Dérivée de la composition de deux fonctions

[@ihaadi8030]

Good job 👍

[@khadijael9343]

Merci beaucoup ❤

[@aymanessemmar-q2u]

vraiment merci

[@Youssef2k07]

Merci !

[@pausesmaths3086]

3:45 "On va pouvoir remplacer f(x) par f(a)." Que se passe-t-il si f(x) = f(a) mais pas de manière constante sur un intervalle ouvert contenant a ? On ne peut alors pas remplacer f(x) par f(a) sans prendre quelque précaution, et là est toute la difficulté de cette démonstration.

[@pinkmaths]

Bonjour Vous avez raison. Néanmoins, cela permet de proposer une partie de démonstration plus accessible. C’est comme pour la dérivée de x à la puissance n: on démontre pour n entier naturel, relatif négatif et puis rationnel mais on ne démontre pas pour n réel. Donc je pense que pour le niveau de mes élèves, c’est déjà bien de faire ces deux parties. Mais vous avez raison. Cela ne démontre pas tous les cas. Merci beaucoup pour votre commentaire.

[@pausesmaths3086]

@@pinkmaths Nous sommes bien d'accord. Et effectivement votre démonstration suffit aux fonctions dont les élèves auront besoin pour les sciences du lycée. Je ferais la même chose que vous en m'adressant à un jeune public, en les croyant aussi suffisamment intelligents pour comprendre que la démonstration est limitée aux fonctions dont ils auront besoin et qui nous évitent bien des peines. Mais qu'avec des fonctions qui oscillent indéfiniment autour de f(a) , ça peut poser problème. Là est toujours le juste milieu à trouver entre rigueur et pédagogie. Face à un public plus mûr, je n'ai plus d'hésitation : je démontre d'abord l'équivalence entre dérivabilité et développement limité à l'ordre 1. Après cela, manier des développements limités dans cette démonstration est beaucoup plus rassurant. Quand les choses peuvent s'annuler, on préfère toujours multiplier plutôt que diviser. Merci pour votre réponse.

[@pausesmaths3086]

@@pinkmaths Concernant les puissances réelles, c'est dès la définition même de ces puissances que le problème de rigueur se pose. On ne peut définir a^n qu'avec exp(n ln(a)), pour n réel. Et ce n'est donc pas avant avoir défini l'exponentielle et prouvé la dérivabilité des fonctions composées, qu'on peut dériver a^n, (n réel).