Définition d'une fonction continue par morceaux

[@nicchagall6075]

Merci pour cet excellent cours.

[@wiwo5547]

Bonjour Monsieur, Pour la démonstration de la propriété :"Toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée", comment justifiez vous l'existence de tous f(xi) dans le max sachant que un ou plusieurs xi peuvent être des points de discontinuité ?

[@wiwo5547]

Il me semble d'ailleurs qu'en ayant prolongé par continuité chaque restriction, chaque Mi majore finalement ce que vous avez appelé f(xi)

[@lescoursdemathsdempsi3136]

Les Mi majorent f sur chaque intervalle ouvert ]x(i), x(i+1)[, pour avoir un majorant valable sur tout [a,b] il suffit de considérer aussi les valeurs de f en x(i). Oui un ou plusieurs xi peuvent être des points de discontinuité, et ce n'est pas un problème puisqu'on ne s'intéresse pas à la continuité en ces points.

[@lescoursdemathsdempsi3136]

Non, Mi majore seulement la restriction de f à ]x(i), x(i+1)[. Plus précisément, Mi majore la restriction de f à ]x(i), x(i+1)[ qui a été prolongée par continuité à [x(i), x(i+1)]. Mais ne majore ni f(xi) ni f(x(i+1)). J'espère que c'est plus clair maintenant.

[@wiwo5547]

@@lescoursdemathsdempsi3136 Si xi est un point de discontinuité, je ne vois pas très bien comment parler de f(xi) du coup. Pour moi Mi majore sur [xi,xi+1] donc majore la limite à droite en xi et à gauche en XI+1 donc finalement les Mi majorent toutes les valeurs de f sur [a,b]

[@lescoursdemathsdempsi3136]

@@wiwo5547 Attention vous faites 2 erreurs : 1. f définie sur [a,b] et xi est un point de [a,b] donc f est bien définie en xi, et j'ai bien le droit de parler de f(xi). D'ailleurs, si f n'était pas définie en xi,dire que f est discontinue en xi n'aurait aucun sens. 2. Mi majore f seulement sur ]xi,xi+1[. Regardez le dessin en début de vidéo. On voit bien apparaître ces 2 explications.

[@thomasdup7780]

Est ce que une fonction discontinue, cets la même chose qune fonction continue par morceaux?

[@lescoursdemathsdempsi3136]

Non absolument pas ! La notion de fonction continue par morceaux généralise la notion de fonction continue. Autrement-dit, une fonction continue est aussi continue par morceaux (voir remarque 5). Et l'exemple 2 donne un exemple de fonction qui n'est pas continue en 0 et qui n'est pas non plus continue par morceaux.