(Anneaux) L'anneau Z[X] n'est pas principal

[@FaresMaalouf]

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[@abdoulazizndiaye1167]

Un très grand merci.

[@michelmegabacus7894]

Pour montrer que A[X] n'est pas principal lorsque A n'est pas un corps, il est, à mon sens, plus simple et plus puissant de montrer que A[X] ne vérifie pas le théorème de Bachet-Bézout lorsque A n'est pas un corps (plus puissant, car si la principalité implique Bachet-Bézout, il existe des anneaux vérifiant le théorème de Bachet-Bézout mais non principaux). Soit a un élément non nul non inversible. a et X sont premiers entre eux (les diviseurs de X sont ±1 et ±X or a ne divise pas X) Peut on trouver deux polynômes u et v tels que au + bX = 1 ? Non. Car le terme constant du second membre est 1 ; le terme constant du premier membre est un multiple de a (donc non inversible).