AMEDP Cours 20 - Dérivée Faible et Espace de Sobolev H1

[@DamassiTV]

Vous êtes un Prof extraordinaire. J'adore vos vidéos ❤️

[@josephdawaka445]

Merci bien professeur.

[@mathssup9652]

Nous vous remercions cher professeur pour tes efforts pour répandre la science.

[@Exkalibur-75]

Ces cours sont juste passionnants et excellents. Dans les années 99-00 (Université de Tours), les espaces de Sobolev étaient mon sujet de prédilection, mais devant la densité d'un tel sujet, j'ai malheureusement lâché prise. Je retrouve donc ce cours avec beaucoup de plaisir.

[@MathematicsAcademy_MA]

J'en suis ravi pour vous !

[@MathematicsAcademy_MA]

Bonjour, Je vous répond ici pour votre commentaire sur le théorème de Riesz car KZbin ne me permet pas d'y accéder... Pour faire simple, je suis d'accord car toute forme définie est non dégénérée. Je vais ajouter un sous-titre pour préciser que u=0 est l'unique u vérifiant : = 0, pour tout V dans H. Merci pour votre vigilance.

[@thiernomamadoubalde6573]

Bonjour Professeur, je savoure toujours vos cours qui sont d'une richesse extraordinaire. Nous attendons avec impatience le bloc sur la théorie des distributions.

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci à vous. J'ai posté hier le premier de la série ! Au plaisir de vous lire.

[@alahemy]

I love your videos, following you from New York City.

[@MathematicsAcademy_MA]

Thanks a lots !

[@مرادطارق-ر3ي]

اشكرك على الدروس التي تقدمها انا بدولاي اتابعك واستفيد منك كثيرا شرحك رائع وممتاز واتمنى لك كل الخير والتقدم

[@MathematicsAcademy_MA]

Avec grand plaisir !

[@mohamedelmatal6820]

mosieur j'ai un mini-projet sur la dérivation faible , je me demande si vous pouvez me diriger vers des livres utiles ou meme des fichiers que vous proposez

[@MathematicsAcademy_MA]

Je n'ai pas de fichiers à transmettre, par contre, j'ai mentionné plusieurs fois au cours de ce cycles de cours plusieurs ouvrages de référence. Celui de Raviard-Thomas, Haîm Brézis, Grégoire Allaire et les meins également.

[@Fikra_ijabiaamahaassi]

merci bq monsieur 🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉

[@pierrelafontaine5671]

Merci . j'ai hâte de suivre votre cours sur les distributions

[@adnanehamiaz2248]

Merci pour vos cours, que je savoure à chaque fois, et merci pour votre générosité. J'ai une petite question: Est ce qu'on peut utiliser la densité de D dans L^2 au lieu du théorème de Hahn-Banach ?

[@MathematicsAcademy_MA]

Oui bien sûr mais l'écriture complète par la densité est plus longue.

[@safouantaoufik]

merci infiniment. J'ai une petite question concernant 26:00 pourquoi la dérivée est dans L2 ? vous avez dit que la dérivée est continue sur un fermé (l'adhérence de l'ouvert $\Omega$). Je pense que cela ne suffit pas pour qu'elle soit dans L2. Par contre si l'ouvert $\Omega$ est borné ca sera dans L2.

[@MathematicsAcademy_MA]

Avec plaisir ! Concernant votre question, puisque la dérivée de la fonction est continue, son carré l'est également. Du coup, le carré est Riemann intégrable.

[@safouantaoufik]

@@MathematicsAcademy_MA ce que je veux dire c'est que la continuité d'une fonction sur un fermé ne suffit pour qu'il soit intégrable. exemple x-->1 est continue sur R qu'est un ferme mais n'est pas intégrable.

[@MathematicsAcademy_MA]

Ha bien sûr ! Je comprends mieux votre remarque. J'étais persuadé que j'avais mentionné que Omega était borné. Si ce n'est pas le cas je mettrai un sous-titre dès que KZbin aura résolu le dysfonctionnement qui ne me permet plus d'insérer des sous-titres. Mais, il me semble bien que dès lors que je parle du bord de Omega qui est au moins C1 dès le début du cours, c'est qu'il est borné. Dans tous les cas, merci pour votre vigilance.

