벡터함수 면적분 문제 쉽게풀기 (Surface integral) (단위법선벡터 구하는 공식)

[@bosstudyroom]

13:03 에 단위법선벡터 n 공식에서, 말그대로 크기가 1인 ''단위'' 법선벡터 를 나타내는 것 이므로, (grad S)/||grad S|| 의 식이 더 옳게 표현한 식입니다 ^^ 즉, 벡터함수의 면적분을 해줄 때에는 이번영상에서 같이 문제를 풀었던 것 처럼,크기가 1인 벡터를 구하기 위해서는 썸네일의 공식을 써준다고 받아들이시면 됩니다 :) 증명과정은 추후에 블로그에 게시할게요 ^^

[@훗-k2x]

배움의 끝이 없네요 ㅋㅋㅋ영상이컬러풀하고 깔끔해서 좋아요

[@bosstudyroom]

ㅎ_ㅎ 댓글 감사합니다!

[@bosstudyroom]

벡터함수 면적분 문제풀이 타임라인 ^^ 첫번째문제(직교좌표) : 01:55 두번째문제(원통좌표) : 06:28 문제풀이 팁 & 추가개념 : 11:14 면적분 의 보다 복잡하거나 난이도있는 문제도 다음영상에서 같이 쉽게 풀어봅시다ㅎㅎ

[@solangsol]

드디어 전자기학을 위한 기본적인 수학지식을 마쳤네요! 앞으로가 더 기대됩니다 :)

[@bosstudyroom]

ㅎㅎ 스터디 화이팅!! : )

[@wognlee2400]

영상 만들어주셔서 감사합니다!!

[@bosstudyroom]

좋은 말씀 남겨주셔서 감사드려요 : )

[@깜장지우개]

정말 감사합니다 ㅎㅎ 큰 도움이 되었습니다

[@bosstudyroom]

💙

[@도승완-y1m]

bos님, 전 첫 번째 문제를 조금 더 직관적으로 보려고 노력했습니다. 0

[@mingicho6333]

시험 전 날 이걸 찾았네 ㅡㅜㅜㅜㅜㅜ

[@고구마111]

감사합니다!!

[@bosstudyroom]

도움되신 것 같아서 다행입니다 ^^ 댓글 감사해요 :)

[@섬광-b1y]

교수님! 10:20초에서 적분구간 설정할때 파이의 구간값을 먼저 적분하고, 높이의 구간을 적분하는데 두개의 순서를 바꾸면 안될까요? 직각좌표계만큼 직관적으로 이해가 어려워요.

[@bosstudyroom]

순서 자체는 바꿔서 계산하셔도 됩니다. 예를 들어 이 문제에서도 두 순서를 바꿔서 계산해도 같은 결과가 나옵니다 : )

[@hhh4420]

3:53에서 xy평면에 수직한 n벡터가 z축 방향이라고 직관적으로 알 수 있는데 수직이라면 -z 방향일 수도 있지 않나요??

[@도승완-y1m]

Bos님이 아니지만 도움을 드릴 수 있으면 드리고 싶어서 말합니다. 우리가 이중적분을 시키려는 피적분값은 스칼라 값입니다. F 내적 n ds 에서 내적값은 스칼라값이기 때문에 방향이 중요하지 않습니다. 방향은 말씀하신 것처럼 두 방향으로 잡을 수 있지만, 스칼라값은 똑같이 나옵니다. 따라서 어떻게 해도 상관없습니다.

