Congruence : savoir résoudre une équation du type ax=b [n] - arithmétique modulo n - spé maths

Objectifs:
- savoir résoudre une équation ax=b [n]
- savoir remplir une table de congruence
- comprendre le lien entre reste et congruence
- savoir calculer modulo n
arithmétique - spé maths - mathématiques

[@mathserreurs2479]

Pour 3. 3x=6[9] 3x=6 +9k, k dans Z x=2 + 3k apres division par 3: Les solutions sont donc x=2 +3k .

[@monkmonk938]

Oui. C exact. On a le droit de simplifier la congruence en incluant le modulo et on trouve les résultats de x

[@bouchetamustapha6857]

que ponsez vous monsieur sur cette methode. 3x=6 modelo 9 écrit: 3x=9K+6 Donc 3X=3*(3K+2) qui donne x=3*k+2 avec 3k+2≤9 donc K=0,1,2 doc x=2,5,8 modelo 9

[@jaicomprisMaths]

oui c'est bon car tu ne raisonnes pas en modulo mais sur les entiers dit plus rapidement, 3x=9k+6 la tu es pas en modulo donc sur les entiers donc tu peux diviser par 3 ce qui donne en divisant tout par 3 : x=3k+2 donc c ok bonne remarque

[@touhami3472]

C'est bien vu! Juste une petite remarque : il fallait s'arrêter à x=2+3k avec k dans Z TOUT Z.

[@thecrazzxz3383]

@@jaicomprisMaths J'ai fait la même chose

[@arna664]

Pour q 4, peut-on écrire que x=2[3]?

[@userfally]

je me pose la même question surtout que normalement avec les congruences on peut écrire (pour ce cas par exemple) 3x=6[9] on peut TOUT diviser par "3" cad 3x/3=6/3[9/3] soit x=2[3] et on voit que ça marche (cette technique je l'ai lu autre part mais je l'ai pas vu en classe du coup jsp)

[@KFlorent13]

Et si j'ai mod 256, je fais comment ? Un tableau à 256 colonnes ?

[@lucasfaure227]

Je suis dans le même cas et je suis bloqué, tu as trouvé ?

[@KFlorent13]

@@lucasfaure227 non désolé. J'ai foiré mes cours d'arithmétique modulaire.

[@akaaneeric6360]

pour les autres solutions on fait ce système. 3xcongrueà6modulo9=(7x-4x)congrueà(8-2)modulo 9 on obtient ce systeme 1. 7xcongrueà8modulo9 2.4xcongrue à 2 modulo9 3. 7xcongrue à 2modulo9 4. 4xcongrue à 2modulo9 1. le 1 et le 2 je viens de le resoudre à l'instant on trouve xcongrue à 5modulo9 3. 7xcongrueà2modulo9 je multiplie pas 4 et j'obtiens: 4*7xcongrueà4*2modulo9 et comme 4*7congrueà1modulo9 alors on a xcongrueà 8modulo9 4. 4xcongrue à2modulo 9 on multiplie par 7 et on 7*4xcongrueà 7*2modulo9 on obtient xcongrue à 14modulo 9 qui est égal a xcongrueà 6modulo 9 d'où les solutions sont 5, 6 et 8

[@arna664]

Pour 3, on peut facilement mq 7×5 c'est en fait 8 modulo 9, et soustraire les deux équations, et donc obtenir 7(x-5)=0[9], et comme 9 et 7 sont premiers, en utilisant le théorème de Gauss, on peut déduire que 9/x-5, d'où x c'est 9k+5 avec k un entier relatif... Réciproquement, on fait la vérification... Conclusion S={9k+5}

[@arna664]

Mr svp pour votre méthode , on a l'équivalence n'est pas le cas ? Si oui, pas besoin de vérification !

[@miguelpaych9620]

Excellente vos vidéos! Elles m'ont aidé à résoudre beaucoup d:exos sur lequels je bloquais, mais j'ai une question concernant les congruences, comment procède-t-on si on a des congruences modulo d'un grand nombre? Par exemple 65?

