0+0+⋯+0 ≠ 0😱 WHY?!! The Crucial Concepts of Indeterminate Form in Limits! (for calculus 1 students)

[@brightmoonchiefyue]

大一微積分教過極限比較審斂法的話可以先大概用眼睛看出答案：因為每一項都大約是1/n，總共n項合起來大約就是1。當然考試的時候這樣寫會零分，但這個觀察的過程可以提供一個思考證明的出發點，也就是那些加在後面隨著n在變的值其實在前面的n^2眼中根本微不足道，看出這件事之後就比較容易想到可以用同樣微不足道但是不隨n變化的值去估計（夾擠）我們的目標級數了。 同樣地從這觀察出發，就可以把題目隨便改成看起來很可怕的樣子，譬如說改成+n^(1/2)，甚至是任何次數嚴格小於2的power function都可以。

[@Erican0719]

老师讲得很好，考前过来看，感觉收获很大！

[@ThisisChuan]

感謝支持～很開心幫助到你！

[@NoobMan829]

这是非常基础的秒杀题，不会的肯定挂科了，看通式一眼放低阶项迫敛即可，另一类是积分

[@墨信-p2w]

雖然很奇怪，但我寫程式碰到瓶頸時會來看一下老師的數學課，有種換個腦袋換個思路的感覺XD

[@ThisisChuan]

懂❤️ 寫扣需要一個 fu，BGM 嗨起來～～

[@叔哥]

這題雖然很基本，但還是值得思考

[@ThisisChuan]

是的

[@天兵公園-w5n]

推！受益良多，觀念說的很好很仔細！

[@jeffkevin3]

其實這個極限能不是零的點就在那個級數是項數是隨 n 長上去的，抵銷了每項隨 n 變大各項趨近於零的速度 例如 n = 1 整個和只有 1/2 n = 2 時第一項變小成 2/5 但因為多了一項所以整個和變成 11/15 又更大了 n = 3 前兩項有小下來只剩 63/110 時第三項又補上去整個和變成 181/220 到 n = 100 時就已經 0.9 左右了，可以大概猜到拉扯到最後會收斂在 1

[@ThisisChuan]

很好的判斷

[@dddqqq7688]

最後一題想到一個不太嚴謹的方法： 因總共有n個，又當n->∞時4n^2>>n，故將此題看成lim(n->∞) n^2/(4n^2)=1/4

[@yingkuanchen]

去年在念學測的時候寫過這題，確實值得思考❤

[@ThisisChuan]

是的～這題極限跟不定型的觀念很棒❤️

[@今晚不背鍋]

為什麼練學測要寫這個

[@jeffkevin3]

​@@今晚不背鍋 可能是不少比較厲害的高中 我高中學測指考也不會這個 😢 大一才學到

[@蛋餅教鍵村兒]

謝謝你~~~ 好久沒有算極限了，都荒廢了! 到現在都覺得自己遇到這種題目還是會直觀地用羅畢達，人真的要活到老學到老! #博主聲音真好聽 #英文聽了好酥喔

[@ThisisChuan]

感謝支持🍺 很多人應該也是如此 XD 學生時期羅必達好用就一直用，思考不小心就僵化了～ #可以當PODCAST聽了 #THANKYOU

[@葉楓-t4y]

不是函數你要怎麼微分

[@andasora]

其實可以直接瞪出(1/4n) * n，不用夾 這樣就是1/4

[@hsujerry7231]

用 lower bound, upper bound 的觀念來看挺好的 讚~!

[@ThisisChuan]

嗯嗯～夾擠夾起來

[@MagusSiro]

謝謝分享，不過太多超派聽得很不習慣

[@cy0609]

這題剛好是我第一次段考的題目，原本也是以為0+0+...+0=0，之後看到解法就恍然大悟了

[@ThisisChuan]

嗯嗯～這題背後的不定型觀念也是很經典

[@Simon4ni]

遇到無窮加的極限，一開始會先想到黎曼和發現（1/n)^2不好去處理 😢，直接鬼轉三明治抓頭尾分母，突然就開朗起來給你個讚

[@ThisisChuan]

是的👍 鬼轉三明治🥪

[@irnsaga4614]

其實這題的技術點在於能不能想到那樣夾出答案，這也是夾擠難的地方

[@ThisisChuan]

是的，還有不定型的基礎觀念

[@Xuan-r1h]

好久沒碰微積分，只記得夾擊定理，高三指考跟大一微積分的東西完全忘光

[@ThisisChuan]

可能還記得羅必達？那你現在是幾年級 XD

[@jackshih2262]

講的不錯，第一眼以為能表示成積分

[@ThisisChuan]

感謝支持！這題確實會讓人想到「黎曼和求極限」的那種題型

[@lichiaoyu]

