Hallo, das steht natürlich auch auf dem Plan. Allerdings kann ich nicht sagen, wann es kommt.

Danke für deinen Kommentar und auch für die interessante Frage. Tatsächlich habe ich mir dieselbe Frage beim Produzieren des Videos auch gestellt. Deine Vermutung ist richtig. Man muss es leider immer wieder prüfen. Es kann ja sein, dass bezüglich der neuen Basis (nachdem man einige Vektoren getauscht hat) ein der Koeffizient eines Basisvektors Null ist, obwohl dieser bezüglich der alten Basis ungleich Null war. Ein kleines Beispiel (Verzeihung, dass ich die Vektoren hier als Zeilen schreibe): u1=(1,1,1) , u2=(1,1,-1) sind linear unabhängig. v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) ist eine Basis von ℝ³. Es ist u1 = v1 + v2 + v3, (*) u2 = v1 + v2 - v3. (**) Nach (*) können wir jeden der Vektoren v1,v2,v3 durch u1 ersetzen, so dass wir eine Basis behalten. Tauschen wir mal v1 gegen u1. Somit haben wir eine neue Basis u1,v,2,v3. Bezüglich dieser neuen Basis hat u2 die Darstellung: u2 = u1 - 2 v3. (***) Der Koeffizient von u2 in (***) gemäß der Basis u1,v2,v3 ist Null, obwohl der Koeffizient von u2 in (**) gemäß der Basis v1,v,2,v3 nicht Null war. Das bedeutet, man darf sich nicht auf die ursprünglichen Linearkombinationen verlassen, sondern muss dann immer wieder konkret nachrechnen welche Koeffizienten bezüglich der neuesten Basis ungleich Null sind (Beweisidee vom Autstauschlemma wie im Video). Gemäß (***) darf man v2 nicht durch u2 ersetzen, sondern nur noch v3 durch u2.

Vielen Dank! Zur Frage: Man kann bei endlich erzeugten Vektorräumen im Grunde immer auf Vektoren aus dem K^n ausweichen und dann zum Vektorraum zurückkommen. Stichwort: Koordinatenvektoren. Nehmen wir als Beispiel 2×2-Matrizen mit der Standarbasis 10 01 00 00 01 00 10 01 Eine Matrix a b c d hat dann den Koordinatenvektor a b c d. Wenn wir also zum Beispiel eine Liste von Matrizen haben, dann können wir zunächst einmal jede Matrix durch ihren Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis aufstellen. Auf die Koordinatenvektoren können wir dann das in diesem Video vorgestellte Schema anwenden. Die Koordinatenvektoren, welche wir als Resultat erhalten haben, müssen wir dann wieder als Matrizen schreiben. Wenn man Koordinatenvektoren vermeiden möchte, kann man auch wie folgt vorgehen (Das entspricht dann eben meiner beispielhaften Erklärung zu Variante 1 im Video). Nehmen wir an, wir haben 2×2-Matrizen A,B,C,D,E,F und wir wollen entscheiden, welche dieser Matrizen ausreichen um denselben Unterraum zu erzeugen. Wir stellen den Ansatz aA+bB+cC+dD+eE+fF = 0 (*) mit Zahlen a,b,c,d,e,f auf. Wenn wir diese Gleichung komponentenweise lesen, dann erhalten wir ein homogenes LGS mit vier Gleichungen und mit der Lösungsmenge können wir dann durch (*) entscheiden, welche Matrizen eine Linearkombination der anderen sind, so dass wir diese in (*) streichen können. Dies machen wir sukzessive bis wir keine Matrix mehr in (*) streichen können, so dass die verbliebenen Matrizen linear unabhängig sind.

Vielen Dank, das freut mich zu lesen. Ich versuche tatsächlich, ein sehr hohes Niveau durchzuziehen. Ich denke, saubere Hochschulmathematik kann man so am besten erfassen. Das ist dann auch der Grund, warum ich nicht alle zwei Tage ein Video "hinrotzen" kann. Qualität braucht manchmal seine Zeit. ;)

Verzeihung für die späte Antwort. Ich war letzte Woche ein wenig krank und habe die Kommentare noch nicht beantworten können. Geht es um den Zeitpunkt 39:05? Dort haben wir ja eine 2 ganz unten rechts. Mit dieser eliminieren wir die Einträge darüber und zwar so: von der ersten Zeile das Zweifache der fünften Zeile subtrahieren, die fünfte Zeile von der zweiten Zeile subtrahieren und zur vierten Zeile das 3/2-fache der fünften Zeile addieren. So entstehen schon einmal die Nullen über der 2. Anschließend haben wir noch die fünfte Zeile mit 1/2 multipliziert.