[@albinseon]

bonjour, dans toute la vidéo, vous employez "égal à" alors que, il me semble que ce terme désigne le signe composé de deux barres horizontales (=). Serait-il plus rigoureux d'utiliser "congru à" pour le signe composé de trois barres ? Merci de m'éclairer sur la question ^^

[@jaicomprisMaths]

idéalement on dit congru mais on peut très bien dire égaux modulo, c'est ce qu'on dit avec les angles: égaux à 2 pi près

[@albinseon]

@@jaicomprisMaths d’accord, merci pour la réponse !

[@إبنفاس-ر7م]

لك جزيل الشكر أستاذ

[@danielstrens2313]

Bonjour, j'aimerais savoir du coup comment résoudre l'équation 495.x mod 896=1 Car je suis perdu avec cette équation... Merci d'avance !

[@rb0610]

Mais pour la dernière question il ne suffirait pas de faire le suivant? 3x congru à 6 modulo 9 (=) 3x=9k+6 (=) x=3k+2 SOLUTION tout x de la famille x=3k+2 tel que k E Z et x

[@rb0610]

Ahh dsl question déjà posée en-bas.

[@jaicomprisMaths]

pas de problème! très bonnes fetes

[@noufissaalaoui4873]

merci beaucoup mon professeur pour cette belle vidéo , qui était riche en informations . j'ai aimé très bien la façon par laquelle vous avez expliquer cette​ partie . et j'espère que vous continuerez à publier de telles vidéos. merciii une autre fois , et voilà un j'aime et subscribe.😄😅

[@jaicomprisMaths]

merci c'est sympa et pour plus de vidéo n'hésitez pas à aller sur le site: www.jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/congruence-Z.php très bonne journée

[@noufissaalaoui4873]

merciii😂

[@jaicomprisMaths]

😇😇😇😇

[@colinemry2770]

Merci beaucoup!!, vos explications m'ont beaucoup aidé sur des exos de ce type ou je bloquais pour un devoir maison

[@jaicomprisMaths]

merci à toi, oui l'arithmétique au début c diffcile, ça ne ressemble pas au reste du programme et ça destabilise mais avec l'experience ça devient plus simple

[@rayane.h6269]

J’ai besoin d’aides, on fait comment pour des modulo un peut élevé : 17x=3 [31]

[@jaicomprisMaths]

pour trouver l'inverse de 17 mod 31, tu peux faire un ptit programme en python sur ta calculette: for i in range(0,31): print(i*17%31)

[@jakefine451]

@@jaicomprisMaths hhhh nice idea but not in the exam

[@arna664]

Dans un autre exercice, vous avez montrer que en fait si a et n sont premiers, alors a admet un inverse b modulo 9, et donc dans ce cas on peut penser à cette technique... C'est un peut comme les équations diophantiennes, génial 💡

[@omaymabelmerabet2720]

stp comment calculer le k sachant que 2063-(7235*6209)=2750=Xmod7829 (x=k*7829+2750)

[@cybersolo]

Bonjour, Pour le point 4, j'ai utilisé les résultats précédents, ce que l'on est généralement supposé faire dans des exercices composés. 7*x = 8 [9] (point 3) 3*x = 6 [9] (ce qu'on cherche) 7*x - 3*x = 8-6 [9] 4*x = 2 [9] (table point 1) x = 5 [9] -> il manque des solutions Peut-on seulement obtenir toutes les solutions par cette méthode ? Passer par des tables est faisable tant qu'on a des petites valeurs mais si on calcule avec des modulo bien plus élevés (comme c'est le cas pour les générateurs de nombre aléatoire par exemple), ça devient vite impossible en pratique et ça me dérange de résoudre des problèmes par cette méthode. Ma réflexion: Si le module est un nombre premier et que le coefficient de x n'est pas un multiple, alors la solution est unique (ou si le module et le coefficient sont premiers entre eux), mais ici vu que le module 9 est multiple du coefficient 3 d'un facteur 3, on a alors un cycle de 3. On pourrait donc déduire l'ensemble des solutions x = 5 + k*3 [9] (k entier). Avec k {-1,1} on retrouve les solutions manquantes: x=2[9] et x=8[9].

[@jcfos6294]

Du coup dans la théorie des ensembles, quel est l'ensemble qui determine la classification des congruences ? Groupes, anneaux, corps,.... Autre chose ?