[@safouantaoufik]

D'accord j'ai très bien compris maintenant. Merci beaucoup pour vos réponses.

[@DanielBWilliams]

Bonjour, encore merci pour votre super cours ! Pour utiliser l'argument de 26:33 ne faut-il pas que Ω soit borné afin que Ω barre soit borné et donc Ω barre soit compact ? Je me dis que ça doit ça que vous avez dit quand vous avez dit au tout début que Ω n'était pas trop méchant haha Encore merci pour tout !

[@MathematicsAcademy_MA]

Oui tout au début je parle d'Omega dont le bord n'est pas trop irrégulier. Bref, il est donc borne de facto

[@abderemaniali1484]

Un prof hors norme 🥰💝

[@Happylife-en3se]

merci bouceaup professeur c'est magnifique cours

[@MathematicsAcademy_MA]

Avec grand plaisir !

[@Best_Maths]

Merci beaucoup pour vos efforts

[@evelyne5098]

Quelle est la différence entre la dérivation ordinaire et la dérivation au sens des distributions ?

[@MathematicsAcademy_MA]

Bonjour. En première approche, et dans certains cas, la dérivée au sens des distributions correspond à la dérivée faible dans L2 dont j'ai présentée les différences avec la dérivée usuelle. Pour le cas plus général des autres distributions il faudra attendre que je fasse le cours correspondant.

[@Abdallah-li4hn]

bonjour et merci pour vos videos ! quelle est la vidéo ou vous abordez l'intégration par parties en dimension 2 ?

[@MathematicsAcademy_MA]

Avec plaisir ! Si vous faites allusion à la formule de Green-Riemann, il s'agit du cours 18 du cycle de cours AVIM.

[@ouafaeouaali4676]

ماشاءالله

[@hadyaboujaoude7896]

Encore une fois vos cours rendent les complexités de l'analyse abordable. Concernant la théorie des distribution y'aura t-il un cours spécial? Sinon des livres à me conseiller?

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci pour votre commentaire. Concernant les distributions, il y a toujours le livre de référence de Laurent Schwartz "Méthodes mathématiques pour les sciences physiques". Plus modestement, vous trouverez une petite introduction dans mes livres, notamment, "Méthodes Mathématiques et Numériques pour les EDP". Enfin, j'espère bien proposer sur note Chaîne plusieurs cours sur le sujets.

[@ahtaziber3609]

Grand merci monsieur, mais avez vous des vidéos de niveau M1 auxquels on y trouve assez des pratiques ???

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci pour votre appréciation. Les cycles de cours que je propose sont ceux des U.E officiels de l'Université de la Sorbonne. Plus d'applications correspondent au T.D mais je n'ai pas le temps matériel actuellement pour le proposer

[@absoluewarmane6819]

vous êtes incroyable

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci infiniment. Je fais le maximum pour partager cette si belle science !

[@bourbali6851]

Excellentes vidéos, bravo! Prof de math moi même, j'ai toujours admiré les grands profs sachant aussi être de bons pédagogues. Henri Cartan, dont j'ai eu le privilège de suivre les cours à Orsay, était de ceux là. Une remarque toutefois: vous dites que x->|x| est, en 0, à dérivée discontinue. Ce n'est pas vraiment le cas, puis qu'elle n'est même pas dérivable en 0. L'exemple classique de fonction dérivable partout mais à dérivée discontinue est x->x^2 sin(1/x) 1_{x≠0}. C'est l'exemple qu'on donne pour illustrer le théorème de Darboux. Il serait plus correct, me semble t il, de dire qu'une fonction continue ayant un point "anguleux" ( c'est le cas de x->|x|) ne saurait avoir de dérivée faible.

[@MathematicsAcademy_MA]

Bonjour et merci pour votre commentaire. Lorsque je dis que |x| a une dérivée discontinue en x=0, cela veut dire que la dérivée à droite et à gauche existe mais ne sont pas égales. En conséquence, |x| n'est pas dérivable en x =0. A présent, je ne comprends pas votre dernière phrase car, précisément, je démontre que |x| une dérivée faible dans L2 qui n'est rien d'autre qu'une fonction de type Heaviside, à savoir : H(x)-H(-x).