Die "Gewichtung" (was auch immer das heißen mag) interessiert uns aber nicht. Wir wollen mit dem Gaußalgorithmus eine Zeilenstufenform bestimmen. Und das geht eben mit den elementaren Zeilenumformungen wie hier im Video verwendet. Übrigens ändert sich die Lösungsmenge eines LGS nicht, wenn man die erweiterte Koeffizientenmatrix mit elementaren Zeilenumformungen manipuliert. Das ist der Hauptgrund für das Durchführen des Gaußalgorithmus. Man muss dann auch nicht rückwärts rechnen. Ich weiß nicht, was mit einem praktischen Beispiel einer "Gauß Matrix" gemeint ist.

Aber wir sind hier nicht in der Schulmathematik. Für einen Körper benötigst du eine nichtleere Menge. Das ist hier eben {0,1,2}. Dazu benötigst du eine sogenannte Addition + und eine Multiplikation •. Diese Operationen können wir definierten wie wir wollen. Hier sagen wir eben, dass zum Beispiel 2•2 = 1 sein soll! Genauer gesagt definieren wir die Addition und Multiplikation durch die Tafeln. Hierdurch erhalten wir insgesamt eine Menge zusammen mit einer Addition und einer Multiplikation, was zusammen zu einem Körper wird, da alle Körperaxiome erfüllt sind. Kleine Bemerkung noch: Man kann in den Rechnungen auch eine Modulo-Rechnung sehen, um sich die Verknüpfungen klarzumachen. Man kann so tun, als würde man mit ganzen Zahlen rechnen, aber für unseren Körper müssen wir jedes Resultat modulo 3 rechnen. So ist zum Beispiel 2•2 = 4 in den ganzen Zahlen, aber der Rest von 4 nach Division durch 3 ist 1. Somit ist in unserem Körper 2•2 = 1. Allgemein kann man zeigen, dass man immer einen Körper erhält, wenn man modulo p für eine Primzahl p rechnet. Dies ist eine Möglichkeit aufzuzeigen, wie man auf den in der Aufgabe präsentierten Körper kommen kann. Für einen Körper, wie gesagt, benötigst du eine nichtleere Menge sowie zwei Verknüpfungen, so dass alle Axiome erfüllt sind, wie auch immer diese definiert sind!

Ja, das sehe ich auch so. Nach diesem Video irgendwann habe ich mir ein anständiges Tischmikrofon geholt.

Das ist eine Rechnung in den reellen Zahlen. Dort kann man ja Brüche erweitern, ohne den Körper zu verlassen. Hier erweitern wir gerade mit a-bWurzel(2), weil dadurch im neuen Nenner keine Wurzel mehr steht.

Nein, es ist richtig.

@@niemandniemann2725 wir wollen doch zeigen s=t. Dass die beiden Seiten "gleich aufgebaut" sind, reicht noch lange nicht dafür aus, dass es so ist. Daher vereinfachen wir die Gleichung bis wir s=t bekommen.

zunächst einmal wurde aus der Summe die Summanden für k=2n+1 und auch k=2n+2 abgespalten. Nach einer Umformung erhalten wir die beiden Summanden -1/(2n+2) und 1/(2n+1). Ziel ist es aber, wieder eine Summe zu erhalten. Hierfür müssen wir die Summanden auf die Form bringen, so dass wir diese in die Summe links daneben packen können. Ich gehe davon aus, dass sich deine Frage auf die nun kommende Stelle bezieht. Weil 2n+3 ungerade ist, ist (-1)^(2n+3)=-1. Also können wir -1/(2n+2) umschreiben zu (-1)^(2n+3)/(2n+2). Ebenso können wir sagen, dass 2n+2 gerade ist, also (-1)^(2n+2)=1. Somit können wir den Summanden 1/(2n+1) umschreiben zu (-1)^(2n+2)/(2n+1). Weil wir diese Summanden nun auf diese Weise umgeschrieben haben, können wir sehen, dass diese von der Form (-1)^(k+1)/k sind (siehe grüne Schrift). Und somit können wir diese packen in die Summe links daneben. Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig getroffen.

