ε-N論法（数列の収束）ー大学数学 エッセンス演習［基礎編］

[@MasakiKoga]

大学数学の演習シリーズです．毎回，基礎事項の確認→問題の解説という形でやっていきます．線形代数・微積から網羅していきたいと思っています．難易度に応じて［基礎編］［標準編］と分ける予定です．

[@内山幸二-w1v]

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[@はっちょり-q2x]

今日授業でε-N論法を習ったのですが全然授業についていけずとても焦っていました。しかしこがさんのこの動画を見て大方理解することができました。この式はこういうことを表していたのか、とわかった時には喜びと言ったら！！！！とても助かりました。本当にありがとうございます。

[@satoimojpn9112]

オンデマンドの講義だとなん回も一時停止したり巻き戻して理解に努めてるのに この人の授業はすっと頭に入ってきますね 本当に助かります

[@tasasaki]

連続とか極限とかいうある意味で曖昧な概念を、ある条件である数が存在するか否かという誤解のしようのない概念に引き写して論じられるという凄さを理解できるまでに数年かかりました。バカですみません。

[@namuchiZDK]

自分は20年前に数学科卒業したのですが、このコメントを読んで今理解しました。

[@aimy0306]

バカですね

[@xy8066]

納得

[@瀬戸口雛-j9l]

素晴らしい！ 大学の基礎解析において、ε−δ論法は最初の関門です。しかし、この関門で、論理記号の読み方や扱い方、そして、論理記号で定義された数学的概念をイメージする訓練をし、理解できれば、大学数学が楽しくると思います！

[@myfaviolet4599]

今春から大学生になりましたが、コロナのせいで授業が一か月先延ばしになったので、今のうちに予習しておこうと視聴しました。とても分かりやすかったです。これからもお世話になります。

[@myfaviolet4599]

@甲斐健二 暖かいお言葉ありがとうございます。 現在は大学で使う教科書や参考書だけでなく、KZbinやその他のサイト等も参考にしながら、線形代数や微積などの勉強を進めています。やればやるほど面白く、また分からないことにぶつかるのも面白く、本当に楽しいです。もう少しで学部一年でやる数学の内容も終わりそうで、今は複素関数論の勉強も始めました。 秋以降も基本的にはキャンパスに入れないままオンラインでの講義にはなるようですが、自分の興味の向いたことには徹底的に取り組めそうなので、頑張っていきたいと思います。

[@tatu9261]

ありがたかったです。放送大学で入門微分積分の講座を取ったのですが第1章のこの論法が理解できず進めませんでした。この動画で完全に理解できました。今後も期待しております。

[@omaehamadaikiteiru6530]

自分も全く同じ状況です笑

[@Beshio]

自分も全く同じですw

[@taquestionxi]

オンライン授業で教授がやる授業の超上位互換で笑う お世話になりますありがとうございます

[@aimy0306]

教授は教えるのが専門じゃないし分かりやすくしようともしてないこともある論破

[@taquestionxi]

@@aimy0306 合理的ですね

[@aimy0306]

@@taquestionxi その通り論破

[@arminAnnie_j]

@@aimy0306 教えるのが上手くて研究もしっかりされてる教授もいるから単に教えるスキルとかやる気の問題 別に下手でもいいけど正当化するのは違うっていつも思う

[@aimy0306]

@@arminAnnie_j 思うだけ乙

[@ああ-o9u3l]

いろんなεー N論法の話聞いたけどこれが1番わかりやすい

[@x7crea]

なんというか、平面的理解が立体になりました！きもちいい数学……

[@ディアのぶお]

本当にわかりやすくて助かる 神授業

[@うぇいうぇい-k4j]

編入学試験の範囲でこの範囲でつまずき見させていただきました。 とてもわかりやすく一度見るだけで深く理解できました。

[@KH-rs8rb]

やっとε/2の謎が解けたｗ わかりやすい動画ありがとうございます！

[@abc-eg5zl]

定義に赤線を足したあたりが驚くほど分かりやすいです。 ありがとうございます。

[@つばき-w7d]

入学する前に予習しておこうと思ってきました 神

[@松本守0428]

