Autour du théorème des restes chinois (Modulo) [TN-AB-2]

[@emmanuelmichot2652]

Il serait peut-être judicieux d'expliquer comment trouver 37.

[@POFM-yt]

Effectivement merci de ton commentaire. Si on ne garde que modulo 5 et modulo 7, facilement 2 est une solution . Pour ne pas changer modulo 5 et modulo 7, on ne doit additionner ou soustraire que des multiple de 35. Il faut donc chercher une solution parmi 2, 37, 72,...

[@emmanuelmichot2652]

@@POFM-yt En effet c'est simple merci beaucoup

[@yassirwav9485]

waq ta sor thwa

[@michelmegabacus7894]

Autre solution : 14 et 15 sont premiers entre eux car successifs. Les deux dernières équations modulaires sont donc dans les hypothèses du théorème chinois et l'on trouve classiquement (remarquant que 1 est l'inverse de 15 modulo 14, et -1 l'inverse de 14 modulo 15) : x = 14(-1)(7) + 15(1)(9) [14.15] Soit x = 37 [14.15] Mais 6 divise 14.15 On a donc aussi x = 37 [6] Soit x = 1 [6] La première équation de l'énoncé est donc superfétatoire, et le système admet comme solution x = 37 [14.15]

[@ouragh1951]

On peut tesoudre directement cet exercice et ce sans aucune transforlation du système initial. Pour cela il suffit d'utiliser le schéma d'Ouragh.

[@kodinko8944]

La démonstration de ce lemme est difficile ou non?

[@POFM-yt]

C'est pas évident, mais pas impossible non plus. Une démonstration est trouvable ici par exemple : www.mathraining.be/chapters/4?type=1&which=18

[@kodinko8944]

Lah yhdik

[@lesserie6916]

@@POFM-yt mmpoopoom

[@isme5019]

merci beaucoup

[@badiaoudaime4650]

❤

[@benjaminvatovez8823]

Bonjour, Merci pour la solution. Pour ma part je suis parti de (x+y)(xy-p)=5p. Puisque x+y > 1 & xy-p =5p/(x+y)>0, on a 3 cas : 1) x+y=5=1+4=2+3 & xy=2p(=4 ou 6 donc), ce qui donne p=2 ou 3. 2) x+y=p & xy=p+5 : x,y sont solutions de z²-pz+(p+5)=0, ce qui donne un discriminant égal à (p-2)²-24=n² (n positif sans perte de généralité) donc (p-2-n)(p-2+n)=24 or les deux facteurs sont positifs et ont la même parité donc sont pairs : ils sont égaux soit à 2 et 12 soit à 4 et 6 respectivement. On obtient p=7 et on a bien x,y entiers positifs (3 et 4 en l'occurrence). 3)x+y=5p & xy=p+1 ce qui donne un discriminant égal à 25p²-4p-4=((25p-2)²-104)/25=m², m positif sans perte de généralité. Donc (25p-2-5n)(25p-2+5n)=104, les deux facteurs positifs de même parité (donc pairs : 104=2.52=4.26) ne donnent pas de valeur entière pour p.

[@POFM-yt]

Bonjour, Es tu sur qu'il s'agit du bon exercice ?

[@alainrogez8485]

Soit n=1×3×5×7×u+1×2×5×7×v+2×2×3×7×w+2×2×3×5×t On voit que n est une solution de ce système. u,v,w et t sont des entiers relatifs et existent bel et bien en raison du théorème de Bezout. u est l'inverse de 3×5×7 modulo 2, ie l'inverse de 1 modulo 2 qui vaut 1. v est l'inverse de 2×5×7 modulo 3, ie l'inverse de 1 modulo 3 qui vaut 1. w est l'inverse de 2×3×7 modulo 5, ie l'inverse de 2 qui vaut 3. t est l'inverse de 2×3×5 modulo 7, ie l'inverse de 2 qui vaut 4. n=1×3×5×7×1+1×2×5×7×1+2×2×3×7×3+2×2×3×5×4 (mod 210) n=105+70+252+240 (mod 210) n = 105+70+42+30 (mod 210) n =247 (mod 210) n = 37 (mod 210) Ouf !!!!

[@POFM-yt]

Ouf !! Comme tu dis :)

[@flight7218]

toute cette video et il est pas arrivé à dire que n =37[210] , l'art de tourner en rond ....

[@yassirwav9485]

mat-atchreh ta 9aw9aw

[@Hayet-jb2sd]

C:est chinois