Das Problem bei der Menge M, wenn man diese nicht noch erst anders beschreibt, sondern genau so benutzt wie in der Aufgabenstellung, ist, dass k und l natürliche Zahlen sein müssen. Im ersten Fall betrachten wir n > 0. Damit ist n bereits eine natürliche Zahl und wir dürfen k=l=n wählen. In den anderen Fällen ist n keine natürliche Zahl und wir müssen uns etwas einfallen lassen für die Wahl von k und l. Übrigens kann ich nicht abstreiten, dass man da etwas wie "Willkür" sehen kann, wobei ich hier eher "Freiheit der Wahl" sagen würde. Denn die Darstellungen sind nicht eindeutig bestimmt! Zum Beispiel ist für n=-3 und damit m=-6 möglich k=3 und l=6, aber genau so ist auch möglich k=7 und l=12. Wichtig ist nur, dass man zeigt, dass m auch in M liegt. Dafür mussten wir, weil M so komisch definiert ist, eine Fallunterscheidung machen.

@@Rafau85 d.H. ein anderer könnte daher kommen und unseren Beweis widerlegen? Durch die Wahlfreiheit generalisiere ich nicht?!?

Nein, der Beweis kann nicht widerlegt werden, wenn man eine andere Variante präsentieren kann. Spricht man von der Existenz eines Objektes mit einer gewissen Eigenschaft, so ist in der Mathematik damit immer gemeint, dass mindestens (!) ein solches Objekt existiert. Wie haben durch Angabe von k und l den Beweis erbracht, dass es solche k und l gibt. Dass es noch andere k und l gibt, die das Gewünschte leisten, sorgt nicht dafür, dass wir generalisieren oder der Beweis seine Gültigkeit verliert. Ein kleines Beispiel: Nehmen wir an, ich behaupte "Die Zahl 8 besitzt einen Teiler k, welcher größer als 1 und kleiner als 8 ist." Wie kann ich diese Aussage beweisen? Ich kann einfach sagen: "Die Zahl k=2 ist ein Teiler von 8, welcher größer als 1 und kleiner als 8 ist. Also existiert ein k mit der gewünschten Eigenschaft und die Aussage ist bewiesen". Nun kannst du aber ebenfalls sagen: "Die Zahl k=4 ist ebenfalls eine solche Zahl!" Aber dadurch verliert mein Argument ja nicht seine Aussagekraft. Es gibt ein k mit der gewünschten Eigenschaft, nämlich k=2. Dass noch ein weiteres k existiert, nämlich k=4, ändert nichts daran, dass ich mit der Wahl von k=2 die Existenz bewiesen habe.

Danke ❤

Aber 2•3 = 6. Das m in der Menge {2m | m∈ℕ} kann eine beliebige natürliche Zahl sein und muss nicht gerade sein.

Auch das wäre möglich! Ich merke aber gerade, dass ich einen kleinen Fehler aufgeschrieben habe. Die Zahl 0 ist natürlich gerade. Der Widerspruch soll natürlich sein, dass 0 ungerade ist.

Hallo, man könnte es auch so machen. Ich gehe davon aus, dass du meinst: m durch 2k+1 ersetzen und die entstehende Gleichung umformen bis man auf etwas Wahres stößt? Man muss natürlich begründen, dass man Äquivalenzumformungen hat, damit die ursprüngliche Gleichung stimmt. Das könnte man so machen. Es wäre nur eben ein wenig länger als mein Lösungsvorschlag.

Das hört sich gut an. Viel Erfolg beim Lernen!

Vielen Dank für das Kompliment! Analysis bzw. Analysis 2 deckt sich mit dem, was ich ohnehin in meinen Lehraufträgen durchnehme. Hast du einen besonderen Wunsch? Leider gilt hier wie bei allen Anfragen, dass ich nichts garantieren kann, aber mir Mühe gebe. 🙂

@@Rafau85 Also ich denke das Quatientenkriterium und das Wurzelkriterium würde ganz gut jetzt passen oder Funktionen mehrere veränderlicher als Einführung zum Start. Danke dir nochmals!

