背理法・論証問題（京大入試2007）【青チャートで東大合格への道#03】

この証明を示すために、もう１段階証明が必要な京都大学の良問でした！
（本番では誘導付きです）
もう1つの照明がわかった方はコメントで！
青チャートの例題レベルで習うことを
「どう活用していくか」が難関大入試突破の鍵です。
今後も青チャートで東大合格への道をお楽しみに。
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[@user-uv5mw9qq8s]

受験終わったから気軽に見える 見る必要無いけど見たくなる

[@SUMAHO_GAME]

受験が10年前だった俺もみてるよ。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録👏2周目75G" 〘 別解 〙 【 背理法→ *ある自然数 n に対して、√( n＋1 ) －√ n が有理数であると 仮定すると、】 √( n＋1 ) －√ n ＝ q/p ･･･① ( p, q ∈互いに素な自然数 ) と表すことができる。 分子の有理化をして、 1／( √( n＋1 ) ＋√ n ) ＝ q/p ⇔ √( n＋1 ) ＋√ n ＝ p/q ･･･② ( ②＋① ) ÷2 より、 √( n＋1 ) ＝ ( p/q＋q/p )／2 ＝(有理数) ( ②－① ) ÷2 より、 √ n ＝ ( p/q－q/p )／2 ＝(有理数) √ n, √( n＋1) が共に有理数となって、矛盾する。よつて、仮定は 誤りだから 示された。■

[@victorymountain72]

ぬ。賢い！素晴らしいお手前です！

[@user-do6ti1hi4j]

√－√は逆数 背理法はどっちかしかないとき 背理法とか使う問題は覚えるしかないと思ってたけど、きちんと目印があったんだなと気づけました！ また次も待ってます！！

[@konamonwalotemauer1172]

√(n+1)-√nが有理数であるとすれば、平方して適当に移項することで √{n(n+1)}も有理数でなければならない。これをl/mなどと置いておき、 m^2*n*(n+1)=l^2からn*(n+1)は平方数でなければならないが、 nとn+1は互いに素なので、それぞれが平方数でなければならない。 しかし平方数の差は必ず3以上なのでこれは起きない。

[@zasty0816yo]

nが1以上の整数であるとする。 √nが有理数であるならば√nは1以上の整数である(証明略) √nと√(n+1)がともに有理数であると仮定する。 すると√nと√(n+1)は異なる1以上の整数である 1=n+1-n=(√(n+1)+√n)(√(n+1)-√n)≧2×1=2 よって矛盾 訂正 ご指摘頂いたので「nが1以上の整数であるとする。」という一文を追加しました。

[@ti9102]

1文目で0点になるタイプ...。

[@shjturtle]

@hf gfg 1行目の先頭に「nが1以上の整数かつ」が書かれていればオッケーですね。

[@zasty0816yo]

@hf gfg 問題文にnは1以上の整数であると書かれている前提で解いてしまいました。 誤解を招いてしまい申し訳ございません

[@fedevalverde3913]

@@zasty0816yo T Iさんにも何か返してやれよ

[@user-ne4ze8oc8p]

新高2です。これから更にモチベ上げて頑張っていくのでよろしくです！

[@manager_travels]

√k(k自然数)が有理数ならばkは平方数を示す √k=p/q(pとq互いに素な整数)おくと両辺二乗してkq^2=p^2 よってq^2はpの倍数(飛躍?)これとpとqは互いに素であることからq=1 ∴k=p^2よりkは平方数 さて隣り合う平方数の差は(k+1)^2-k^2=2k+1≧3>1 以上よりnとn+1は同時に平方数となりえないから√nと√n+1は同時に有理数となりえない PASSLABOのおかげで京大通りましたありがとうございます!!

