαινουν αλλα.

@@themismitsis7879 Ελπιζω να ειναι κατανοητα οπως τα ειπα, με συγχωρειτε για τυχον λαθη.

@@akrivikontou1548 Για να συγκλίνει μια ακολουθία πρέπει ΓΙΑ ΚΑΘΕ ε > 0 να συμβαίνει κάτι. Για να μην συγκλίνει, πρέπει ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ε > 0 ώστε να μην συμβαίνει αυτό το κάτι. Στην προκειμένη περίπτωση, το ε το οποίο χαλάει τη δουλειά είναι το ε = 1/10, άρα η δουλειά χάλασε. Το ότι για ε = 2, ικανοποιείται η συνθήκη τού ορισμού, δεν σημαίνει τίποτα.

@@themismitsis7879 Οκει καταλαβα σας ευχαριστω πολυ.

Εννοείς αν θα κάνω βίντεο με διαλέξεις στατιστικής; Υπό φυσιολογικές συνθήκες όχι ..

Ναι, αν μια ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν, τότε η αντίστοιχη σειρά μπορεί να μην συγκλίνει. Αν μια ακολουθία συγκλίνει σε κάποιο μη μηδενικό αριθμό (ή δεν συγκλίνει), τότε η αντίστοιχη σειρά δεν συγκλίνει.

@@themismitsis7879 Σας ευχαριστώ

Όλα τα σύνολα έχουν supremum και infimum. Σχετικά με το σύνολο που γράφεις, αν το (-1) το υψώνεις σε περιττή δύναμη, τότε το infimum είναι -1.

@@themismitsis7879 Το ύψωσα σε περιττή δύναμη/n.Άρα ας πουμε το -1/2 δεν είναι μικρότερο από το -1;Όπως και το -1/3 δεν είναι μικρότερο από το -1/2;Άρα τελικά το infA δεν είναι μείον άπειρο;

@@rascallionvagabond8159Δεν έχει νόημα να υψώσεις αρνητικό αριθμό σε ρητή δύναμη. Δεν κατάλαβα τι είχες γράψει αρχικά. Το σύνολο σου δεν είναι καλά ορισμένο.

@@themismitsis7879 Το σύνολο ήταν το -1**(2n+1)/n.Δηλαδή δεν είναι όλο υψωμένο σε μια δύναμη,είναι το μείον 1 υψωμένο σε περιττή δύναμη δια n.Γι αυτό λέω ότι ίσως το inf είναι μείον άπειρο εφόσον γίνεται αυθαίρετα μικρο

@@rascallionvagabond8159 -1 σε περιττή δύναμη κάνει -1. Άρα το σύνολο είναι το {-1,-1/2,-1/3,...}, επομένως το inf είναι -1 (όπως είπα στην πρώτη απάντηση) και το sup είναι 0.

Wacom One Medium

@@themismitsis7879 Ευχαριστώ!

Η εικόνα μιας ακολουθίας είναι αριθμήσιμο σύνολο, και άρα δεν μπορεί να είναι διάστημα.

Γιατί θέλουμε να εκτιμήσουμε την απόλυτη τιμή της διαφοράς f(x)-f(x_0).

@@themismitsis7879 Σας ευχαριστώ!