1차원 디랙 델타 함수 (Dirac delta function)

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Пікірлер: 51

@Ourhealingchannel 4 ай бұрын

델타 함수라고 하는데 사실은 함수라고 하면 안되는 측면이 있어요. 델타함수가 자체로는 의미가 없고 적분을 했을 때 의미가 있는 것이라고 알고 있어요. f(x) delta(x) = f(0) delta(x): 이 표현은 잘못된 것입니다. 양쪽에 적분을 했을 때 의미가 있다고 봅니다.

@bosstudyroom 4 ай бұрын

@@Ourhealingchannel 그렇네요. 좋은 포인트 감사합니다. 당시 해당 자료를 만들 때 제가 놓친 부분이 맞네요. +) 다른 분들이 보실 수 있게끔 덧붙이자면, 예를 들어 특정한 좌표에 응집되어 있는 밀도 분포를 delta 함수로 기술하는 경우는 있습니다. 즉, 해당 좌표에만 물리량이 존재하는 상태이므로 그 좌표에 해당하는 밀도가 유일하게 0이 아닌 이유인데요. 다만 그마저도 결국 극한을 통해서 기술해야 엄밀한 경우가 많고, 또한 (보통 분포함수는 결국 '밀도'를 기술하므로) delta 함수를 적분해야 그 결과가 물리량으로서의 의미를 가지게 됩니다. 따라서 delta 함수는 적분 안에 들어가 있을 때만 그 의미를 갖는 것이 맞습니다.

@아아스베 2 ай бұрын

형님 2년째 도움 많이 받고 있습니다.. 저도 이제 곧 졸업이네요 덕분에 학점 3.8은 찍고 졸업할 거 같아요 항상 감사합니다.

@bosstudyroom 2 ай бұрын

정말 고생 많으셨습니다. 2년째 제 영상을 참고해 주셔서 감사드립니다 : )

@twohand_bowl 2 жыл бұрын

문제푸는데 모르는 부분이어서 답답했는데 그 궁금증을 정확하게 짚어주셔서 시원했습니다!! 감사합니다 최고!!

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

친절한 댓글 감사드려요 👍

@sswsean004 2 жыл бұрын

디랙 델타 함수가 확률에서 배웠던 확률밀도함수와 깊은 연관을 갖고 있는 것 같네요

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

안녕하세요 저도 디랙델타함수는 확률밀도함수가 될 수 있다고 생각했는데 그 부분까지 확실히 설명드릴만큼 제가 깊이 알지못한 것 같군요 :) 실제로, (이번 영상처럼 유도하는 방식 외에도) 정규분포곡선을 좁혀나가는 식의 유도를 해도 디랙델타함수를 얻을 수 있어요 그래서 떠올려 보자면, 디랙델타함수(x=a)가 '확률밀도함수'로서 정의된다면 그건 "어떠한 경우에서든" x=a만 발생된다는 의미가 될거라고 생각될 수 있겠지만 수학에서의 여러가지 문제가 생길 수 있다는 생각이 들기 때문에 어떤 연관성이 있다고 말씀드리기가 조심스럽습니다 ㅎ 댓글 감사드려요

@sswsean004 2 жыл бұрын

답글 감사합니다

@최니 4 жыл бұрын

블로그에서도 엄청 설명잘하시던데 영상에서도 역시나네요 ㅎㅎ 좋은 글&영상 항상 감사합니다

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

앗^^ 친절하게 댓글을 남겨주셔서 정말 감사드립니다 :) 😀

@john-n8s2q 4 жыл бұрын

감사합니다. 설명 정말 잘하시네요!

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

^^ 칭찬의 댓글 너무 감사합니다 :)

@액티비아 4 жыл бұрын

감사합니다!

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

😀 감사해요

@물꼬기-l3l 2 жыл бұрын

너무 이해가 잘되요!

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

ㅎ_ㅎ :)

@sunwosunwoya 7 ай бұрын

와 진짜 쉽게 이해된다

@eel9615 2 жыл бұрын

정말 감사합니당… 바로 이해했어요 …ㅠㅠㅠ 영상 감사합니다!!!

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

제가 더 감사드립니다 ㅎ_ㅎ

@손오공-r6e 4 жыл бұрын

감사합니다.

