Calcul de la limite de la somme des 1/C_n^k (somme des 1 sur k parmi n)

[@Khadija-xk7qr]

Merci ! 😊

[@Need4Speeeeed]

on a la meme photo du profil 🤣😂, quelle coincidence

[@lesmathsparseb8463]

😂😅

[@marsupilable]

Bonjour, Dès qu'on s'éloigne des bords 0 et n, les coefficients binomiaux deviennent grands, donc leurs inverses petits. Les seuls termes de la somme qui ne tendent pas vers 0 rapidement sont ceux aux deux bords : près de 0 et de n. Pour n ≥ 4 on écrit donc : un = 2 + 2/n + une somme de n-4 autres termes. Or ces n-4 autres coefficients binomiaux sont ≥ n(n-1)/2 = 2 parmi n. (plein de manières de voir ceci, par exemple : croissance puis décroissance sur chaque ligne du Triangle de Pascal ou bien par récurrence sur n) On majore donc les inverses et on somme : un ≤ 2 + 2/n + (n-4) * 2 / n(n-1). Ce majorant tend vers 2. Or un est aussi minoré par 2, donc un tend vers 2. (gendarmes) Donc en fait toute la partie sur la relation de récurrence par Abel est très jolie mais finalement ne sert pas à grand-chose.

[@lesmathsparseb8463]

Effectivement, c'est très proche de la solution de octavekoenig, et même la tienne est lycée-friendly. Les avantages de cette relation de récurrence, c'est quelle permet de déterminer le sens de variation de la suite mais aussi de donner une formule explicite de celle-ci (en fonction de la somme harmonique). EDIT : en fait, ça n'a pas l'air facile de déterminer une forme explicite, néanmoins cette relation permet d'établir un algorithme significativement plus efficace que l'algorithme naïf.

[@octavekoenig8597]

Je pense qu’on peut aussi utiliser la convergence dominée en isolant les deux premiers et les deux derniers termes 🤔

[@lesmathsparseb8463]

En fait, il ne s'agit pas d'une série ici puisque les termes de la somme dépendent de n et de k. Comment comptes-tu majorer cette somme d'ailleurs ?

[@octavekoenig8597]

C’est justement la dépendance en n qui nécessite l’emploi du th de convergence dominée. Une fois que tu as enlevé les deux premiers et les deux derniers termes tu peux dominer 1/(k parmi n) par 1/(k parmi k+2).

[@lesmathsparseb8463]

@@octavekoenig8597 mmh j'ai du mal à voir où est ta CVD dans ta méthode (qui a l'air très intéressante). Si j'ai bien compris, tu majores cette somme par 2 + 2/n + la série des 2/(k+1)(k+2) qui converge... Mais après qu'est-ce que tu fais ? On peut pas dire que notre somme converge même avec cette majoration, puisque à l'inverse des séries à termes positifs, on n'a même pas la stricte croissance par exemple. Et comment tu calculerais la valeur de la limite avec cette méthode ?

[@octavekoenig8597]

Ah oups je crois qu’on s’est mal compris, tu dois confondre convergence dominée et limite monotone. La convergence dominée c’est un théorème de deuxième année de prépa. Je pensais que c’était une chaîne de maths de prépa, au temps pour moi.

[@lesmathsparseb8463]

@@octavekoenig8597 ah j'ai compris. Tu utilises en fait le cas particulier (et rare ?) de CVD pour la mesure de comptage ou pour la mesure de Lebesgue avec la suite u_n(x) = 1/(int(x) parmi n) qui cvs vers 0. On voit cette version en première ou deuxième année suivant les prépas effectivement. Cette chaîne est pour tous les niveaux, pendant et après le lycée. Si tu as des exos d'oraux intéressants, je suis preneur.

[@cybersonn2]

Très bonne vidéo ! Juste, je me demande comment tu as fait pour résoudre cet exercice ? Tu l'as fait par toi même ? T'as regardé une correction? Parce que l'idée de trouver une formule de récurrence avec cette méthode est technique. Je me demande comment trouver ce genre d'astuce sans la connaître au préalable (à moins, comme tu l'as dis ça ressemble aux transformations d'Abel ).

[@lesmathsparseb8463]

Je l'ai résolu seul effectivement. A force de faire des exos de maths olympiques, on acquiert des réflexes qui permettent de résoudre des "exos à astuces" comme celui-ci (d'ailleurs, il y en a d'autres du même type sur ma chaîne). Ce sont des exos qui demandent beaucoup de temps au début puisque l'astuce est pas facile à trouver, mais c'est comme tout : à force d'entraînement, c'est plus facile et plus rapide de trouver la solution (puisque justement on est à l'aise les techniques de calcul requises). Donc, si tu veux t'entraîner en maths olympiques, je te conseille le site mathraining qui est une plateforme exceptionnelle (je la recommande à tout le monde, peu importe le niveau, collège, lycée, prépa, université, école et même après !). Ca aide notamment en mathématiques scolaires, indépendamment du niveau. Merci pour le retour !

[@azptoch]

J'ai presque tout compris ! super merci ! Juste il y a des bouts de phrases où tu parles trop vite

[@lesmathsparseb8463]

Ok j'essaierai de plus articuler à l'avenir. Merci pour le retour !

[@sylvainm-v7919]

preshot: 2

[@sylvainm-v7919]

Ok c est bon mais je pense qu'il y avait pas besoin de faire aussi compliqué: u_n s'écrit comme une somme de termes dont le premier et le dernier terme valent 1, ainsi il suffit de montrer que les termes à l'interieur tendent vers 0, le deuxieme et avant dernier termes sont 1/n, et pour les autres termes on peut utiliser C(k,n) >= C(2,n)= n(n-1)/2 par variations des coefficients binomiaux. Ainsi le reste de l'interieur de la somme est majoré par un A/n^2 (A independant de k) que l'on somme n fois donc tend vers 0. En conclusion ca tend vers 2.