めちゃくちゃわかりやすい！ ちゃんと三角不等式も使う例題でいいと思います。 自分は今、集合2や代数学1をしているので、その解説とかもしていただけると嬉しいです。

[@楽しむ工学徒]

自分の中で理解できても、ここまで人に分かりやすく説明するのって難しいしめんどくさいから本当にすごい

[@resa3774]

難しい話を簡単な言葉に置き換えて行う説明はとても分かりやすかったです。ありがとうございました。

[@Eric-uw2ze]

落単直前じゃなくて最初から見てたらよかった

[@ぴーまん吾郎]

オンライン授業を始めた信大生です。 これはヤバイですね 第1回の授業見忘れてて課題の期限ギリギリにアーカイブを見て全くわからなかったので来ました。 解釈の仕方がとても分かりやすかったです！ 今から鬼早で課題やってきます！

[@おちゃ-v9d]

高一でこれ見れたのは嬉しいな！ 人間の曖昧な感覚を厳密に表現するのは全く美しいです！

[@johnnyjohnny50196]

他のε-N論法の動画も見たいです！

[@user-gq2iy9wn2r]

式を翻訳したりイメージ化したり、まさに求めていました！わかりやすすぎて笑いました！感謝します！

[@shigena99]

いつもわかりやすい動画をありがとうございます。 αが正数とは限らない（負数としても良い）のでMも正数とは限りません。なのでM/nには絶対値の｜｜をつけた方がいいのではないでしょうか。

[@kyotou2506]

途中思わずε-δ（イプシロン・デルタ）って言うてしもた感

[@ぴーまん吾郎]

Kyoto U あえて消さないという

[@exponent81222000]

ε-N論法の板書は合っているのですが, その説明が不十分に思います. 例えば, n が偶数のとき a_n = 1/n, n が奇数のとき a_n = 1 と数列 a_n を定めると, 0 にいくらでも近づく n は無限個存在しますが, a_n 自体は 0 には収束しません. 「ある番号 N から先のすべての番号 n に対して」の部分の説明が必要だと思います.

[@物語京大受験]

モチベーションが上がる〜

[@のぶくん-c6r]

いやいやいや、毎回神動画ですやん。僕の頭の中のぼんやりしたイメージを言語化されていて感動しました。いつも楽しく学ばせていただいてます。これからも神動画見させていただきます^^

[@reile5134]

証明がきれいすぎる

[@いろはす-o9s]

とてもわかりやすかったです。 本当にありがとうございます！

[@vegetaed3422]

えw分かりやすすぎます！wwめっちゃ困ってたので助かりました！

[@くんまー-o5r]

これは感謝を述べきれない

[@s.g6623]

めちゃくちゃわかりやすかったです！ ありがとうございます！

[@ray-eb8wj]

何回も見て理解します

[@むつみ-g5w]

すごくわかりやすくて助かりました。

[@島袋認]

ありがとうございます すごく分かり易かったです

[@noname-hg8ke]

わかりやすいです

[@4kiduki]

分かり易いです。 ありがとうございます。

[@豆乳ブロッコリー]

aN-1とaNの間で区切ったのってaNとaN+1の間で区切るのじゃだめなのですか？n-N+1/nが1以下というのが納得できないです。

[@ひげにゃんこ]

5:41まで、あれ？この人なんか怒ってる？😯ってなったけどそれ以降はぐいぐいと引き込まれた。わかりやすかったです。

[@kh726]

教科書読んでもさっぱりわかんなかったけどやっと理解できた。 わかりやすすぎ

[@くるみ-r7d]

突然美しいthの発音が現れてびっくりした。 それはそうと、素晴らしい動画ですね。

[@kjn2142]

ε-N論法がわからない人は1回教科書見て5〜6回自分で説明しようとしたら感覚的にも掴めるようになると思う

[@某自称進]

わかりやすすぎる

[@fc2live711]

