[ALGEBRA #4] - Funzioni/applicazioni composte (con esempi)

[@giacomodallapozza]

ma al 6.13 g o f è possibile

[@giacomodallapozza]

perchè P(N) è contenuto in P(Z)

[@cirogallo1286]

@@giacomodallapozza Ciao, hai assolutamente ragione! Essendo P(N) contenuto in P(Z) chiaramente gli elementi dell'insieme immagine di f appartengono al dominio di g, quindi la composizione è ben definita. Ti ringrazio per avermelo fatto notare e mi scuso per l'errore! Magari fisso il messaggio in alto così che altri possano vederlo.

[@jumponair]

Ed anche questo argomento è andato. Grande. Aspetto il prossimo video :D

[@merylulu16]

Molto chiaro, grazie mille :)

[@emanuelesavarese5625]

Attendo il prossimo video con fervore !! Continua così!

[@giusymarzano2447]

Salve, ma per quanto riguarda la seconda proposizione, la seconda e la terza proprietà non le ha dimostrate?

[@silvius5562]

Ma la definizione di sezione e retrazione c'è sul canale?

[@UnaltroYoutuber]

Io vorrei contattarti come posso fare?

[@pochopsp]

Ciao Ciro innanzitutto complimenti, sei bravissimo. Volevo una mano sul corollario alla proposizione 3. Riusciresti a dimostrarmi con un esempio pratico perché (f)o(f^-1) è sempre uguale all'identità di S? (f^-1)o(f) me lo riesco a spiegare da solo ma con (f)o(f^-1) proprio non riesco. Grazie mille per il tuo lavoro

[@cirogallo1286]

Ciao, ti ringrazio per il complimento! Allora, prima di farti un esempio pratico, che è ciò che ti interessa, ti indico l'intuizione logica che c'è dietro il corollario: noi abbiamo dimostrato che f^-1 o f ha come risultato l'identità del dominio di f f o f^-1 ha come risultato l'identità del codominio di f è evidente che se dominio e codominio coincidono, allora coincideranno anche le identità. Se un esempio ti può rassicurare, allora consideriamo la funzione biettiva f e l'inversa f^-1 f: x € Z --> x+2 € Z f^-1: y € Z --> y-2 € Z Proprio come nella dimostrazione della proposizione calcoliamo le due funzioni in un particolare valore (prendiamo ad esempio x=2) e verifichiamo che conducono alla stessa identità: f o f^-1 (2) = f(f^-1(2)) = f(0) = 0+2 = 2 f^-1 o f (2) = f^-1(f(2)) = f^-1(4) = 4-2 = 2 Questo vale per qualunque elemento di Z. Non ho dimostrato che la funzione è biettiva per comodità, magari per allenarti potresti farlo tu, ma se hai problemi scrivimi tranquillamente. Spero di essere riuscito a chiarire il tuo dubbio :)

[@pochopsp]

Ciro Gallo L'esempio pratico è perfetto. Solo che io volevo spiegarmelo con un valore a generico appartenente al dominio. Per farti capire bene cosa non riesco a spiegarmi ho fatto una foto e l'ho caricata sul mio drive. Ecco il link drive.google.com/file/d/14eWXd7CDNW5mO6JbCmHuKws0blis9YFw/view?usp=drivesdk La seconda parte non riesco a verificare che sia uguale ad a

[@cirogallo1286]

@@pochopsp Ahh ho capito. Se ci pensi anche nel secondo caso la proprietà è dimostrata, tu hai f(f^-1(a)) f^-1(a) restituisce l'elemento del dominio a cui applicando f si ottiene a, quindi il risultato è ancora a

[@pochopsp]

Ciro Gallo È vero che io non sono molto sveglio. Ma tu sei brillante! Grazie mille per la spiegazione adesso è veramente tutto chiaro. Sono il tipo che se non capisco una cosa ci perdo anche una settimana ma devo capirla... Hai salvato una settimana della mia vita ahahahahahha

[@cirogallo1286]

@@pochopsp allora siamo simili, capisco il tuo disagio :) e comunque sei troppo gentile ahahahah

[@velefarnilu5352]

Appena sarà possibile, puoi fare più esempi anche su qualche esercizio più complesso. Ti ringrazio

[@cirogallo1286]

Certamente, a breve farò uno o più video completamente dedicati agli esercizi di varie difficoltà e che possano spaziare un po' su tutti gli argomenti del corso. Grazie per aver visto il video :)

[@vitalianovizzani2559]

Perdonami, al minuto 3.00 non si legge "f composta g" anziché "g composta f"?