看完之後只想到，大而無外，小而無內，道生一。

[@ThisisChuan]

數學是一種信仰，一種浪漫

[@寄情山水之間]

我若早點找到這個頻道 我今年數甲一定可以更高

[@ThisisChuan]

感謝支持～還有大一微積分可以努力？

[@rayharster6662]

看到是夾擠定理差點吐血，寫數學有時越來越像是哲學，不知道在算甚麼了

[@ThisisChuan]

幫補血～數學寫的是一種信仰，一種浪漫 XD

[@attilathenun]

數學是邏輯的運用，邏輯是哲學的運用，天下萬萬學派追根究底是有規範、有應用的哲學。

[@leo-er9nh]

超派❤

[@ThisisChuan]

真的好派 XD

[@jimlue]

我：還好我不是大一的

[@ThisisChuan]

我：那你不只大一嗎

[@Endercat124]

我用黎曼和後 極限裡面算式變成 n*ln(1+1/4n) 再用羅必達求出最後答案1/4 一開始沒想過用夾擠

[@ThisisChuan]

喔喔很讚～出現第一個用黎曼和做出來的高手了！

[@wei-lingyu6857]

想詢問4:40提到的limits和function value到底有什麼不同？ 整個影片都能理解就只差這邊聽起來有點陌生XD

[@ThisisChuan]

私😂😂😂

[@1mseyo]

大一學微積分覺得這種題目好煩 現在修過了再看到一次這樣的題目卻會覺得好有趣🤔️

[@ThisisChuan]

嗯嗯沒錯～

[@CHICO55358]

1/4. 4:42 以這樣的觀點切入 對我來說收穫很大

[@ThisisChuan]

嗯嗯～Good👍

[@拜託不要搞我]

這題我們段考題，但我們那一題有陷阱分子好像係數不是1分母也不是123跳😢直接五分不見

[@ThisisChuan]

聽起來超派～～也是用夾擠夾起來嗎

[@weichenhsu6972]

0.25 另外想問這題用黎曼和要怎麼寫

[@劉展宏-v6d]

1/4 超讚 長姿勢了

[@ThisisChuan]

YES! 這姿勢超派～

[@天兵公園-w5n]

請問影片講解這題是否也能用黎曼和算出？

[@glunp789]

区分求積法かと思ったらはさみうちの問題だった。なるほど

[@---ef9wj]

その通り😄はさみうちは使いやすいやで😊

[@VerseUtopia]

n 很容易放，公式可以随意的设置，你可以不负责任的随意想象。。 但到实际运用在现实的时候，你会发现这些东西并不符合现实。。 以这方式表达现实，你需要把纸写到月亮 都还没写完可以determine完所有事物。。

[@Richhhhhhhhhhhhard]

1/4 超派😎

[@nakaninono0505]

封面那題不就教夾擠時的經典題目嗎

[@ThisisChuan]

是的，但大一生可能會忘記 XD

[@Sausage-u5g]

感謝chuan 哥講解 想順便一問 最近才練習積分 變數代換u的時候 遇到不同的複雜題型 很難判斷要另未知數(如x)為u或是一個式(如x^2-1)為u 想請教您的經驗

[@ThisisChuan]

好的～有看過我拍的《十大常見積分錯誤》的影片嗎？

[@Sausage-u5g]

@@ThisisChuan 還沒～我現在去看～～🤣

[@ThisisChuan]

@@Sausage-u5g資訊欄有放連結～

[@Sausage-u5g]

@@ThisisChuan 🙏🏻

[@喬俊杰]

還好第一眼看直覺就覺得是1/4 by sandwich 沒丟數學系的臉

[@ThisisChuan]

讚！

[@minerdd3036]

上课听过，我们老师说这题是很经典的夹逼定律的题目😂

[@ThisisChuan]

嗯嗯～是高三生嗎？

[@minerdd3036]

@@ThisisChuan 现在大三😂

[@tw_koneko]

無限個極限是0的數加起來的極限不一定是0，我是這樣記的

[@ThisisChuan]

是的，這是極限不定型

[@SJLin-o6x]

1/4嗎？ 大致想法是n^2>>n 視為(n/4n^2)*n 瞎猜ㄉ，可以問一下正解嗎？ 只有一捏捏基礎= =

[@ThisisChuan]

猜對囉！讚～

[@Joelatasha]

大陸這邊叫夾逼定理😂

[@centenario.2575]

超派練習題夾擠完應該是 1/4

[@ThisisChuan]

YES

[@CHfromTW]

還好我是物理系，還是物理比較浪漫

[@ThisisChuan]

浪漫物理學家

[@galaxylod9971]

你大几？物理后期很烧脑

[@choupeter-ff3dz]