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

댓글 감사해요 :)

@linecy4676 4 жыл бұрын

감사합니다! 잘 배우고 갑니다!

@bosstudyroom 4 жыл бұрын

^^ 댓글 감사드립니다 :)

@fabulousmath-g2u 3 жыл бұрын

크....구독 박고 갑니다..

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

ㅎ_ㅎ 감사해요

@Sjsjdjf9w 3 жыл бұрын

5:04 에서 f(x)는 (0,0)을 지나는 연속함수라고 정의를 해야하나요? 무슨 함수인지 잘 모르겠습니다..

@물고기-n3s Жыл бұрын

델타 함수 적분구간이 -무한대~무한대가 아니여도 되는군요!! 정말정말 감사합니다. 신호및시스템에서 델타함수를 다뤄서 bos님 영상 보러왔는데 또 다시 배워갑니다! 이해한게 맞는지 질문드려도 될까요? ∫ δ( t-2) dt (t= 1~ 3) = 1 인가요?

@bosstudyroom Жыл бұрын

네, 작성하신 등식도 성립합니다. 매번 좋은 댓글 남겨주셔서 감사드려요 : )

@물고기-n3s Жыл бұрын

@@bosstudyroom 매번 감사드립니다!

@danieljeoung2904 3 жыл бұрын

2:00 부터의 그래프에서 있는 직사각형을 적분 때리면 다 1이 나오지 않나요? 디렉델타함수만 적분했을때 1이 나오는 건가요?

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

늦게 답변드린 점 양해 부탁드려요 ㅠ 말씀하신 것이 맞습니다, 그리고 해당 영상은 직사각형의 그러한 성질을 이용하는 개념을 설명드리는 영상이기 때문에 디랙델타함수만이 아니라 '직사각형의 넓이가 1이됨을 통해서, 그 직사각형의 밑변을 줄여나감으로 인해' 디랙델타함수도 (극한적으로 정의되지만) 적분 시 1이 나오는 것 입니다 :)

@물꼬기-l3l 2 жыл бұрын

f(x)델타함수(x-a) = f(a)델타함수(x-a) 라고 설명해주신 5분 50초 부분을 잘모르겠습니다. x = a x= a가 아닐때로 나눠서 생각했습니다. x=a가 아닐때 f(x) 델타함수 = 0 x= a일때 f(a) 무한대 이런식으로 된다고 생각했습니다. 너무 설명잘해주셨는데 제가 잘이해를 못한거 같습니다. 어떻게해서 넘어가신건가요?

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

잘 나눠주신 대로, x=a가 아닌 곳에서는 델타함수가 0이기 때문에 f(x)에 그냥 x=a를 대입하여 f(a)로 고쳐서 표현할 수 있는 원리입니다 :) 더 자세하게는, 나누어주신 각 경우에서 첫줄에 써주신 등식이 정확히 성립하기 때문이에요 ㅎ

@물꼬기-l3l 2 жыл бұрын

@@bosstudyroom 알려주셔서 이해했습니다! 유료강의를 제가 끊은것도 아닌데 정말 감사합니다

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

@@물꼬기-l3l 아닙니다 ㅎㅎ 원래 유료목적으로 만들었던게 아니라서 신경쓰지 않으셔도 됩니다 :) 저도 친절한 말씀 감사합니다

@stevehan7983 2 жыл бұрын

선생님. 8분3초 지점에서 질문 드립니다. 1. 디렉-델타함수의 넓이가 1인데 그 단위는 어떻게 표현 되나요? 만약 디렉-델타 함수도 가로축이 시간이고 세로축이 전압이라면 그 넓이의 단위는[ V•sec ] 가 될 것 같은데요. 2. 맨 좌측식에서 f(x)도 시간에 따른 전압을 나타내는 함수라면 f(x)•đ(x-a)•dx 의 적분값의 단위는 어떻게 표현 되나요? 여전히 [V•sec] 인가요? 3. 좌측에서 우측으로 세번째 식에서, f(a)와 디렉-델타함수의 적분값을 곱하면 그 단위가 [V]×[V•sec] 가 되어서 [V²•sec] 가 되는데요. 이것은 마지막 식인 f(a) 값의 단위인 [V] 와 다르게 됩니다. 그런데 같다는 표현을 어떻게 할 수 있나요? 4. 함수 끼리의 곱은 그 단위가 같을 때는 단위는 곱하지 않고 값끼리만 곱하나요? 단위가 다를때는 어떻게 곱하나요?