[@mt2614]

自分も同じですね。√nが有理数の場合、n＝m^2(mは1以上の任意の自然数)であることを証明した後に、nが平方数の時にn+1は平方数にならない事を証明して終了。

[@manager_travels]

@@mt2614 多分初手で思いつくのはこれくらいですかね

[@youngcorn1]

q^2はp^2の倍数でなく約数では？

[@manager_travels]

@@youngcorn1 数か月前の答案で覚えてないですけど多分混同してますね

[@youngcorn1]

わざわざ回答ありがとうございます

[@zasty0816yo]

「aが無理数である」⇔「aは実数であり、有理数では無い」 ※この定義は無理数と実数のどちらを先に定義するかによって変わりますし、厳密に理解するには実数の連続性など大学で学ぶ数学が必要です 高校数学に於いては上の定義で十分だと思います。

[@user-kr4gg1ou6m]

背理法を使うタイミングの説明、めちゃくちゃわかりやすいです

[@user-hq6sx4kc9y]

ジェンダー問題についてあれこれ保険かける人いるけど、生物学的性別は2つしかないんだから、「これは社会的性別ではなく生物学的性別の話ですが」みたいな話始め方なら問題ないと思う

[@sator-py3ru]

※について考えてみました。 √nと√(n+1)がともに有理数と仮定すると n=p^2, n+1=q^2 (p,qは自然数) 差をとると (n+1)-n=q^2-p^2 よって 1=(q+p)(q-p) p,qは自然数より q+p>0 となるので q-p>0となる よってq+p q-pはともに正の整数となる 従ってq+p=1 q-p=1 差をとると 2p=0 よって p=0 これはp,qが自然数であることに矛盾する 従って√nと√(n+1)がともに有理数となる自然数nは存在しない

[@michaelgreen3744]

なぜ最初にp^2、q^2とおけるのですか？有理数ならq/pとおくのが定石じゃないんですか？教えてください！

[@oku13]

@@michaelgreen3744 √n=q/p(p,qは互いに素)とおくとp^2*n=q^2となってp,qが互いに素であることからp=1となる。 だからn=q^2(平方数)となる。

[@user-jx6zl2jp4i]

前半部分、√n+1 + √n = rと置いた後、1/r = √n+1 - √nになることを用いることもできますね。 √n+1 = (r + 1/r)/2 √n = (r - 1/r)/2

[@miyagawayan]

例題だけでも入試問題になってるから大事な考え方やな

[@flash8160]

√n,√n+1がともに有理数であると仮定すると √n=p/q-①,√n+1=p'/q'-②(pとq,p'とq'はともに互いに素な自然数)と書ける。 ①②ともに両辺2乗して n=(p/q)^2-①',n+1=(p'/q')^2-②' ①'を②'に代入して整理すると q'^2(p^2+q^2)=(p'q)^2 ここでp'とq'は互いに素であるから p'^2=p^2+q^2,q^2=q'^2 or p'^2=1,q^2=q'^2(p^2+q^2) ⇔(p'/q')^2=(p/q)^2+1-③ or p'=1,(pq'/q)^2+q'^2=1-④ さらに③⇔(p'q+pq')(p'q-pq')=1となり、p,q,p'q'は自然数であるため、p'q+pq'≧2かつp'q-pq'は整数 このことから③を満たすp,q,p',q'は存在しないといえる。 またq'は自然数であるため、(pq'/q)^2+q'^2＞1 このことから④を満たすp,q,p',q'は存在しないといえる。 したがってこれらのことは①②と書けることに矛盾するため、√n,√n+1がともに有理数であるような自然数nは存在しない。◼️

[@user-yn7ed1cg5g]

8、9行目の「p‘とq’が互いに素であるのでp‘^2=p^2+q^2となる」というところについて 素数a,b,c,d,e,fをつかって全ての数は素数の積で表せれるのでp’^2=abc q^2=def と表したとすると p‘^2・q^2=abc・def=q’^2(p^2+q^2) p‘とq’が互いに素であるという条権だけではp^2+q^2=abcf となることもできるので必ずしも等号成立とはならないのでは？

[@user-ky7uw6th2b]

①√n-√n+1=k(kは有理数) ②両辺を2乗。 ③√n(n+1)が有理数、n(n+1)=p^2になる必要がある。(pは自然数) ④隣り合う2数は互いに素なことから矛盾。 これでは足りませんか？

[@user-py2fe2bj4w]

3から4 1とp^2は互いに素だから成り立たないことを記述しなければならないはず

[@user-me9me4rv6l]

1:03 やっぱ粗品いるの草

[@kk-dv2cf]

