connard

Effectivement ce point n’est pas évident notamment parce que je n’ai pas trouvé d’exemple parlant de sous corps d’un corps fini. Donc comme toi j’ai encore du mal à visualiser la chose. Mais d’un point de vue purement rigoureux c’est très clair : du fait que F est un corps on peut parler de F-ev. Comme F est inclus dans K, la multiplication externe (un scalaire = un élément de F * un vecteur = un élément de K) est bien stable dans K. Donc K possède la structure de F-ev. K est fini donc a une famille génératrice finie (au pire prendre tous ses éléments) donc on peut lui extraire une base finie (k1,…,kn). Enfin, la fonction combinaison linéaire CL : F^n -> K et qui à (f1,…,f2) -> somme des fi*ki est surjective car (k1,…kn) est génératrice, et injective car (k1,…,kn) est libre. Donc c’est un isomorphisme, donc F^n isomorphe à K. Effectivement tu as raison de poser la question j’aurais du plus détailler cette partie parce que après ça devient un réflexe quand on a une base de dire que l’ev est isomorphe au corps à la puissance du cardinal de la base, via CL. Bon courage !

Effectivement l’exponentielle tend vers 0 en moins l’infini alors que tous les polynômes (sauf constants) tendent vers plus ou moins l’infini. Mais je ne vois pas en quoi cette information asymptotique (comportement à l’infini) empêcherait un polynôme de coller à l’exponentielle sur une petite portion, entre 0 et 1 par exemple, et qu’ils vivent leurs vies en dehors… Je ne sais pas si tu vois ce que je veux dire L’exponentielle a quand même été trouvée comme la fonction qui ne changeait pas par dérivation (j’ai fait une vidéo sur le sujet) donc c’est la première caractéristique à laquelle on devrait penser. Surtout que ça tombe bien les polynômes n’ont pas du tout cette propriété, au contraire, et ici on cherche à les différencier :)

@@LesMathsEnClair Ah oui je vois ce que tu veux dire, faire coller le polynôme dans une infinité de points _d'un segment_ aurait satisfait l'énoncé à réfuter (ça aurait été sans doute tout autant impossible mais bien plus compliqué à montrer). Effectivement, ta manière de faire marche bien et sans trop forcer.

Tu es d’accord avec « p divise a2 » (puisque bp = a2). Et après tu me dis « DONC a2/p » ce qui veut littéralement dire a2 divise p. C’est plus vrai du tout !! Pourquoi avoir inversé les deux ??

Merci beaucoup pour ton retour ! Je ne connaissais pas cette généralisation mais ça a l’air intéressant merci

@@LesMathsEnClair La somme des multiplicités des racines non-réelles, c'est la différence : degré - la SDM des racines réelles. Or cet exercice montre que la SDM réelle de P' >= celle de P - 1. (indépendamment du fait que P soit scindé ou pas).

Oui ça me parait bien bon, bien joué. J’aime bien le raisonnement de dire que si une fraction est égale à une autre qui est irréductible alors on peut égaliser numérateur et dominateur à un même facteur près, ce qui ressemble pas mal à ce que je fais au final. J’aimais bien dans ma preuve rappeler le fait que si p et q sont premiers entre eux alors p^n et q^n le sont aussi. Merci de partager ta vision des choses qui parlera peut être plus à certains. En espérant avoir pu t’aider !

Je ne sais pas ce que tu appelles m. Le degré de (X-ri)^mi-1 est la somme des mi-1 c’est à dire la somme des mi le tout moins p, c’est à dire n-p

Merci beaucoup c’est encourageant 🙏

Ce n’est pas un problème, ce cas est bien traité. C’est juste que en dérivant on va perdre toutes les racines qu’on avait de base. Mais vu que dans ce cas on part de beaucoup de racines, on en a deg(P), et qu’entre chacune d’elles, on va récupérer par théorème de Rolle une nouvelle racine pour P’, on arrive quand même bien à trouver deg(P)-1=deg(P’) racines pour P’. Il est donc bien scindé aussi.

Merci beaucoup 🙏 Oui j’avais écrit une première version de la propriété car elle était parlante, mais il s’est avéré que la contraposée de cette version était plus commode à démontrer. De toute façon une propriété et sa contraposée disent la même chose, à toi de sentir la version qui te parle le plus et la version que t’arriveras plus facilement à démontrer 👍

@@LesMathsEnClair D'accord merci encore !

Il y a une erreur quand la somme est scindée, ça n’impacte pas la suite mais la somme est jusqu’à N1 alors que ça devrait être jusqu’à N1 -1 car l’inégalité de convergence précédente était vraie pour n>=N1

@@TheoremeDeSarkowski Oui effectivement on pouvait aussi minorer |uN1 - L| par epsilon, merci pour la remarque. Mais bon on est pas à 1 près et puis mieux vaut en majorer pas assez que trop 👍

Merci beaucoup 😊 hésite pas à suggérer des améliorations