[@cirogallo1286]

Ciao, scusami per l'attesa ma fino ad ora non ho avuto modo di controllare il canale. Comunque la scrittura: f • g si legge "f composta g" g • f si legge "g composta f" perchè il pallino è l'operazione di composizione, è come scrivere x+y.

[@vitalianovizzani2559]

Mi sarò sbagliato. Ma forse si saranno sbagliati anche Salsa, Bramanti, Pagani e tanti altri.

[@cirogallo1286]

@@vitalianovizzani2559 Ovviamente ciò che dico non è affatto indiscutibile, anzi spesso mi piace confrontarmi (soprattutto sugli esercizi) e quando sbaglio chiaramente sono felice se qualcuno me lo fa notare, ma in questo caso non posso che confermare ciò che ho detto: per scrupolo ho appena controllato su un libro e mi ci trovo. Se anche tu sei sicuro, mi vien da pensare che si possa dire in entrambi i modi, ma è strano dato che l'operazione di composizione non è commutativa. Ad ogni modo ciò che conta è capire se e come può essere definita la composizione :)

[@vitalianovizzani2559]

@@cirogallo1286 Io ho solo detto quello che ho letto. Comunque hai ragione, conta capire. Grazie per l'impegno che mostri nelle tue video lezioni, saluti.

[@cirogallo1286]

@@vitalianovizzani2559 Saluti anche a te, ti ringrazio per il feedback!

[@greekcity2244]

scusa, ma non ho capito il concetto di funzione iniettiva che hai esposto. il mio libro descrive le finzioni iniettive in questo modo: tutte x1, x2 che appartengono ad A che sono x1 diverso da x2 allora f(x1) e diverso da f(x2), cio implica semplicemente che ad ogni elemento di x corrisponde un solo elemento y, la tua definizione non riesco a capirla

[@cirogallo1286]

Ciao, premetto che il concetto di iniettività, così come quelli di suriettività ed iniettività, è approfondito nel video #3 della playlist e ti consiglio di guardarlo. La definizione che dà il tuo libro, che non è l'unica, corrisponde a quella che io ho scritto intorno al minuto 18:00, tuttavia non corrisponde a quello che hai detto tu, cioè "cio implica semplicemente che ad ogni elemento di x corrisponde un solo elemento y". Ciò che hai scritto tu è insito nella definizione di funzione stessa, infatti una funzione NON è tale se esiste una x (nel dominio) a cui sono associate due o più y (nel codominio): la definizione stessa di funzione richiede che ad ogni elemento del dominio corrisponda uno ed un solo elemento del codominio. L'iniettività richiede invece che non esistano due x diverse (nel dominio) associate alla stessa y (nel codominio), oppure, in altri termini, ogni elemento del codominio è immagine al più di un solo elemento del dominio. Spero ti sia chiaro, altrimenti non esitare a fare ulteriori domande :) N.B. Nel video, in particolare nella definizione di funzione iniettiva, x ed y appartengono entrambi al dominio, non vorrei che tu ti sia confuso e che, vedendo y, abbia pensato che essa appartenga al codominio.

[@deemaso]

Ciao Ciro, ma scrivere i(A) è funzionalmente uguale allo scrivere id(A), o hanno due significati diversi?

[@cirogallo1286]

Ciao, in realtà sono due modi diversi di scrivere la stessa cosa.

[@TanKee]

:)

[@alessioesposito1951]

Ciro scusami ma vorrei sapere come mai nella spiegazione hai scritto che la funzione composta g•f (con f: A -> B e g: B -> C) ha per dominio il dominio di f (A) e per codominio il codominio di g (C). Mentre nell'esempio hai detto che la funzione composta g•f ha per dominio il dominio di g e per codominio il codominio di f

[@cirogallo1286]

Ciao, ti riferisci all'esempio del minuto 01:50?

[@alessioesposito1951]

@@cirogallo1286 esatto

[@cirogallo1286]

@@alessioesposito1951 mmm ho riascoltato e non trovo l'errore. Quando parlo del dominio di f e del codominio di g (02:54) mi riferisco alla condizione necessaria affinché si possa scrivere la composta g°f. Poi però l'ho definita ponendo come dominio il dominio di f, cioè Z, e come codominio il codominio di f, cioè Q. Ti torna?

[@alessioesposito1951]

@@cirogallo1286 si si, ho riascoltato anch'io e alla fine mi torna tutto... Errore mio (forse per l'orario 🙈) Scusami se ti ho disturbato a quest'ora, sei stato gentilissimo

[@cirogallo1286]

@@alessioesposito1951 figurati, nessun disturbo! :)