Danke! Zu deiner Frage: Auf welche Stelle beziehst du dich genau? Wenn man den Summanden a_n betragsmäßig abschätzt, aber die Abschätzung nur ab einem gewissen n klappt, sollte man schon hinschreiben, ab welchem n es klappt, oder die Floskel "für n hinreichend groß" verwenden. Wie gravierend das Nichthinschreiben ist, hängt davon ab, wie streng man Aufgaben lösen muss. Vollumfänglich formal richtig ist es nur, wenn man dies noch beifügt.

⁠​⁠@@Rafau85ok danke. Ja so habe ich das gemeint. Wenn man jetzt aber eine Reihe hat wie zum Beispiel (Wurzel n+1 - Wurzel n)/ Wurzel n. Dann divergiert sie ja wenn man sich die größten Terme anschaut gegen 1 nach dem NFK. Wie würde man so einen Bruch aber dann kleiner machen hast du da einen Tipp für mich, weil ich kann ja nicht einfach den positiven Teil im Nenner entfernen oder? Weil dann hätte ich (- Wurzel n) / Wurzel n und ich habe den Bruch so kleiner gemacht oder doch? Sorry für den langen Text

Okay, sei a_n = (√(n+1)-√n)/√n. Hier ist es aber so, dass a_n NICHT gegen 1 konvergiert, sondern gegen 0. Beachte, dass du Zähler und Nenner im Sinne von "Potenzen von n" nur dann vergleichen kannst, wenn sich nichts irgendwie "weghebt". Hier kann man nämlich auf den Zähler die dritte binomische Formel anwenden, genauer gesagt, a_n mit √(n+1)+√n erweitern. Dann bekommt man nämlich a_n = 1/((√(n+1)+√n)√n)). Hieran kann man dann ablesen, dass a_n ungefähr 1/(2n) ist für sehr große n, so dass Divergenz vorliegt. Versuch mal a_n mit der neu gewonnenen Darstellung nach unten hin abzuschätzen zu einem Ausdruck C/n>0 mit einer Konstanten C>0. Dann hast du eine divergente Minorante für das Minorantenkriterium gefunden!

@@Rafau85 ok vielen Dank. Eine Frage hätte ich aber noch. Wenn man zum Beispiel einen Wurzel Ausdruck hat mit Wurzel n im Zähler sage ich mal und den Zähler kleiner machen will, kann man den Zähler dann einfach auf 1 abschätzen, weil für n gegen unendlich ist Wurzel n ja definitiv größer als 1. Wäre es aber erlaubt das einfach so auf 1 abzuschätzen. Weil ich habe irgendwie Probleme damit Wurzel Ausdrücke kleiner zu machen, hättest du da vielleicht einen Tipp für mich.

@@DabbleDen So ist es. Verbreitet die Botschaft!

Hallo, ich arbeite nicht als Tutor, sondern als etwas anderes (nebenberuflich). Ich habe an einer Universität Lehraufträge. Momentan kann ich wohl aus Zeitgründen leider nicht weiterhelfen.

Vielen Dank!

Hi, ich muss schauen, ob und wann ich Zeit habe. Zudem gibt es noch andere Anfragen. Aber Differentialgleichungen finde ich als Thema gut! In welche Richtung sollte es am besten gehen?

Vielen Dank!

Vielen Dank! Welche Kurse belegst du?

@@Rafau85 ich studiere Technomathematik und höre gerade Lineare Algebra I und Analysis I

@@malteriano2516 Das hört sich doch mal nach einem vernünftigen Studiengang an. ;)

@@Rafau85 Danke, macht auch echt Spaß, mein LinA Professor ist nir gut darin Inhalte (zumind. für mich) unverständlich rüber zu bringen, dabei sind die ja ganz einfach (zumindestens so wie du sie rüber bringst!) Was hattest du Studiert?

@@malteriano2516 Mathematik. Es ist aber auch so, dass ich nebenberuflich an einer Universität Lehraufträge habe, zu denen ich eigenständig Aufgaben kreiere. So ergibt sich einiges an Material für meine Videos. Mein Ansatz ist, interessante und nicht zu einfache Aufgaben in meinen Videos zu präsentieren.

Du bist nicht imstande, einfache Wege zu verstehen. Lass die Finger von Mathematik und vor allem lass deinen Hass bei dir.