[@bosstudyroom]

답글로 설명 잘 해주셨는데, 제가 질문 자체를 늦게 확인해서 지금 덧붙이자면 n벡터 방향 설정에 따라, 해당 스칼라 값의 부호는 바뀔 수 있습니다. 예를들어 벡터 F는 +z방향인데 n벡터도 +z방향이면 그 내적의 부호는 +이지만, n벡터가 -z방향이면 그 내적의 부호가 -입니다. 다만 이러한 법선벡터 방향을 설정하는 것은 원래 애매하므로, 보통 문제에서 제시합니다. (특히 곡면이 아닌 평면에서는, 방향을 택할 방법이 전혀 없기 때문입니다.) +) '스토크스 정리를 적용하라'는 문제에서는 모호함이 없어요. 스토크스 정리의 양변 중, 선적분을 계산하는 쪽에서의 적분 경로 방향을 오른손 네 손가락으로 쥐면, 그 오른손의 엄지가 가리키는 방향이 해당 경로가 감싸는 면의 법선벡터 방향과 같습니다.

[@민석-p7f]

보스님 항상 좋은강의 감사드립니다 이번영상에서 첫번째 문제 3분 39초에 법선벡터 n에 대한 얘기가 나오는데 법선벡터가 -방향으로 될수도 있지 않나요?! 궁금합니다!!

[@bosstudyroom]

보통은, (면의 볼록한 부분을 기준으로 해서) 밖으로 나가는 방향으로 설정됩니다. 예를 들어 반지름 R인 구면(폐곡면)의 면적법선벡터는 r = (x,y,z)이고, 이는 원점으로 부터 (구면을 통과하여) 뻗어나가는 방향이죠. 다만 이러한 벡터 방향의 설정법은 x=1과 같이 볼록한 부분이 없을 때는 상당히 모호해집니다. 따라서 보통의 문제에서는, 법선의 방향을 정확히 제시해주거나 아예 스토크스 법칙으로 문제를 내는 경우가 있어요. 스토크스 법칙에서 선적분 하는 방향을 오른손 네 손가락으로 감아쥐면, 그 오른손의 엄지손가락이 가리키는 방향이 (선적분했던 폐곡선이 에워싸는) 면의 법선벡터 방향입니다. 따라서 스토크스 정리의 등식이 성립함을 보일 때는, 법선벡터 방향의 설정에 있어서 모호함이 없습니다.

[@물꼬기-l3l]

보스님 너무 이해를 못하는 부분이 있는데 질문드려도 될까요? 직교좌표계에서 음함수꼴의 그라디언트 벡터가 법선벡터랑 평행한걸로 알고 있습니다. 원통좌표계, 구면좌표계에서도 그라디언트 벡터가 법선벡터랑 평행한건가요?! 원통좌표계로된 음함수s(p, 파이, z)일때 그라디언트s가 법선벡터랑 평행한벡터면서 원통좌표계꼴로 나타내진 벡터인건가요?

[@bosstudyroom]

혹시 이번 영상에서 11분 30초 쯤의 내용을 질문하시는 건가요?

[@bosstudyroom]

아마 맞는 것 같아서 추가 답변드리자면, 그래디언트 벡터는 어떤 곡면에 대해서 (일반적으로) 법선방향인 벡터와 평행한 것이 맞습니다 즉 좌표계를 어떻게 잡더라도 바뀐 그래디언트 공식을 잘 적용해주신다면 법선방향인 것은 바뀌지 않습니다 :) 더 자세하게는, 접선벡터와의 내적이 0이기 때문에 법선벡터 일 수 밖에 없습니다

[@물꼬기-l3l]

@@bosstudyroom 네 맞아요 감사하다는 말밖에 드릴수가 없네요. 감사합니다 채널 너무 유익해요ㅠㅜ

[@__yne_e2]

9:32 부분에서 원의 접선은 무한히 그릴 수 있으니까 법선벡터는 0

[@Blind4658]

11:13에 -2cos(pi/2)-cos0 은 -1이 아닌가요??

[@bosstudyroom]

무슨 이유인지, 댓글이 검토 대기중으로 되어있어서 댓글 확인이 늦었습니다.. 지적하신 부분을 살펴봤는데, 제가 봐도 화면의 수식으로 혼동을 드리게 된 것 같아요. 원래는 더 큰 괄호를 쓰고 -2를 전체에 곱해주면 됩니다. '정적분 결과 전체에' -2를 곱해주어야 하니까요.