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

1. 디랙델타함수의 정적분 결과인 1은 무차원의 수 입니다. 그렇기에 δ(x)를 f(x)와 곱한 후 x에 대해 적분하더라도 f(x)와 같은 차원을 가질 수 있어요. 즉, 소개해드린 수식 관계를 만족하는 디랙델타함수는, 가로축이 시간(sec)이면 y축에 해당하는 값은 1/sec의 단위를 갖는 것이 일반적입니다. 물론 디랙델타함수 형태의 신호 중에서, 가로축이 시간 값일 때 세로축이 전압이 되는 경우가 없는 것은 아닙니다. 인덕터에 걸리는 전압은 Ldi/dt 이므로, 그에 흐르는 전류 i가 스위치에 의해 '단위계단함수'로 주어지게 된다면 양단에 걸리는 전압도 디랙델타의 형태에요 :) 다만 그를 시간의 역수 단위를 갖거나, 밀도함수와 같이 정의해야 디랙델타함수의 성질을 표현하는 수식을 만족할 수 있겠죠. 물리적인 단위와 의미를 고려할 때, 종종 함수값의 단위를 맞춰주는 수동적인 작업이 따로 필요할 때가 많은 것도 그 이유입니다. 2. 위에서 설명한 이유로, 만약 f(x)의 단위가 V(전압단위)라면 f(x)δ(x-a)dx 을 적분한 것의 단위도 V입니다. 또한 그 결과가 f(a) 이므로 물리적인 단위도 상응해요. 3. 위의 1번과 2번 사항에서 설명한 내용으로 답변이 되어 드린 것 같아요 :) 4. 보통 함수간의 물리적 단위가 다를 때에도, 두 함수를 곱하는 것은 문제가 없습니다. 예를 들어 질량(kg)과 가속도(m/sec^2) 을 곱한 결과는 그 질량체에 작용되는 알짜힘과 같다는 법칙 처럼요. 다만 그 결과의 단위를 별도로 뉴턴 (N)으로 정의하는 부분이 필요할 때가 있습니다. 결론적으로는, 결과적인 의미가 잘 맞도록 단위를 고려해 준다면 큰 문제가 될 경우는 없습니다. 하지만 단위에 대한 검증은 물리학에서 중요합니다

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

+) 가령 테일러 전개가 가능한 초월 함수의 경우( ex. sin(x)나 exp(x) )에는 x자리에 무차원의 값이 들어가야 해요. 왜냐하면 테일러 전개될 때 x에 대한 차수가 모두 다른 항들을 더해나가야 하므로 질문에 적어주신 부분과 관련한 문제가 생기기 때문입니다. 즉, x가 변위라면 그에 면적(x^2)을 더하는 연산은 무의미하겠죠. 따라서 그 경우에는, x에 물리량을 넣고자 한다면 초기 x값인 x_0로 나누어주는 식의 연산을 합니다. x/x_0와 같이 대입해준다면, x_0 자체도 x와 같은 단위를 가지므로 전개하는데에 물리적인 오류가 없게 되어요.

@stevehan7983 2 жыл бұрын

@@bosstudyroom 자세하고 깊이있는 답변 감사합니다.그런데 제가 아직 그 깊이를 쉽게 따라가지 못하고 있습니다. 적어주신 답변으로 좀 더 공부해 보겠습니다. 감사합니다.

@stevehan7983 2 жыл бұрын

@@bosstudyroom 선생님. 질문이 자꾸 꼬리를 물어서 몇 가지만 더 여쭤 보고 싶습니다. 1. 단위 계단 함수도 차원이 없는 함수 인가요? 2. 차원이 없다는 것은 가로 축이 시간이고 세로축은 시간의 역수 값을 가져서 넓이를 계산할 때만 단위가 사라진다는 의미인지 아니면 가로와 세로축 모두 어떠한 단위도 없다는 뜻인가요? 3. 이산 신호일때는 기로축을 n으로 표기하는데요 이 n은 시간을 뜻하는 것인가요 아니면 차원이 없는 것인가요. n은 무엇을 뜻하는 것인지요?

