MCU MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME | Teoría, fórmulas y problemas

[@JesusUrbex]

Ese teacher menudo flow se gasta 🔥

[@JoséAntonioBottino]

A partir del minuto 1:12 escribe Δs = r • Δφ [m] [m] [rad]. Aquí entonces metro * radianes da metro. Eso es lo que cree la mayoría de la comunidad científica pero no es cierto. Los estudiantes suelen preguntar por qué no aparecen los radianes. La realidad es que en la fórmula, φ representa el "número de radianes", es una variable adimensional [rad/rad = 1]. En el minuto 4:35 escribe la fórmula de la velocidad angular ω = Δφ / Δt y dice que la unidad es rad/s. Esto tampoco es así, aunque lo afirma el folleto del Sistema Internacional de Unidades (SI), que también dice que se mide en 1/s = s^(-1), lo que sí es cierto porque φ se mide en rad/rad y la velocidad angular en (rad/rad)/s = 1/s. En el minuto 5:17 escribe la fórmula v = r • ω. Aquí entonces metro * (radianes por segundo) da metros por segundo. Nuevamente desaparecen los radianes. La unidad de la velocidad angular es 1/s. En el ejemplo, en el minuto 11:54 escribe ω = 33 vueltas/min. En realidad las 33 rpm es una manera de indicar la frecuencia, no es la velocidad angular. Pero debería escribirse 33 nrpm [nrpm = (rev/rev)/min, es "número de revoluciones por minuto]. f = 33 (rev/rev)/min f = [33 (rev/rev)/min] • [(1 min)/(60 s)] f = 0,55 (rev/rev)/s f = 0,55 (1/s) f = 0,55 Hz. Conocida la frecuencia se calcula la velocidad angular ω = 2𝜋 • f ω = 2𝜋 • [0,55 (rev/rev)/s] ω = 1,1𝜋 (rad/rad)/s ω = 1,1𝜋 (1/s). A pesar de que la velocidad angular se mide en 1/s esto no equivale a Hz ya que en la frecuencia es (rev/rev)/s, número de revoluciones por segundo y en la velocidad angular es (rad/rad)/s, número de radianes por segundo. En el minuto 13:34 escribe v = 1,1𝜋 • 0,15 v = 0,52 m/s. Omite las unidades, lo que haría evidente la multiplicación (rad/s) • m = m/s que ya comenté. Lo real es v = [1,1𝜋 (1/s)] • (0,15 m) v = 0,52 m/s. A partir del minuto 14:56 calcula el período y nuevamente omite las unidades para evitar los radianes T = 2𝜋 / ω T = 2𝜋 / 1,1𝜋 T = 1,82 s. Le voy a escribir dos comentarios más, uno del MCU y otro donde muestro que φ es adimensional y no lleva la unidad rad.

[@JoséAntonioBottino]

Muchos se preguntan por qué no aparecen los radianes cuando se tiene radianes*metro (rad • m). A continuación un intento de explicación: Denotemos s la longitud del arco de una circunferencia cuyo radio mide r. Si el arco subtiende un ángulo que mide β = n°, podemos plantear una regla de tres: 360° _______ 2 • 𝜋 • r n° _______ s Entonces s = (n° / 360°) • 2 • 𝜋 • r Si β = 180° (lo que significa que n = 180, el número de grados), entonces s = (180° / 360°) • 2 • 𝜋 • r Las unidades "grados sexagesimales" se cancelan y queda s = (1 / 2) • 2 • 𝜋 • r s = 𝜋 • r es decir, la mitad de la longitud de la circunferencia 2 • 𝜋 • r. Si el arco subtiende un ángulo que mide β = θ rad, podemos plantear una regla de tres: 2 • 𝜋 rad _______ 2 • 𝜋 • r θ rad _______ s Entonces s = (θ rad / 2 • 𝜋 rad) • 2 • 𝜋 • r Si β = 𝜋 rad (lo que significa que θ = 𝜋, el número de radianes), entonces s = (𝜋 rad / 2 • 𝜋 rad) • 2 • 𝜋 • r Las unidades "radianes" se cancelan y queda s = (1 / 2) • 2 • 𝜋 • r s = 𝜋 • r o sea la mitad de la longitud de la circunferencia 2 • 𝜋 • r. Si tomamos la fórmula con los ángulos medidos en radianes, podemos simplificar s = (θ rad / 2 • 𝜋 rad) • 2 • 𝜋 • r s = θ • r donde θ es el "número de radianes" (no tiene la unidad "rad") θ = β / (1 rad) y θ es una variable adimensional [rad/rad = 1]. Sin embargo, muchos consideran que θ es la medida del ángulo y para el ejemplo creen que θ = 𝜋 rad y radianes*metro da como resultado metros rad • m = m ya que, según ellos, el radián es una unidad adimensional. Esto les resuelve el problema de las unidades y, como les ha servido durante mucho tiempo, no ven la necesidad de cambiarlo. Pero lo cierto es que la solución es más simple, lo que deben tener en cuenta es el significado de las variables que aparecen en la fórmula, es decir θ es sólo el número de radianes sin la unidad rad. Los libros de Matemática y Física establecen que s = θ • r y entonces θ = s / r Pareciera que esa fórmula condujo al error de creer que 1 rad = 1 m/m = 1 y que el radián sea una unidad derivada adimensional como aparece en el Sistema Internacional de Unidades (SI), cuando en realidad θ = 1 m/m = 1 y conociendo θ = 1, el ángulo mide β = 1 rad. En la fórmula s = θ • r la variable θ es una variable adimensional, es un número sin unidades, es el número de radianes. Al confundir lo que representa θ en la fórmula, en Física se cometen algunos errores en las unidades de ciertas cantidades, como por ejemplo la rapidez angular. Mi conjetura es que en realidad la rapidez angular ω no se mide en rad/s sino en (rad/rad)/s = 1/s = s^(-1).