一看就是夾，路過

[@ThisisChuan]

厲害

[@willychen8389]

L'Hôpital's rule

[@ThisisChuan]

有用 L'Hôpital's rule 做出來嗎？

[@wanderingpoetinvoid]

那麼簡單的題目是侮辱我還是侮辱你自己..... 不會！

[@ThisisChuan]

超派～

[@hsiaosai1120]

等於1，用心算

[@ThisisChuan]

你是說超派練習題嗎？

[@hsiaosai1120]

@@ThisisChuan 1/4

[@ahaaha8462]

大陆这个夹挤叫夹逼定理 很不雅😂

[@ThisisChuan]

夾逼…👀

[@rachhtw]

依夾擠定理，1/4。

[@ThisisChuan]

YES

[@gfsadds5574]

可以演示一下，n是多少，總和才會到0.9

[@ThisisChuan]

你覺得 n 要多少～

[@Shiosa_H2O]

用電腦跑，我的話我會用python寫

[@2104鄭祐霖]

這不是基礎題嗎 但確實沒學過直覺會覺得是0

[@ThisisChuan]

嗯嗯～沒錯

[@plasarssy7197]

現在學測都教這種東西嗎!!!!? 我以為這是大學某些科系才會提到的問題 超派

[@ThisisChuan]

這是分科測驗數甲微積分的內容，學測不會考這個，不然真的超派 XD

[@plasarssy7197]

@@ThisisChuan 居然教高中生這種東西... 高中生真不容易...

[@陳漢毅-n8v]

高三下好像本來就有教微積分 只是我覺得學測考試時間有問題 以至於高三下很多人根本沒在上課

[@陳漢毅-n8v]

我自己覺得學測這個制度就很怪 哪有人提前考 然後最後半學期就可以全放掉的😂

[@MagusSiro]

印象指考有考過類似的

[@fortnite-minami-buhii]

中国語に日本語の平仮名があるのか？！「あでで」ってなんや？

[@ThisisChuan]

「あでで」は間違った答えをするための効果音です,私の自作の副詞の言葉,ハハ。😅

[@薛俊睿-y7m]

我現在是高二，還不會解這題，是看了影片之後才知道原來要用夾擠，如果是limn→∞Σn/(n²+k²)那可以換成黎曼，這樣我就會算了。可能是微積分還沒學多少吧

[@ThisisChuan]

嗯嗯了解～提早看看微積分的世界也不錯

[@tedsu9075]

封面是嘉中段考題嗎，段考的時候寫錯😢😢

[@ThisisChuan]

封面是很多學校老師編的講義或是參考書都會放的題目～

[@JW-bx4su]

基本概念问题

[@ThisisChuan]

沒錯

[@centenario.2575]

阿不就夾擠而已嗎

[@---ef9wj]

所以あでで是啥😆

[@ThisisChuan]

「あでで」は間違った答えをするための効果音です,私の自作の副詞の言葉,ハハ。😅

[@---ef9wj]

@@ThisisChuan そうなんだー　わらわら

[@Xiaoxin06]

4分之1嗎？

[@ThisisChuan]

賓果

[@愚者-w8u]

(1/n)*n (1/4n)*n

[@馬鈴薯-k6z]

看到這題：1 為什麼：直覺 被數學老師打死

[@ThisisChuan]

超派！暴力數學家 XD

[@yaolimumu]

讲的太繁琐了，无穷小本质不是数字，而是变量，都具备两个属性为权和阶，1阶无穷小×1阶无穷大就是1。

[@tes1a]

夹逼准则

[@ThisisChuan]

是的

[@tuananhtran5071]

1/4???. After i watch this video, i subscribed your chanel

[@ThisisChuan]

1/4 YES. Thank you for the big support!

[@白露-v8i]

1/4

[@ThisisChuan]

BINGO

[@isc6710]

あでで

[@ThisisChuan]

あははは

[@arkadata237]

這不是正常的高三生都會嗎⋯⋯

[@ThisisChuan]

但不一定清楚背後的觀念

[@thankyou_sunglassesbrother_no1]

我國三會寫應該還算正常吧

[@ThisisChuan]

哇！如果過程也看得懂，那真的 超派～

[@thankyou_sunglassesbrother_no1]

@@ThisisChuan 大部分都還能勉強理解

[@---ef9wj]

不正常，如果你真的會寫，代表你很厲害，但也不用特意留言炫耀哦😆

[@thankyou_sunglassesbrother_no1]

@@---ef9wj 剛好有興趣而已

[@willie333b]

1/4

[@ThisisChuan]

GOOD JOB

[@牛奶-c2g]

1/4

[@ThisisChuan]

（叮咚叮咚）

[@PlatonAltei]

1/4

[@ThisisChuan]

是的