待ってました、、、、、！！、

[@user-wi5jh5bm5i]

分数にして解く方気持ち良すぎるw

[@user-qo8td5sm3r]

有理数と仮定するところまではできたけれど、その後の式変形が思い付かなかったです。

[@user-qr3zc9ej9c]

それ０点で草

[@nd-eu1kf]

色んなことに手を出しすぎて、鉄壁Liveのようにほとんど全部やり切らずに企画が途中で終わってしまうのがすごく残念に思ってます😅

[@kurimipannakotta]

示し方分からない俺はもっとやるべきだと分かったのが今日の収穫だ

[@user-ey4xm6gm7f]

一般性を失わない 使う問題を扱って欲しいです！！

[@user-ey4xm6gm7f]

一橋大学のやつは見ました！！

[@ko-ky2do]

上の証明は、平方数が連続しないことを示せば良いのかな

[@humzahussain1732]

そうです。自分はそれでいけました。(高1)

[@gauss6047]

示したい命題は「すべてのnに対して、√(n+1)-√n は無理数である」が真であること。 よって、最初に仮定するものは、 その命題が偽である。 つまり、「√(n+1)-√n が有理数となるような、nが存在する」 としなければいけないのではないのでしょうか。 そうしないと、ヒントの「nが存在しない」というものと矛盾するということが言えないと思います。

[@YouTuber-rn6wy]

早く見れた！

[@user-oc5qh1dz7c]

与えてくださった武器の解説お願いします！ 背理法面白いなと思うことができました！ 宇佐美すばるさん素晴らしい解説ありがとうございました！面白かったです！これから数学極めていきます！

[@user-pu7hb7dl4e]

日常的にはアリバイやアリバイ崩しがいわゆる背理法だわね

[@Setsuna2718]

連続する2整数のどちらとも平方数になることがないことと、異なる二つの無理数の差は無理数であることと、平方数でない数の平方根は無理数であることと、整数と無理数の差が無理数であることを示せば行けるから…

[@victorymountain72]

久しぶりのコメントでございます． 平均値の定理でも解けるかと存じます、こちら脳筋理系マンよりご報告になります．

[@user-kl7mk3dw3r]

逆転裁判の論法も背理法だよね。

[@user-uh9rk7nn5j]

なんかこれ一橋後期の問題にすごい似てるのあった気がする

[@astronaut3785]

質問です。 リスニング問題の時に一回できない問題が来るとそこから一気に崩れてしまいます。そこで、メンタル維持して切り替えができる方法が知りたいです。できれば、練習？方法もです。

[@_bahha2984]

面白い！！！

[@user-masaryyyy]

n^2が無理数ならばnは無理数である。① √n(n+1) は無理数である。② これらの事実を使って、 (√n+1-√n)^2=2n+1-2√n(n+1) よりこれは無理数であるから √n+1-√nも無理数である。 なんてのはどうでしょう ①は対偶を取れば、②は背理法を用いて √n(n+1)=a/b(a,b互いに素) とおけると仮定して、両辺二乗すると n(n+1)=a^2/b^2 左辺が整数より右辺も整数なので、a^2/b^2はa,b互いに素よりb=1とわかる よって√n(n+1)=aとわかるが、 n^2

[@komenosuika]

全く同じ考えしました

[@user-cv2nw7rs4x]

√nが有理数ならば、整数であることを示せば楽になる nを1以上の整数とする。 √n=q/p（p,qは互いに素な自然数）と表せると仮定する。 両辺2乗して変形すると q^2=n p^2・・・① p^2はq^2と同じ素因数を持たず、nは整数なので、①を満たすpは　p=1のみ よってn=q^2 √n= qであり、つまり√nが有理数ならば√nは整数である。

[@user-cv2nw7rs4x]

1

[@user-ci1un7vn9k]

√nと√n+1がともに有理数⇔n=p²,n+1=q² (n≧1よりp>0,q>0) p²+1=q² (q+p)(q-p)=1 q+p>0よりq+p=1,q-p=1 よってp=0,q=1 p>0に矛盾 これでよろしいですか？

[@user-dz8cl5cj9f]