[@laconstanteuniversal]

La definición del radian como una unidad adimensional es lo que lleva a todas las incongruencias que mencionas del análisis dimensional. Pero realmente no es que phi sea medido en rad/rad sinó que los rad en sí mismo se definieron como unidades adimensionales.

[@JoséAntonioBottino]

​@@laconstanteuniversal Efectivamente, la definición del radián la establece el SI, para el cual 1 rad = 1 m/m = 1 y por lo tanto el radián es una unidad adimensional. Lo que afirmo es que la unidad de θ es rad/rad = 1 y por lo tanto la variable θ es adimensional. El SI confunde la adimensionalidad de la variable θ con la adimensionalidad del radián. En mi escrito se ve que θ = β / (1 rad) y como β se mide en radianes, entonces θ es una variable adimensional [rad/rad = 1]. En la fórmula s = θ • r la variable θ representa un número. Supongamos que queremos determinar lo que mide toda la circunferencia. En ese caso θ = 2𝜋, no tiene la unidad rad y por lo tanto s = 2𝜋 • r. Como sabemos que 𝜋 es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro (D = 2r), resulta que 𝜋 = 2𝜋 • r / 2r 𝜋 = 𝜋. Como se ve no aparece ningún radián. De allí se generan todas las incongruencias en las unidades de las magnitudes físicas. Puede ver en mi otro escrito, el del MCU, que el SI define al hercio como Hz = 1/s. La unidad de la rapidez angular tambián es 1/s, y eso puede generar confusión. El detalle es que la frecuencia mide el número de revoluciones por segundo. El hercio es Hz = (rev/rev)/s = 1/s y la rapidez angular se mide en (rad/rad)/s = 1/s. Una sutileza. La utilización de rev/rev y rad/rad es para indicar la naturaleza del "número".

[@JoséAntonioBottino]

En un Movimiento Circular Uniforme, la rapidez lineal (rapidez tangencial) v permanece constante. Si el objeto realiza n revoluciones (ciclos) en un tiempo t, entonces recorre una distancia s s = 2 • 𝜋 • r • n donde n es el "número de revoluciones", n es adimensional, n tiene unidad rev/rev = 1. Como v = s / t, entonces v = (2 • 𝜋 • r • n) / t Dado que v = ω • r, entonces ω • r = (2 • 𝜋 • r • n) / t. Esto implica que ω = (2 • 𝜋 • n) / t Si ω = 2 • 𝜋 • f, donde f es la frecuencia, entonces 2 • 𝜋 • f = (2 • 𝜋 • n) / t. Esto implica que f = n / t o lo que es lo mismo, la frecuencia f es el número de revoluciones (ciclos) por unidad de tiempo (normalmente segundos). La unidad de f debería ser (rev/rev)/s = Hz = 1/s igual al número de revoluciones por segundo [nrps = (rev/rev)/s, si se quiere mantener la costumbre], y no en revoluciones por segundo (rps = rev/s). La unidad hercio (Hz) sustituyó a la unidad ciclos por segundo, que en realidad era el número de ciclos por segundo. Dado que el período T = 1 / f, entonces T = t / n. Como el período T es el tiempo que tarda el objeto en completar una revolución (un ciclo), entonces la unidad de T es: s/(rev/rev) = s igual a segundos por número de revoluciones (segundo por número de ciclos). Como ω = θ / t y θ es el número de radianes, θ es adimensional, θ se mide en rad/rad = 1, esto quiere decir que ω debe medirse en (rad/rad)/s = 1/s = s^(-1) y no en rad/s. Se entiende que en la fórmula ω = 2 • 𝜋 • f la conversión de unidades es 1 (rad/rad)/s = 2 • 𝜋 • (rev/rev)/s por lo que 1 (rad/rad) = 2 • 𝜋 • (rev/rev). Allí los 2𝜋 permiten pasar de "número de revoluciones" (rev/rev) a "número de radianes" (rad/rad). Voy a destacar la diferencia entre la unidad de la rapidez angular, que parece ser 1/s y la unidad de la frecuencia que también parece ser 1/s. Son diferentes. Los hercios son número de revoluciones por segundo (nrps) mientras que la rapidez angular es el número de radianes por segundo (nrad/s, estirando un poco la notación).