【東北帝國大學】tan の冪乗の積分【戦前入試問題】

[@884]

【東京帝國大學の入試数学が書籍になりました】 東京帝國大學の入試問題 100 題と林のオリジナル解説をまとめた書籍が出版されました！数学好きの方ならきっと楽しめると思います。ぜひお読みください。 “100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100” amzn.to/3d39zgN

[@884]

★リメイク版作りました！ 解説の不要箇所を削除し，理解しやすくしています。（問題 b の解説もあります） kzbin.info/www/bejne/imbbfJKqorVki9k みなさん，こんばんは！今回は tan の冪乗の積分ですね。 問題自体は偶数乗ですが，せっかくなので奇数乗も動画で扱っています。 tan がらみの積分は，sin や cos とは違った式変形をすることが多く，面白いですね！ ★訂正 冒頭で θ ∈ ℕ0 と書いてしまっていますが，正しくは n ∈ ℕ0 です。ごめんなさい！ ★補足 J の積分でなぜか部分積分をしていますね...... もちろん誤りではないのですが，普通に冪乗の合成関数の微分なので，部分積分をする必要はありません！

[@みかみか-f2r]

結構オープンな解になるんね〜 いつも動画見させてもらってます！これからも頑張ってください！

[@884]

いつもご視聴ありがとうございます！ これからも面白くためになる動画をお届けしていきます🔥

[@yuukinishimura9346]

nじゃなくて2n にしてくれているところに多少の優しさを感じた…(場合分けすればいいだけだけど)

[@884]

そうですね。どうしても 1 個飛ばしの漸化式しか得られないので，指数を偶数に限定してくれているのは救いです。

[@butazaurusu]

そこで解答になるのか 現代は答えをすっきり出せる問題が増えてきてるからこういうのもたまにはいい

[@884]

昔の入試問題は，現代のそれと比べると，こんな感じでわりとオープンな問題が多いです。 現代は採点のミスや不平等が発生すると（昔より）マズいので，こういう問題は出題されにくいでしょうね。

[@太郎山田-m4r]

漸化式を求めたあと、両辺に(-1)^nを掛けて、階差数列にして解きました。

[@884]

おーなるほど，そう解釈すれば計算しやすいかもしれませんね！

[@toshi68795]

私も出身だけど、こんな難しい問題は出なかったよ。昔の人スゴイなぁ。

[@884]

激動の時代にこのような入試問題を解けた人たちは，ほんとすごいですね！

[@長谷川緑-b7n]

説明もわかりやすいんですけど、声もいいから、いつもあっという間に時間が過ぎます^_^ ちなみに、一本の動画を完成させるのにどのくらい時間がかかっているんですか？

[@884]

そう言っていただけて嬉しいです！ 完成までの時間は動画によります。

[@884]

幅が広いので，一概にはお答えできません。

[@176nerimar4]

ん？2:47-は(tanθ)'dθが出たんだからt = tanθで置換すれば終わるのでは？

[@884]

その通りです！（コメント等で捕捉済） わざわざ部分積分しちゃっていることもあり，これは前の (a) と合わせて再度収録しました。近日中に公開する予定です。

[@とみたろう-q2g]

17:30 最下段の左右にあるΣ(k=1,n)はともに，n=0のときは定義できないので， 答えはともにn=0のときとn≥1のときとの場合分けが必要ではないでしょうか？

[@884]

細かいことをいうとその通りです！

[@tetsuyainada8013]

漸化式の説明がわかりやすかったです

[@884]

ありがとうございます！

[@trevorbloom9351]

No idea how I got here, but it's calculus so I'll drop a like.

[@クリプトン-i5x]

昔の入試問題は, 今よりも難易度がかなり高いのではないでしょうか。以前の戦前入試問題の動画も拝見していますが, 受験業界が発展していない中で, こういう問題を出題するのは真の数学力が試されている感じがします。

[@884]

当時の学制は現在のそれと異なっており，現在でいう大学教養レベルの解析も試験範囲になっていました。 なので，ちょっと難しめの不定積分や Taylor 展開関係の問題も登場します。 その意味では，難易度は高いですね！

[@user-tz4hs7zs5m]

不定積分が求まる関数の目星がつかなくなってきているので復習になって助かっております。 さてJを求めるところですがf(tanθ)(tanθ)’の形になっているのでtanθを置換するのが早いと思われます。

[@884]

そうなんですよ。 コメントで補足済みではありますが，もっとシンプルに積分できましたよね💦

[@vbj9271]

今回のように答えにシグマなどが複雑に混じっている場合っていつ終わらせれば良いのか分かりにくくないですか？ 私でしたらシグマを計算しようとして時間無駄にしてしまいますね

[@884]

そうですよね〜。 これも実際に入試で出た問題なわけですが，自分が試験の場でこれを見たら少し迷ってしまうと思います。

[@おお-z4g]

J＝∫(tanθ^2n-2){(tanθ)'}dθはx^αの積分のようにできますよね。

[@884]

そうなんですよ。どういうわけか，結果を見てもなおそれに気づいていないという💦 何も間違ったことはしていないのですが，冪乗の積分（＆合成関数）の方が当然手短です。

[@おお-z4g]

@@884 あっ、別のコメントの補足に書いてましたね。すみません

[@884]

@@おお-z4g いえいえ，むしろ注意深くご覧いただきありがとうございます！（注意深く見なくても気付くレベルではありますが）

[@jalmar40298]

0:26 θ∈ℕ_0 いきなりミスってますよ！

[@884]

うわほんとだ💦 ご指摘ありがとうございます！

[@strmandola5484]

これ見てると、大学入試の難易度って戦前からそんなに変わって無いんですかね。少なくとも扱う内容はそうなのでは。

[@884]

現在のいわゆる六三三四制とは異なる制度だったので，出題範囲にはもちろん多少の違いはあるのですが，大まかな出題内容や難易度は，現代の入試と大して変わらないですよね。

[@残念賞]

てめえの声は落ち着くんだよ！ これからも頑張れやコラ！

[@884]

ありがとうございます😎

[@xy8066]

アンパンマンが三角関数は2上に強いって言ってたお

[@884]

申し訳ないがアンパンマン呼ばわりは NG

[@yamada9402]

よびのり？

[@884]

僕はそのつもりでした。 少なくともアンパンマン本人が三角関数の話をしている可能性はないと思いました。（マジレス）

[@co1556]

∫tan^nθdθとして偶奇に依らぬ一般項を出して全体から偶数を引く、もしくは奇数を引くという方針で解いてみようとしましたが漸化式が1つ飛びしか組めなくて結局nの偶奇で場合分けすることになったので省エネにならず。。。もっとキレイに解く方法は無いもんですかねぇ

[@884]

そうなんですよ。 cosθ と tanθ の関係式が 2 乗の形になっていたり，(tanθ)' = 1/cos^{2}θ という形をしていたりするので，どうしても 1 個飛ばしでしか積分の漸化式が出てこないんですよね。 最終形が n の偶奇で異なるので，どうしようもないのかもしれません。