これも合ってると思います

[@flash8160]

p,qは有理数なのでp+q=5/3,q-p=3/5などの可能性が残るかと思います。

[@user-ci1un7vn9k]

@@flash8160 確かに！でもn,n+1はともに整数なので、p,qもともに整数になりそうです。

[@flash8160]

@@user-ci1un7vn9k そうですね！それを証明中に書いてあればいいかと思います。

[@user-ci1un7vn9k]

@@flash8160 わかりました！

[@tllzu]

与式を有理数rと置いて平方とって、 √n(n+1)=有理数の形を作る。 nは正よりn^2

[@user-gu3yb5lu9b]

Nが平方数のときとそうでないときで場合分けして解けますか？

[@CannedBenzene]

無理数−無理数が必ずしも無理数であるとは限らないと思うのですが、そこについては書かなくていいんですか?

[@user-fr9fv1pl5v]

あ、これ京大の問題だったんか。 この大門、(1)から全部使うからすげぇって思ったら…何か納得しちゃったわ。

[@user-ri9ui6en9w]

証明やってみました。 √nが有理数であると仮定すると 　n=p^2（p：1以上の整数） ー① と書ける n=(p+1)^2 ー② である必要がある ①，②より、 　1>=2p+1 となるが、p>0より矛盾 √n+1が有理数である時も同様 したがって題意は示された どうでしょうか

[@monaka_408]

これってがんばれば帰納法でも示すこと出来るんですかね…？

[@user-ht2lu8zw8o]

んーやってみたんですけどキツそう... n＝kの時の仮定がn＝k+1のときの式変形に上手く使えないですね...

[@user-ih1wq3fb7w]

√nと√n+1がともに有理数であるようなnは存在しない。(ただし、nは自然数) まず、√nが有理数の時を考える。 この時、n=k^2(kは自然数)とおけるので、√n+1=√k^2+1 ここで、ある平方数から次の平方数までの差、すなわち、(k+1)^2-k^2=2k+1を考慮すると、kは自然数であるから、 2k+1≧3 よって、k^2

[@user-bn4zx3xd3i]

pとqは互いに素(約分できない)とおいたのに矛盾するのはわかるのですが それはあくまでも勝手に自分が設定しただけで、自分が勝手に付け足したルールに反するとしてるだけにしか思えません、、教えてください

[@kabayaki310]

√2 証明 無限降下法 で調べてみてください　自分はこれの終盤を「互いに素」の一言で処理してるように解釈してます

[@user-bn4zx3xd3i]

@@kabayaki310 互いに素としないと永遠に小さくなっていって、きりがなくなってしまうからということですね。なるほど。ありがとうございました‼️

[@user-pb5nk8oz1z]

nとn+1が互いに素であることを用いたんですがこれではダメですかね。。。

[@seiya2500]

Σk=1からnまでの和(√k+1-√k)を計算して示せばいいかな？

[@teenmom630]

それでもいけるんですか？

[@user-collagen]

文系ですが解けました🙌　これを自信にしていきたい

[@user-bo9dr6lc6s]

ブンブン

[@user-fh2tu1dl6d]

互いに素と置くのはなんだかしっくりこなかったので、無限降下法を用いてました

[@user-wi5wj8cy8s]

nが平方数の場合のみ√nは有理数になることを証明したらいけるかなと思ったけど証明のための引き出しが足りなかった… 誘導が強い

[@user-vy7yq5xn2s]

「対称性を崩す」って言葉があってもよかったかと。

[@user-rh9ng3lb4v]

oneselfの攻略が知りたいです。おねがいします

[@user-hk6ss3mv3v]

数式ではないですが… 平方数個のボールを持ってくる これを正方形になるように並べる ここからボールを増やして一回り大きな正方形に することは一個のボールでは不可能 例えばで図にすると ○○ ○○○ ○○ → ○○○ 　　　　　○○○ 4 9 よって隣り合う平方数はない 正しいのかどうかわからんのでツッコんでくれ 忘れていました 当然0→1はnの範囲外なのでなし

[@tojj1264]

｢√nと√n＋1がどもに有理数であるようなnは存在しない｣はそのまま使っていいんですね？

[@user-gs7rj6mg2f]