[@jaicomprisMaths]

les congruences ds Z sont un cas particulier des congruences. pour parler de congruence, il faut un ensemble E et une relatio d'équivalence sur E qui soit compatible avec les opérations de E. lorsque a et b sont en relation aRb on dit que a et b sont égaux (congrus) modulo R

[@jeremydoucet8232]

Bonne vidéo merci beaucoup! J'écoute vos videos de l'autre côté de l'atlantiques car je les trouve mieux faites que celles de mes profs😁

[@jaicomprisMaths]

merci c'est sympa et tu peux aller sur le site où tout est classé: jaicompris.com/lycee/math/terminaleS-math.php très bonne journée

[@barthkonan3789]

​@@jaicomprisMathsooooôoôôooôooooô

[@touhami3472]

Bonjour, Dans 3x=6[9], il n'est pas nécessaire de de trouver un u tel que u×3=1 mais plutôt tel que u×3=d [9] où d=pgcd(3,9). On a bien (-2)×3 +(1)×9=3=d (Bezout) Donc -2×3=d [9] , ici u=-2 : on obtient bien x=2+3k , k dans Z. Précison : il solution car d=3 divise 6 (condition nécessaire). Merci pour votre travail.

[@touhami3472]

Bonjour Deux plans parallèles passant respectivement par P1(0.0.Z1° ET P2(0;0;z2) délimitent une surface de la sphère dont l'aire est: a= 2pi*R*(z2-z1) que cette surface soit une calotte ou couronne. R est le rayon de la sphère et z1 et z2 sont tels que: -R

[@omesara3610]

Pour 3×2^(3n-2)=b[17] Comment on peut trouver b ?

[@akaaneeric6360]

bonsoir monsieur..vraiment merci pour cette vidéo sur les congruences. vous nous faites vraiment du bien. concernant la question 4 je la resoud comme suit: 3xcongrue6modulo9=(7x-4x)congrue(8-2)modulo9 et comme 7x est congrue à 8 modulo 9 la solution est xcongrue à 5 modulo9 . on a 4xcongrue à 2modulo 9. on multiplie par 7 et on a : 4*7xcongrue à 2*7modulo 9 sachant que 4*7xcongrue à 1modulo 9 on à xcongrue à 14modulo9 dans 14 je peux enlevé 1fois 9 alors on aura comme resultat final xcongrue à 5 modulo 9. conclusion: 3xcongrueà6modulo 9 a pour solution xcongrue à 5 modulo 9. est ce logique???

[@jaicomprisMaths]

c'est compliqué à comprendre , ecris moi ton calcul sous la forme 3x=6[9] c + clair merci

[@yanntiger974]

Bonjour, je ne comprends pas pourquoi la division ne s’applique pas aux congruences. Je pensais qu’étant donné que la multiplication fonctionnait, on pouvait multiplier par un fraction, ce qui revient à faire une division. Par exemple en multipliant par 1/3 de chaque côté de l’équation 3x congru à 6 modulo 9

[@jaicomprisMaths]

par exe si tu as 2x=0[6] on serait tenté de div par 2 => x=0[6] cad x=6k multiple de 6 et c faux car par exemple 3 est solution car 2*3=6=0[6] je l'ai expliqué ds une vidéo je te conseille d'aller sur le site chap congruence tout est classé, très bonne journée jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/congruence-Z.php

[@touhami3472]

Multiplier par une fraction en congruence n'a pas de sens.: une fraction n'est pas un entier.

[@LordKurtz1979]

les entiers égaux à 8 modulo 9 cad : x=9k+8 , n'est ce pas ?

[@LordKurtz1979]

Dans la question 1 je veux dire

[@danyjamous5986]

7:58 pourquoi on ne garde pas le modulo 9 lorsqu'on remplace 4 x 7 ? et si on le gardait ayant modulo 9 de chaque coté peut-on simplifier ?

[@danyjamous5986]

@jaicompris Maths ceci me semble plus logique car on obtiendrait x = 32 or si on procède différemment : en partant de 4 x 7 = 1 [9] puis en multipliant par 8 de chaque côté on trouve 32 x 7 = 8 [9] avec à nouveau x = 32

[@danyjamous5986]

ok j'ai compris, le modulo passe de l'autre côté je laisse mon commentaire si jamais ça peut aider d'autres personnes à comprendre.

[@mounirettaous5446]

Merci pour voter tuto sont super. j'aimerai savoir comment calculer l'inverse d'un nombre mais sans dresser la table de congruences. par exemple comment calculer 7x congru 1[26] ? merci d'avance.