😶‍🌫

Danke! Den von dir genannten Schritt muss man nicht unbedingt machen. Ich habe dort nur f(x) umgeschrieben, so dass am Ende 1/x dx steht, was zusammen zu du nach der Substitution wird. Versuche einfach die Substitution nachzuvollziehen (oder mache diese so, wie du es gewohnt bist). Ich finde es immer ein wenig übersichtlicher, wenn man vor der Substitution die Funktion noch ein wenig "sortiert". Genau das ist hier geschehen.

Ich notiere es. Welche Themen sind von besonderem Interesse?

@@Rafau85 Wir befinden uns erst in der vierten Vorlesungswoche, also relativ viel Spielraum. Auch wenn es jetzt keine gute Themeneingrenzung ist, würde ich die stetigen Zufallsvariablen vorschlagen. In welche Richtung es dann hierbei geht überlasse ich mal dir :)

Das freut mich! Machst du gerade einen Algebra-Kurs?

@@Rafau85 Letztes Semester an der Uni LA I und jetzt LA II. Deine Videos sind wesentlich umfangreicher und damit hilfreicher als die meisten anderen.

@@ellynugat658 Das ist gut zu wissen. LA II hat einiges an Stoff, den man mit vielen Aufgaben versehen kann. Ich hoffe, meine Zeit gestattet mir es, früh genug Videos zu produzieren.

Vielen Dank! Zur Frage: Nein, in d) ist die Grenzfunktion f sogar stetig! Wenn x von links gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=1 gegen 1. Wenn x von rechts gegen 0 strebt, dann konvergiert f(x)=e^x gegen e^0=1. Weiter ist f(0)=e^0=1. Damit ist f in x=0 stetig. Als stückweise über stetige Funktionen definierte Funktion ist f somit überall stetig. Hier kommen genau genommen nicht zwei Werte heraus, sondern zwei Funktionsterme. Einmal 1 und einmal e^x. Aber das bedeutet nicht automatisch nicht, dass f dadurch unstetig ist, was ich vorhin begründet habe. Zudem haben wir auch ausgerechnet, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. Also muss die Grenzfunktion stetig sein, da jedes f_n stetig ist. Wenn tatsächlich (wie in a)) zwei verschiedene Werte herauskommen (d.h., die Teilfunktionen sind konstant mit den entsprechenden Werten), und sich die einzelnen Bereiche "berühren", dann kann man aber sofort sagen, dass die Funktion nicht stetig ist. Dann kann man wie im Video bei a) direkt sagen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, da jedes f_n stetig ist. Ich hoffe, dir hilft die Antwort. Bei Fragen gerne noch einmal fragen!

@@Rafau85 Danke😊 Ich glaube, ich habs verstanden 🙏🏽

@@Rafau85 Eine Frage hätte ich doch noch: Bei a) hast du gesagt, dass wenn fn gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion wäre, die Grenzfunktion auch das f (von der punktweisen K.) sein müsste. Aber wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann kommt immer 0 als Grenzwert raus (oder?) und stimmt ja oft dann nicht mit dem von der punktweisen K. überein? Danke🙏🏽

@@Eva-qu1fv Wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann gegen eine Funktion, und diese muss nicht unbedingt die Nullfunktion sein. Vielleicht verwechselst du es damit, dass ||f_n-f||_\infty gegen 0 konvergieren muss. Aber das ist ja die Supremumsorm (!) von f_n-f, welche gegen 0 konvergiert und nicht f an sich.

@@Rafau85 Top danke🙏🏽🙏🏽 hab es verwechselt…

Dann hat man nur noch eine Zeilenstufenform, aber keine reduzierte Zeilenstufenform. Für eine reduzierte Zeilenstufenform müssen alle Einträge über den Pivotelementen gleich 0 sein.

Verzeihung, ich kann das leider nicht beeinflussen. Sollte ich irgendwann hierzu Einstellungen machen können, werde ich das natürlich berücksichtigen, dass die Werbung mittendrin minimiert wird.

Für gerade bzw. ungerade n alleine hat man jeweils eine konvergente Teilfolge. Das heißt aber nicht, dass die gesamte Folge an sich konvergent ist. Den Satz kann man nicht verwenden, da die Funktionenfolge nicht punktweise konvergiert.

@@Rafau85 aso das war mein gedank, da man sowas auch bei betragfunktionen wie zb 1÷(1+nIxI) macht.