[@Djsksofo]

10:30초 쯤에 p=2 대입했는데 왜 6psin에서 12psin으로 식이 변해있는거에요?

[@bosstudyroom]

12p가 아니라 12입니다. p=2를 대입했으니 6×2를 해서 결과가 12로 나온거에요!

[@Djsksofo]

​@@bosstudyroom 아 제가 잘못봤네요 감사합니다!!

[@도승완-y1m]

bos님... 2번째 문제에서 로우 방향이라는 게 대체 어디 방향 말하는건가요..? 여기에서 말하는 로우 변수가 뭔가요..?

[@bosstudyroom]

로우라고 언급한 것이 ρ (rho) 입니다. 제 원통좌표계 영상에서 r로 언급한 것처럼 표기하는 교재도 있고, 어떤 교재들에서는 ρ라고 표기하기도 해요. +) 원통좌표계에서 반지름방향으로 뻗어나가는 방향의 변수입니다.

[@도승완-y1m]

@@bosstudyroom 감사합니다!!

[@이찬희-v9t]

마지막 원통에서의 그래디언트 공식이 dz여야 하는거 아닌가요?

[@bosstudyroom]

영상과 질문이 많아서 질문과 관련된 영상 시점인 분&초 정보와, 그렇게 생각한 이유를 알려주셔야 제가 원활하게 답변할 수 있습니다.

[@이찬희-v9t]

@@bosstudyroom 17분 23초에 원통의 그래디언트에서 라운드 v라운드z인데 방향은 파이 방향이어서요.질문이 좀 이상했네요..ㅎㅎ

[@bosstudyroom]

헉.. 오타네요. 말씀하신 것처럼 z방향이 맞습니다. 알려주셔서 감사드려요.

[@외않되-d4n]

첫번째 문제에서 적분 범위가 0-2라는 것은 면적을 구하는 것이고 면적을 이루는 것이 x,y이기 때문인가요? 제가 잘 이해한 건지 모르겠습니다 ㅠ

[@haesungchoi7946]

감사합니다. 만약 구좌표계에서 수직으로 잘랐을 때, 단면에 생기는 단위법선벡터(저는 phi 방향 단위벡터를 말하는 거에요!)는 +도 되고, -도 가능한가요?

[@haesungchoi7946]

수직인 법선벡터의 방향이 두 가지가 있는데 어떻게 알 수 있는지에 대한 질문입니다!

[@bosstudyroom]

정말 좋은 질문을 주셨군여 보통은 이렇게, 폐곡면 (폐곡면 : 부피를 정의할 수 있는 입체도형의 곡면. 예를들어 완전한 구면) 이 아닌 뚫린 곡면, 즉 곡면내의 부피를 고려할 수 없는 (저런 문제처럼) 곡면의 경우는 벡터장의 면적분을 하라고 문제를 낼 때엔, 면적법선벡터의 방향을 출제자가 제시해주어야 맞습니다! (그런 조건을 굳이 주지 않는다면, Phi방향의 경우는 보통, x축으로부터 양의 각도방향 !) :) 따로 주어지지 않아도 알 수 있는 경우를 (참고사항으로^^) 예를들어서 설명드릴게요 (1) 폐곡면 : 밖으로 나가는 방향 (외향) (2) 스토크스 정리 (스토크스는 채널 내에 설명이 있으나, 아직 필요없으시면 보실필요 없음ㅎ) : 폐곡선의 경로 방향 예를들어, xy평면 에 평행하게 위치해있는 폐곡선 에 대해서, 선적분의 경로가 반시계방향이면, 면적법선벡터는 '위의 방향' [스토크스 정리에서 벡터 방향 기준?] : 오른손법칙 (설명) 선적분의 방향으로 , 엄지를 제외한 오른손의 네 손가락을 감싸주었을 때 오른손의 엄지가 가리키는 방향 입니다 ^^

[@bosstudyroom]