[@jaicomprisMaths]

Le plus simple est de chercher à taton avec la calculette: pour chercher l'inverse de 7 modulo 26, tu dois résoudre 7x=1 [26] donc pour 7x tu dois obtenir soit 1, soit 27, soit 53 ... 1+ multiple de 26 et tuessayes sinon c équation diophantienne: faut résoudre 7x=1+26y et pour cela faut avoir bezout

[@myst3ri0u82]

MOUNIR ETTAOUS programme de Bezout sur calculatrice

[@No_Identity]

Bonsoir, Je suis en terminale S et je ne suis pas extrêmement acquis toutes les petites astuces qu'on peut utiliser en spé, notre professeur nous dis que c'est normal (au début) de ne pas tout savoir faire mais le controle est jeudi et j'en suis toujours à faire des exos basiques et je n'arrive pas à faire les plus durs. J'aimerai bien avoir quelques conseil pour tout déchirer le jour du contrôle merci d'avance

[@jaicomprisMaths]

il faut faire la liste des principales questions qui tomber et pour chaque question, connaitre la ou les méthodes à appliquer. très bonne soirée

[@No_Identity]

bonsoir, merci pour votre réponse si rapide, j'attends cette liste avec impatience merci beaucoup

[@No_Identity]

pardon, j'ai mal lu votre réponse 😂 j'essayerai de faire cette liste merci et bonne continuation à vous aussi

[@jabir5768]

merci !!!!!

[@vandiane4741]

Merci infiniment 😇😇

[@2set792]

Très bonne vidéo ! Continuez !

[@khaldimokrane3609]

Merci pour les explication

[@stellarkartfan]

Bonjour,est ce que vous pourriez faire une autre vidéo sur les inverses parce que ce n'est pas très clair en fait et merci beaucoup pour vos vidéos

[@jaicomprisMaths]

qu'est-ce qui n'est pas clair?

[@stellarkartfan]

inverses et compagnie,en gros en quoi 4 c'est l'inverse de ce vous avez écrit en fait

[@jaicomprisMaths]

a et b sont inverses lorsqu'on les multiplie ça fait 1. par exemple : 3 et 2 sont inverses modulo 5 car qd on les multiplie ça fait 6 or 6 modulo 5 ça fait 1 3*2=6=1 [5]

[@stellarkartfan]

ahh ok...merci beaucoup

[@imaneelmaarofi2975]

merciii prof c est trop clair

[@miu869]

Merci énormément à vous

[@jaicomprisMaths]

😇

[@miu869]

J'ai passé mon examen aujourd'hui, ça c'est bien passé grâce à vous :) merci encore!

[@jaicomprisMaths]

merci à toi mais c'etait quoi comme examen?

[@miu869]

Un contrôle normal je veux dire ^^

[@abderrahmanizerzour7627]

merci beaucoup c est tres clair.

[@osarx2676]

11:00 16:30

[@foxgangz5170]

merci !!!!!

[@saadlahriouil2118]

Merci bcp, je veux un pdf de ces exercices s'il est possible

[@moniquembalo3170]

Merci beaucoup😊, j'ai vraiment bien compris👏

[@mohamedaouzal2492]

Peux-tu démontrer que p^2=1 [3] On a. p》3 et p est un nombre premier

[@jaicomprisMaths]

je pense que tu veux dire premier et pas primaire? si tu travailles modulo 3 , p=0 ou p=1 ou p=2 [3] or p=0[3] n'est pas possible car premier, et ensuite tu calcules p² [3] et tu verras que tu tombes toujours sur 1

[@mohamedaouzal2492]

@@jaicomprisMaths oui je veux dire premier tu peux m'expliquer plus s'il vous plait

[@touhami3472]

@@mohamedaouzal2492 Bonjour, Puisque p premier >3 ,on peut l'écrire sous la forme : p=3k+ r k dans N * et r dans {1; 2} . Alors p-1=3k+r-1 et p+1=3k+r+1 Si r=1 ==> p-1=3k :3 | p-1 Si r=2 == > p+1=3k+3 : 3| p+1. Conclusion : dans tous les cas ( 2 cas: r=1 ou r=2): p^2-1=(p-1)(p+1)= 0 [3]. Il y a sûrement mieux ! Mais c'est pas mal.