[DET#26] Propriété de minimisation du projeté orthogonal (Démonstration)

[@psychonerd4922]

J'ai liké avant de voir la vidéo ♥️

[@oljenmaths]

Merci pour le soutien, ça fait toujours plaisir 😃 !

La démonstration est nickel et bien détaillée 👌 Toutefois, j'ai l'impression que des difficultés ont été negligées dans la formulation de la propriété. Je parle de "est *le* point de P *le plus proche* de M". En effet, on suppose que ce point existe et est unique. Géometriquement, cela paraît logique mais peut-être qu'à titre informatif au moins, on aurait pu dire de quelles propriétés découlaient ces faits. En l'occurence, l'existence provient du théorème des bornes (ou plutôt d'un corollaire du théorème des bornes). L'unicité est due à l'inégalité triangulaire, ou plutôt au cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans un espace préhilbertien, que l'on caracterise avec Cauchy-Schwarz ! Enfin voilà, c'est juste que je trouvais cela assez joli de démontrer l'existence est l'unicité de ce point, mais les connaissances requises sont vues après le bac, donc ça depassait fort probablement le cadre de la vidéo. Le peuple demande plus de vidéos de géometrie ! 😋😄

[@oljenmaths]

Effectivement, on peut toujours plus détailler. C'est un équilibre délicat à trouver. Des fois, trop expliquer peut faire perdre le fil de la démonstration. En l'occurrence, effectivement, pour des étudiants de terminale, on balance beaucoup de choses sous le tapis 🤫.

@@oljenmaths Effectivement, et c'est ce qu'on peut reprocher aussi aux lycées. Ça et les fameux barèmes imposant une seule et unique demonstration pour un exercice donné... Ce qui est contraire aux "lois des mathématiques" si je puis dire.

[@oljenmaths]

@ Je ne sais guère s'il faudrait, même dans l'idéal, parler de ce qui est sous le tapis. Je préfère apprendre à mes enfants à compter avant de leur introduire l'axiomatique de l'ensemble des entiers naturels, par exemple, tout comme ils apprennent à parler avant de connaître les règles de la grammaire. En tout cas, ça fait réfléchir 🤔.

@@oljenmaths Oui bien sûr. Mais on peut rendre la chose moins enigmatique en expliquant l'origine, la raison de telle ou telle étude qui, présentée telle quelle, peut paraître insensée. Je pense en fait à l'exemple des matrices qu'on introduit (parfois ?) en Terminale. On ne comprend pas l'interet de ces objets, qui sont representés comme des tableaux où on stocke des nombres 🤔 L'opération de multiplication de deux matrices n'a alors plus aucun sens mathématiques pour l'élève de Terminale. Je pense que, sans rentrer dans les details, il faudrait expliquer l'interet de ces objets, en l'occurence représenter des objets fondamentaux en mathématiques, qui sont en fait une certaine classe de fonctions (les applications linéaires) et que la multiplication de deux matrices est alors la composition de deux telles applications (il me semble que la composition de deux applications est une notion connue en Terminale, en tout cas je l'espere). Finalement, sans rentrer dans les details, il y a moyen de rendre les choses moins obscures, mais c'est pas toujours facile ou faisable effectivement.

@@oljenmaths ce que j'essaie de dire c'est que l'on comprend mieux souvent lorsque l'on connaît l'origine de l'etude ou l'interet de celle-ci. Tout comme en primaire, on apprend à compter mais on comprend aussi à quoi ça sert de compter 👍

[@laurentsemard8351]

J’adore

[@theeo1977]

Merci

[@altalatawa2677]

La meilleure méthode d'approximation (generalisable en n dimensions) s'appelle la méthode des moindres carrés. On voyait ca en sup si mes souvenirs de taupins sont bon. Sinon c'est super sympa ce que tu fais pour MP ;)

[@oljenmaths]

Effectivement, on peut interpréter la méthode des moindres carrés en termes de projections orthogonales, c'est assez rafraîchissant 😃. En parlant de moindres carrés, c'est d'ailleurs l'objet de l'émission [DET#34] à venir, pour l'une des démonstrations les plus musclées de la série !