아 고정댓글로 박제할 만큼 중요한내용인데 .. 하나밖에 못하는구나ㅠ 좋은질문주셔서 감사해요

[@haesungchoi7946]

ㅠㅠ 감사합니다. 그럼 밖으로 나가는 방향이면 (폐곡면 기준) 다 +라고 생각하면 되는거죠...? 의문점이 드는 부분이, 원기둥을 케익 한 조각처럼 잘랐을 때 양쪽면의 법선벡터 방향이 하나는 phi, 나머지 하나는 -phi 방향이 되어서 두 면의 면적분의 합은 0이 되버리는건가... 이런 생각이 들어서요 답변 감사합니다 정말 명쾌하게 배웠어용

[@bosstudyroom]

아하, 뭐가 헷갈리신건지 알 것 같아요! 벡터장의 면적분의 물리적인(보통 전기, 유체역학) 의미를 아시면 됩니다 ㅎ 그 의미 : 어떤 한 곡면에, 벡터장이 그 곡면을 통과해서 들어가는 상황에서, 그 통과하는 양을 측정하기위해서, 그 벡터장의 면적분을 해주는 거라고 생각하시면 더 정확하게 이해하실 수 있어요 ㅎ 즉, 만약에 벡터장이 (예를들어 질문자님께서 말하신 곡면을) 한 면을 흘러가서 통과 한 후, 갑자기 억지로(설명을위해 가정한상황^^;) 유턴해서 다시 그면을, 들어왔던방향의 정반대 방향으로 흘러가 통과한다면 총 '유량(flux, 흘러들어가는 양)' = [초반에 들어간 유량] + [ (유턴해서) 반대로 다시들어온 유량] = 0 이 되겠죠 ㅎ 왜냐하면, 벡터장과 곡면이 그대로이지만 벡터장의 면적분 해줄 때에 , 아시다시피 면적법선벡터의 방향이 각각 두 경우는 서로 정 반대방향이니까요 ^^ 즉, 위의 설명에 따르면 하나의 면 에 대해서 해주는 벡터장의 면적분에 대해서는 '유량'이라는 물리적인 의미를 고려했을 때엔 0 이 되지 않는거죠 ㅎ

[@wagg9091]

책에 있는 문제를 풀다가 잘몰라서 그러는데 질문 하나 드려도 될까요? 직교좌표계에서 원점이 중심인 반구에 대한 벡터A(벡터A=zz^)의 면적분을 구하는 문제입니다. 반구의 표면에 대해서 식을 세울때 ds를 R^2sin(세타)d(세타)d(pi)로세우고 R방향으로 나간다고 세우면 벡터A와 내적을 시켜 적분하여 면적분을 구하는거로 알고 있는데, 평평한면에서 ds는 어떻게 식을 세워야 할까요? 방향은 영상 보고 평평한 면의 바깥방향을 향하는 -z방향이라는 걸 알았는데 ds를 어떻게 세워야 할지 모르겠습니다. 답을 보면 0이라고 나와있는데 혹시 이유를 설명해 주실수 있나요??

[@bosstudyroom]

안녕하세요 :) 책에 있는 문제가 정확히 어떻게 제시되어 있는지 파악은 잘안되지만, 질문하신 부분에 대한 답은 정확히 드릴 수 있습니다 ^^ 예를들어, '평평한면' 에 대한 벡터장의 면적분을 해주어야 하는데, 그 면이 z축을 바라보고 있다면 그 면의 면적법선벡터 : z^ , 그 면의 미소면적 dS : dxdy 입니다 만약 면적이 y축을 바라보고 있다면? 그 면의 면적법선벡터 : y^ 그 면의 미소면적 : dxdz 에요! 이게 왜 이렇냐면 처음 예로들었던, z축을 바라보는 평평한 면 의 경우 '평평한' 면이기 때문에 z값에 대한 변화가 전혀 없습니다ㅎ 즉, 면"적분" 의 의미가 미소면적 dS를 연속적으로 쌓아주면 전체적인 곡면이 되도록 계산해주는 개념이므로 (z축에 대해 변화가 없는) z축을 바라보는 평평한면의 경우는 x와 y성분에 대해서만 연속적으로 적분해주면 되므로, dz가 포함되지않은 dxdy로 표현되는 것 이에요 ^^ 답변이 도움이 되어드릴지 모르겠는데, 혹시 추가적인 질문사항 있으시면 편하게 하셔도 되어요 :)