@bosstudyroom 2 жыл бұрын

@@stevehan7983 1. 아뇨! 위에서 설명드린 대로, 어떤 함수건 물리적인 단위를 '가질 때도 있고 아닐 때가 있는' 거에요. 처음에 들어주신 예를 그대로 말씀드리자면, y축이 전압을 의미할 경우 그 함수값은 V의 차원을 갖는 것이죠. 2. 표현을 하자면, '넓이를 계산한 결과가' 무차원의 값이 된다는 거에요. x축과 y축 자체는 차원을 가질 수 있죠. 3. 일반적으로 n은 시간의 차원을 갖지 않아요. 우리가 다루는 물리계에서 흘러가는 시간이란 연속적인 변수라는 이유 때문인 것도 있지만 보통 이산적인 값에서는 x축의 단위를 크게 신경쓰지는 않습니다 :) 일종의 팁을 덧붙여 드리자면, 물리에서는 어떤 양이 갖는 단위의 의미가 실제로도 중요하지만 그 문제 자체에 대해서는 조금 더 유연하게 생각하시면 좋을 때가 있어요 :) 왜냐하면 때때로 그러한 과정에 집중을 하다보면, 중요한 부분에 대해서 놓칠 때가 오게 되더라구요 (적어도 제 경험에서는 그랬습니다ㅎ) '유연하게' 라는 표현은 특별한 건 아니고 함수값이 단위를 갖는지는 상황에 따라서 다르다는 것을 이해할 수 있는 부분이라고 할 수 있을 것 같아요! 그냥 팁 입니다 그런데 (제 생각에) 3번 질문 주신 내용은 실제로 중요한 내용일 수가 있어요. 물리학에서 단위는 늘 논의될 수 밖에 없거든요. 그리고 이산적인 시스템이라 할 지라도 어떤 물리계를 기술하는 것은 맞기 때문에 질문하신 부분에 대해서 전문가 분들의 논의가 필요할 수도 있겠다는 생각도 들어요 :) 이 문제에 대해서도 제 생각으로 답변드리면, 일종의 관습(컨벤션) 일 수가 있겠습니다. 가령, 꽤 많은 분들이 회로이론을 처음 접하실 때는 '왜 전류의 방향을 양전하 기준으로 설정하느냐' 에 대해 이해하시기 어려워 할 때도 있습니다. 왜냐하면, 도선에서 실제로 움직이는 전하는 음전하(전자) 이기 때문입니다. 이는 과거 과학자들에 의해 굳혀진 '관습'의 예가 되어요. 하지만 그러한 관습이 있더라도 최대한 기존 관습을 받아들이면서 이해하시면 조금 더 학습 하시는 부분에 도움이 될 수 있을 것 같아요! 저는 제가 물리학과 같은 과목을 배우는 초중반으로 돌아간다면 메모지에 같은 팁을 적어 갈 것 같네요 @_@ 물론 시간을 되돌릴 수는 없겠지만요 :)

@고고-r3v 9 ай бұрын

3:49 진짜 막연히 왜 f에 꼭 0을 넣었는지 모르겠습니다

@하하하하하하-x3n 3 жыл бұрын

4:39의 공식에서 f(x)=x라고 하면 x가 무한대에서는 무한 곱하기 0이니까 반드시 0이 된다고 할 수 없지 않나요 ㅠㅠ

@bosstudyroom 3 жыл бұрын

답변드립니다 :) 그 부분은 0이 '극한값' 일 때의 이야기입니다! 디랙델타함수는 0의 극한이 아니라 x=0과 같은 특정지점이 아니면 '그냥 0인 함수값을 가지는 함수' 라서, 어떠한 수를 곱해도 0으로 만들어버리는 0의 입장에서는 무한대로 가는 수는 그냥 0으로 만들어 버리게 됩니다 ^_^ (만약 sinx에서 x가 0으로 갈 때 처럼.. 그러한 경우라면 다른 이야기가 되겠지만, 아시다시피 그부분은 0으로 가는 '극한'값이죠)