証明の奴、（ｎ＋1）²とｎ²の差が2ｎ＋1だけどｎ≧1だから差が3以上だから平方数同士の差が1となる平方数の組は無い。って感じでいいのかな？

[@user-sq3zp4xo9p]

「√が消えるか」は積にした方が議論しやすいという発想で、余式を2乗する方法を考えてみました 余式を2乗すると2n+1-2√n(n+1) f(n)=n(n+1)が平方数m^2に等しいと仮定すると、m>n>1であって、n(n+1)=m^2 変形すると(m-n)(m+n)=nだが、m>n>1よりm-n≧1, m+n>nであるので、この等式は不成立（矛盾） よってf(n)は無理数であり、ゆえに余式の2乗は無理数である。 余式が有理数と仮定すると、余式の2乗は有理数のはずだが、これも矛盾。 よって余式は無理数。

[@user-ub6mm8ts5g]

無限と有限の話って素数が無限個存在することの証明とかかな

[@zevsky5946]

√n=p, √(n+1)=q (p,qは有理数, p

[@Mordovaa]

助かりマッスル

[@user-yp1jq4kp5b]

今青チャのエクササイズ解いてたらあれ、コレ見たｿﾞ、、ってなったけど結局解けなかった＿|￣|○

[@user-vr1yr7em6h]

背理法って仮定したものが矛盾した瞬間に『よって…』て書いても大丈夫なの？

[@user-wo7qw5zv9b]

√ｎ+1と√ｎがともに有理数であるようなｎはそんざいしない の証明しりたいです！解説お願いします🙏🏻

[@user-tr5si6ss2u]

√nが有理数の時、√nは自然数だからです √n=b/aとしてみてください　aとbは互いに素とします a^2n=b^2となりますが、　aとbは互いに素なのでa=1となります つまり、√n=bとなりますね 次に√nと√n+1がどちらも有理数だとすると、どちらも自然数になりますよね。 しかし、（b+1）^2=b^2+2b+1であるので、 b^2+1よりも大きいです よってどちらも自然数になることはないのです

[@user-cl2cf9xr4x]

@@user-tr5si6ss2u 拝見させて頂きました。後半の「しかし、〜」の部分から何を示しているのかがわからないです、できれば教えていただきたいです。

[@user-tr5si6ss2u]

@@user-cl2cf9xr4x 示したいことは、√nと√（n+1）の少なくとも一方は、有理数ではない　ということです。そこで、 √n=b（bは自然数）としてみましょう すると、n=b^2です。√（n+1）も自然数であり、bよりも大きいので、b+1以上です √（n+1）≧b+1 よって、n+1≧b^2+2b+1 ここで、n=b^2なのですから、n+1=b^2+1ですよね？ となると、b^2+1≧b^2+2b+1となりますが、 これは0≧2bとなり、bが自然数であることに反します ここで矛盾が生じて、背理法から少なくとも片方は自然数ではないことが示されました

[@user-cl2cf9xr4x]

@@user-tr5si6ss2u ありがとうございます😊

[@bot-qk6hu]

むしろ武器の部分を議論することが京大の要請なのでは、なぜそこを避けたのか

[@PhotonAvogadro]

いけたわ

[@kazuki6294]

9:27で、整数/整数のかたちではないのに有理数と言い切っていいのでしょうか？

[@user-cv2nw7rs4x]

有理数は四則演算で閉じています（有理数のみでの四則演算では有理数にしかならない）

[@kazuki6294]

@@user-cv2nw7rs4xさん、ありがとうございます！

[@Noahs_Ark_sekai]

オイラー関数の証明がみたい

[@homefamily5400]

√nが有理数ならnは平方数で√nも自然数というのが自明で使えるなら片方が有理数（自然数）なら片方は無理数は簡単にいえそうだが。。

[@user-wx6sc4ph3s]

この問題青チャ見たら富山大学ってなってたんだが。

[@user-di4ws3pi7f]

√−√を分数にするにはそれが0でないことを示さないといけないんじゃないの？

[@Kikuwo_0304]

√n+1-√nが0にならない事は自明なので態々示す必要は無いのでは？

[@user-jy6hp3jy3k]