[@bosstudyroom]

ds의 식을 어떻게 세워야 할지에 대한 답변인데, 왜 0이 나왔는지는 문제전체를 파악해야 알 수 있을 것 같아요 ㅎ

[@wagg9091]

@@bosstudyroom 감사합니다! 미소면적 세우는 부분 이해가 잘됬습니당. 그런데 방향에 관한 부분에서 어떤축을 바라보고 있다는게 면의 안쪽부분이 아닌 바깥부분을 향하는 방향이라고 이해 해도되는걸까요?

[@bosstudyroom]

@@wagg9091 네, 그런데 사실 말씀하신 것 처럼 면적에는 법선벡터방향 이 두가지가 존재하는데요 ㅎ 이는 문제 출제자 분들이 안쪽인지 바깥쪽인지 방향을 제시 해주셔야 적절하지만, 굳이 알려주시지 않았다면 보통 바깥쪽으로 정하는것이 맞아요 :) 참고 : 예를들어 스토크스정리 에서는 '선적분의 경로 방향' 으로 오른손을 감싸줄 때, 오른손의 엄지손가락이 가리키는 방향 = 법선벡터방향 입니다 ^^

[@규규-d9b]

그럼 단위 구에서의 단위법선벡터는 상향벡터 하향벡터 나눌필요없이 인가요?

[@WOOYOUNGMI957]

문제2번에서 원통 옆면의 단위법선벡터를 어떻게 구하는지 잘 이해가 안됩니다ㅜㅜ

[@Mingdoong6025]

그럼 면적분시 원기둥 좌표계와 구면 좌표계에서는 상수값을 갖는 부분의 단위벡터를 함수와 내적해주면 되는건가요?

[@후유-o1i]

grad 는 가장 가파른 방향을 나타내는데 법선과 어떤 연관성이있는지 이해가 잘안되는데 블로그가 사라져서 혹시 정리된게 있을까요 ㅠ..

[@bosstudyroom]

블로그가 사라졌다는 것이 어떤 말씀인지 모르겠습니다. 참고로 제 블로그는 계속 운영중입니다. 답변을 드리자면 아래와 같습니다. grad는 스칼라 장(field)의 가장 가파른 방향을 나타내는데, 현재 그 grad를, 면적을 표현하는 함수에 대해서 취해주는 것이죠. 취하는 방법은 이번 영상의 11:45 부터 설명드렸습니다. 이때, 예를 들어 z축에 수직한 평면으로서 xy 평면에 수평한 평면을 떠올려봅시다. 그는 z=c 같이 표현될 것이고, 이때 c는 임의의 상수입니다. 이때, 그러한 z에 grad를 취해주면 z축을 가리키는 단위벡터를 얻습니다. 그 뜻은, 해당 평면을 나타내는 함수인 z(또는 z-c)가 가장 가파르게 변하는 방향이 어디인지를 찾아보면, 그것은 다름아닌 z축을 그대로 따라가는 방향이라는 의미입니다. 예를 들어 x축 단위벡터와 z축 단위벡터를 벡터 덧셈한 후 그 벡터의 크기를 1로 맞춰준 결과는, z가 가장 가파르게 변하는 방향이 아니에요. 같은 크기만큼 이동했을 때는 z축을 따라서 면을 이동시키면, z의 값이 가장 빠르게 변하는 것을 확인할 수 있습니다. 이는 구면을 표현하는 r=c에 대해서도 마찬가지 입니다.

[@김지훈-f3k]

다 봤음