[@bourbali6851]

Oui, autant pour moi. je me suis emmêlé les pinceaux. ...Mais je maintiens: pour qu'il y ait discontinuité de la dérivée de f en un point a il faut que ladite dérivée f'(a) et que lim f' en a diffère de f'(a). Or, x-|x| n'est pas dérivable en 0, ce n'est donc pas un cas de discontinuité de la dérivée. Contrairement à x^2 sin(1/x)1_{x≠0} qui est bien dérivable en 0, alors que sa dérivée n'a pas de limite en 0. A part ça, je vais regarder toutes vos videos EDP pour être, enfin, une petit peu savant sur ce domaine. Vos explications sont très claires, et, de plus, on sent votre passion pour les math et votre plaisir à les décortiquer. Ce n'est pas donné à tout le monde.

[@ktayeb6774]

Merci infiniment.

[@MathematicsAcademy_MA]

Avec plaisir !

[@BTS700armySEVEN]

un prof top

[@MathematicsAcademy_MA]

Je viens de voir votre commentaire. Merci beaucoup !

[@wissalessattir9096]

très bon prof !!

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci !

[@ahmedousidiahmed8265]

Merci beaucoup pour l'explication extraordinaire, je voudrais savoir si vous avez de vidéos concernant le théorème de la divergence ??

[@MathematicsAcademy_MA]

vous faites allusion au théorème de Green-Ostrogradski ?

[@mhamdinoureddine9951]

Monsieur s'il vous plait est ce que vous pouvez faire d'autres vidéos.

[@MathematicsAcademy_MA]

C'est prévu si tout se asse comme je l'espère dans le courant de l'été !

[@ahmed_benmeftah]

Bonsoir Cher Professeur, à mon avis, la dérivée de la fonction valeur absolue de x est la fonction signe(x). Parce que pour Heaviside, c'est un peu compliqué parce qu'on va utiliser deux intervalles et une somme de deux fonctions de Heaviside pour exprimer cette dérivée.

[@MathematicsAcademy_MA]

Oui au sens de la dérivation forte habituelle. Mais au sens de la dérivation faible, on peut montrer qu'il ne s'agit pas d'une d'une fonction de L2 mais un autre objet mathématique relevant de la théorie des distributions.

[@nicchagall6075]

C'est quel niveau d'étude ?

[@MathematicsAcademy_MA]

L3 ou M1 selon le parcours d'étude

[@Exkalibur-75]

Je reviens sur cette notion de dérivée faible car je me rappelle que la notion de dérivée faible nous a été enseignée en parallèle de la notion de dérivée au sens des distributions; d'où un pataquès fatal quand il s'est agi de passer à des résolutions d'EDP : je ne faisais pas la différence, (et je comprends maintenant pourquoi j'ai lâché le morceau à l'époque) Si j'ai bien saisi, la notion de dérivée forte (1) admet une extension dans celle de dérivée faible (2) qui elle-même admet une extension dans celle de dérivée au sens des distributions (3). En dérivée forte, seules les fonction dérivables de L2(a,b) sont (1), (2) et (3). En affaiblissant un peu, on trouve des fonctions de L2(a,b) qui sont (2) et (3) (typiquement des fonctions à points anguleux). En affaiblissant encore, toutes les fonction de L2(a,b) sont (3), (ce qui nécessite je crois un passage en dualité.) Eh bien merci pour ce cours très clair où vous n'avez précisément pas confondu (au sens pédagogique, j'entends) les deux notions (2) et (3) !

[@MathematicsAcademy_MA]

Eh bien, c'est exactement cela !

[@gouris109]

super comme d'hab, pour vous remercier j'ai commandé votre livre, il est un peu cher quand même !

[@MathematicsAcademy_MA]

Merci pour votre message. Je suis désolé pour le prix des livres mais ce sont les éditeurs qui les fixent.

[@didierfortune972]

04 stokes integrat par partie

[@evelyne5098]

Merci beaucoup pour vos efforts