[@altalatawa2677]

@@oljenmaths oh oh c'est au programme de terminale maintenant ? Pas mal, qu'ils aient intégrer de l'algèbre lineaire. Mais je vois mal comment ils ont pu faire ça car il faut qq notions comme le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt si mes souvenirs ne me trompent pas

[@oljenmaths]

La démonstration en question n'utilise pas les concepts d'algèbre bilinéaire, c'est justement la raison pour laquelle ça passe en force. Plutôt, on étudie une fonction de deux variables à la main, en fixant une variable et en faisant varier l'autre.

[@ulrichfofe1244]

Merci pour la vidéo. Cool le deuxième point où tu utilises la définition du produit scalaire et où tu appliques la propriété si une droite est orthogonale à un plan, elle est à toutes les autres droites de ce plan (pour une fois je vois une application pratique de cette propriété ). Est - elle un axiome ou peut elle être démontrée (ça paraît quand même évident quand on y pense. Ça me fait penser au théorème de Jordan. Il paraît lui aussi évident mais est un vrai casse-tête à démontrer )?

[@oljenmaths]

À mon sens, il s'agit là de la définition même donnée au lycée de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan: « Une droite (d) et un plan P sont orthogonaux si la droite (d) est orthogonale à toute droite du plan P ».

[@ulrichfofe1244]

@@oljenmaths merci pour la réponse !

[@minshawi_77]

Je prend sa pour mon sujet grand oral en maths

[@gloriatibidomine133]

Bjr, quel est votre problématique ?

[@lazm6047]

Bonjour, quelle est la différence entre orthogonal et perpendiculaire ?

[@oljenmaths]

Salutations ! 🔎 Perpendiculaires (étymologie latine). 🔹 Dans l'espace ou dans le plan, se dit de droites orthogonales et sécantes. 🔹 Par exemple, sur un terrain de foot, prends la barre transversale d'un but et l'un de ses poteaux. Les droites que tu imagines sont perpendiculaires. 🔎 Orthogonales (étymologie grecque). 🔹 Dans un espace euclidien, fait référence à un produit scalaire qui vaut 0. Sans connaître ces notions, on peut juste penser à un angle droit, mais le côté "sécant" n'est pas exigé. 🔹 Par exemple, sur un terrain de foot, prends la barre transversale d'un but et le poteau du but d'en face. Les droites que tu imagines sont orthogonales mais ne sont pas perpendiculaires, puisqu'elles ne sont pas sécantes.

[@lazm6047]

@@oljenmaths Ah ok, merci bien. Je pensais que l'orthogonalité était à la perpendiculaire ce que la colinéarité est à la parallèle 😊

[@oljenmaths]

C'est inexact mais ce n'est pas totalement faux non plus, dans un certain sens. En effet, on entend "perpendiculaire" et "parallèle" au lycée, pour de la géométrie dans le plan et dans l'espace, tandis qu'on entend "orthogonalité" et "colinéarité" dans le supérieur, dans l'étude des espaces vectoriels, euclidiens, préhilbertiens, etc.

[@fleurblanche3727]

pouvez-vous le généraliser à des espaces normés?

[@oljenmaths]

Je pense que ça correspond à ce que j'ai produit ici: [EM#20] Caractérisation des projections orthogonales - kzbin.info/www/bejne/hX2VlmWmjq6heac

[@smartcircles1988]

Tu donnes des cours ?

[@oljenmaths]

Des cours en classe, oui (classes préparatoires ECS), des cours particuliers, non (plus le temps !).

[@smartcircles1988]

@@oljenmaths mais tu es profs de Maths ?

[@hahaajzj8891]

@@smartcircles1988 Je sais pas s'il faut rire ou pleurer...

[@oljenmaths]

@@smartcircles1988 Pour le moment, oui, et depuis quelques années maintenant 🤖.

[@oljenmaths]

@@hahaajzj8891 Rire, c'est plus agréable 🙃.