√n＋1≠√nはさすがに自明

[@user-pf4fy6pz3s]

この問題においては0では無い事は自明ですね。(nは1以上の整数なので) 分数に変形するときに分母が0にならないかな？と気にする癖をつけておくのは良い事ですよ。

[@176nerimar4]

とりあえずサムネ見てn=0だと1,n=9/16だと1/2で有理数なんで、nは自然数範囲だと見抜きました。

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

はいりほうはひかくてき背理法は比較的得意だけど、整数の証明や集合の証明がマジで苦手でいやや笑

[@1-4-7s]

解放は瞬間的にわかったー

[@xy5928]

数学が得意な人が背理法ごときインプットされてるかどうかとかそもそも問題文に対して記憶をたどってどの解法がとか考えたりしませんよね。むしろ思考過程が数学的思考を根底から理解されていないかと存します。

[@user-bg9jl7rr7q]

存在しない証明欲しいです！

[@katana03150]

完璧ではないかもしれませんが、証明してみました。 間違っているところなどがあれば教えていただけると幸いです。 √nと√(n+1)がともに有理数とする また、有理数a,b(b>a>0)としたとき √n=a,√(n+1)=bとする これより、n=a^2,n+1=b^2 また、a=q/p(p,qは互いに素の自然数)としたとき n=a^2=(q^2)/(p^2)となる n≧1の整数より a≧1の整数となり、a^2≧1の整数となる これと、a^2=(q^2)/(p^2)より p^2=1 ∴ p=1 (bについても同様) ここで 1=(n+1)-n=b^2-a^2=(b+a)(b-a) 上記よりa,bは共に1以上の整数であるので (b+a),(b-a)は共に整数 よって b+a=1,b-a=1 ∴ a=0,b=1 しかし、このとき aが1以上の整数であること、 また、nが1異常の整数であることに反している したがって、√nか√(n+1)のどちらかは無理数である つまり √nと√(n+1)がともに有理数であるような1以上の整数であるnは存在しない 以上の通りになったのですがいかがでしょうか？

[@user-zj4us4db8i]

単純に差が1になる平方数がないって言えばいいんだろうけどそれの示し方がわからん笑

[@user-si4sk2ev9i]

(n+1)^2-n^2=2n+1>1

[@zasty0816yo]

@@user-si4sk2ev9i そこからどのように示すのですか？

[@arisa3854]

@@zasty0816yoよって,√n+1,√nの少なくとも一つは無理数となるので題意成立

[@user-of2cu1zj5c]

ぱっと見ですが 有理数の２乗は有理数なので２乗したものが無理数なら元の数も無理数 →ｎ（ｎ+1）は平方数になりえないので√ｎ（ｎ+１）は無理数 →元の数も無理数

[@i90c]

[ 1 ] √(n)が有理数のとき 前問(？)より√(n+1)は有理数でないので√(n+1)-√(n)は無理数 [ 2 ] √(n)が有理数でないとき 仮に√(n+1)-√(n)が有理数であるとすると √(n+1) - √(n) = l/m と置ける(l,mは整数) √(n+1) = l/m + √(n) 両辺二乗して n+1 = (l/m)^2 + 2(l/m)√(n) + n 0 = (l/m)^2+ 2(l/m)√(n) - 1 ここで (左辺) は有理数 (右辺 )は (有理数)+(有理数)(有理数)(無理数)-(有理数)より無理数 よって矛盾するので√(n+1) - √(n)は無理数。 以上より√(n+1) - √(n)は無理数

[@user-ib2vr6sv3g]

動画の内容からずれますけど偏差値50～54の高校から東大に行けるんでしょうか 新高校1年生ですけど春休みを使って先取りをしていますけどそもそも偏差値が低い高校から行けるのかが気になって.....

[@fruit_juice100per]

どの高校にいるかじゃなくてどう勉強するかが大事だから問題ない

[@user-ib2vr6sv3g]

@@fruit_juice100per 希望が持てました

[@user-ke9gl6kt6m]

※の証明誰か教えてくれ

[@user-my2sf2ko1z]

難しい

[@atama.ga.torinosu]

良問ルート三日目

[@user-sj4cb5fk7j]

すげぇ！by新高1

[@user-sm8jo5wc8i]

√0ってあります？

[@user-jd4jq7cj6z]

排中律の原理ですね。

[@kou8026]

得意ではないけど背理法ってのはわかった！！

[@user-bd1xv1fo2l]

理系は誘導なかったのかな😁

[@user-ht2lu8zw8o]

理系そもそも違う問題だったぽいです！

[@Zhuser]

※の部分の証明を教えていただきたいです…！

[@user-sd2bf4kw4g]

これ確か京大の大問で(１)が※で(2)が今回の問題だったと思うから調べりゃでる

[@Kikuwo_0304]

√n , √n+1が共に有理数であると仮定する。 √n = s , √n+1 = t(s , tは正の有理数)とすると、 s^2 = n , t^2 = n+1。 代入するとs^2+1 = t^2 t^2-s^2 = 1 (t+s)(t-s) = 1 t , sは正の有理数であることからt+s > 0かつt+sも正の有理数であるため、 t+s = 1 , t-s = 1 計算するとs=0 , t=1となりs , tが自然数である事に矛盾する。 よって√n , √n+1が共に有理数である自然数nは存在しない。 となります。

[@loveuguysimhunter4340]

@@Kikuwo_0304 s,tって有理数なのでt+s=1 t-s=1って定まらなくないですか？

[@Kikuwo_0304]

@@loveuguysimhunter4340 あっ確かに

[@user-sd2bf4kw4g]

@@loveuguysimhunter4340 ｎは自然数なのでs,tも同様だと思われます

[@user-hj5yw5gs2x]

富山大学ですよ

[@usmasuda]

背理法を使わずに示してください。それが無理なら、「背理法を使わずに示すことはできない」ことを示してください。

[@user-gv1qx5wk4o]

ルート-ルートから2乗-2乗思いついたけど (√(n+1)-√(n))(√(n+1)+√(n))=1で詰まったわ...

[@user-qb8ji7qi3y]

サムネに「nは1以上の整数とする」とか書いてなかったから、n=0,5.76,･･･とか考えてた。

[@yuuki1993]

どうやって仮定の証明するの〜😣

[@Lookingforwardto227]

これ京大だったのかよ どおりでむずかった訳だ

[@user-tm6xh5jz1h]

これ富山の問題じゃなかったっけ？

[@sasa-alan]

富山に出てるかは知らないけど、京大2007の文系数学(確か大問5)にも出てる

[@user-tm6xh5jz1h]

@@sasa-alan サンクス

[@yoteisu2331]

うちの学校の定期で出たw

[@user-os3pw2yq4q]

√n＋１ー√ｎ＝１/√ｎ＋１＋√ｎ　よって√n＋１－√ｎを有理数と仮定すると、√ｎ＋１＋√ｎも有理数。この時、√ｎ＋１＋√ｎ－(√ｎ＋１－√ｎ)＝2√ｎも有理数であるから√ｎは有理数。また、√ｎ＋１＋√ｎ－√ｎ＝√ｎ＋１も有理数であるからｎ、ｎ＋１はともに平方数である。これと、ｎは1以上の整数であることから、このような整数ｎは存在せず、矛盾。よって√ｎ＋１－√ｎは無理数 としました。 見た瞬間に思いつきましたが、解くのには30秒ほどかかりました。

[@user-lv7si6ut7r]

『実数の範囲では』有理数と無理数しかない。複素数を除外することを忘れないであげて。もっと言うと四元数も。

[@kiichiokada9973]

四元数は結合法則すら通用しないし何の役にも立たない。遊び道具ぐらいにはなるだろうが。

[@arisa3854]

広告長すぎやろ

[@huge3071]

1以上で平方数の差は1にはならないことを帰納法を使って、どちらも√の中身が平方数ではないと示して､､､ うーん、

[@KEN-oq1dk]

これ解くのは無理っすう 無理数なだけに

[@user-dj2yp8sm5r]

これ高一の今ぐらいに解いたの覚えてるわ、結構俺賢かったな 確か逆数にしてやったと思う

[@user-de6ht7lg8q]

なんか音に違和感がある