とても分かりやすいです。ありがとうございます。 ※この内容は僕の一時的メモ書きでKZbinにまとめ録画したら消しますので無視してください。すいません。 三角不等式について 「三角不等式」を僕は単に「距離(の)不等式」と名付けている。「絶対値は距離のこと」なので。 三角不等式って何なのか？それは単なる距離の足し算の法則。 でも、次の2つの距離の求め方が合わさって(まとめて、一般化されて)≧大なりイコールとなっています。 ①αとβが同方向をむいているとき(数直線上＝小学校の足し算） ②αとβが違う方向を向ているとき（例：αを数直線上にとってαから４５度くらいにとったときなど） α＝１ｍ、β＝２ｍとします。 ①問題なく同じ方向に１ｍと２ｍ進むと距離（絶対値）は小学校の足し算で１＋２は単に「＝」３となります。|α|＋|β|＝|α＋β|　数直線上に図を描いてα、βを区切って線を引いてそれぞれ足しても、一気に点α＋βに線を引いても長さは同じでしょう。 ②しかし、違う方向を向いる2本の距離（長さ）は果たして足せるのか？というところに本意があると思いってます。違う方向を向いた2つの線は１＋２＝３とはならず、理科の力の合成や高校数学のベクトルで習うように、三角形（平行四辺形）的なものを書いて三角関数や三平方の定理などを駆使して合力として求めて計算できて、図を書くとα（１ｍ）＋β（２ｍ）なのに違う方向を向いている２直線ですから、|α|＋|β|は、点（α＋β）まで直に引いた線より長くなることが分かるでしょう。|α|＋|β|>|α＋β|となることは明らかでしょう。 ➡②で図を書くとき三角形が登場するから「三角不等式」と名づいて三角形成立条件(成立しない条件)などに利用される。「平行四辺形不等式」と名付けてもわかりにくいが問題なさそうｗ 以上解説終わり。

[@気軽に学ぶ数学キガマナ]

現在高2ですが、暇な時に見てたら数学の知識がどんどん付きそうです！いい授業ですね(自分の学校の先生はもっと酷い)

[@DDKKL-t6i]

すばらしくわかりやすいです！

[@jajamaaal]

解析概論にも出てきたオーソドックスな問題っすね

[@kiyu8039]

a(n)がαに収束するというとa(n)はαと一致すると考えるのでしょうか。 この疑問が生じた原因として0.9999999...（無限小数）=1となるという命題があります。 微分の定義などでは完全にhが完全に0にはならないという前提で分母分子を割っているの思うので完全に一致はしないと思いますし、ε-N論法からも一致はしないと私は考えています。 教えていただけると助かります。

[@tl795]

n-N+1/n < 1 はなんで？

[@曲がって左]

M/nが0に収束するのは1/nが0に収束するからって解釈で良いですか？

[@yama0213]

εやNを用いるのは∞やlim[n→＋０]ｎなどの曖昧な数に対して基準を設けるためという解釈でよろしいのでしょうか？

[@チーズ牛丼並盛-c8u]

ガチでムズい。けどわかりやすいです。

[@st-bq5yz]

ビビるくらいわかりやすい

[@takahorumon1736]

チェザロ極限❗️と言うかε-δ理解したくて色んな本を調べました。よくできた定義でその時の学習は後々本当に役に立ったことを覚えています。20年前の話です。若い頃を思い出して思わず最後まで見てしまいました。ありがとうございます。

[@あざまるこ]

20:28 右上のn-N+1/nはなぜ1未満になるのでしょうか

[@MURAKAMI1958]

後半での数列の切断みたいな計算式の説明（どういった数列の表現なのか）がもっとあると嬉しいでした。でも２εの説明はなるほど！グッドでしたまたよろしくお願いします。 ちなみにεデルタ論法の本をいくら読んでもわかりませんでした。絶対値の数直線上の意味も表現できなく，デルタを出す計算もおぼつかずでした。ちなみにεデルタを理解するために」 「はじめのεデルタ」「εデルタの完全攻略」「εデルタ論法とその形成」「イメージでつかむ εデルタと位相空間論」「εデルタ論法と論理学」など読みだしては，数十ページでお手上げでした。 田島一郎さん「解析学入門」や最近でた「微積分学の試練」を読んでみようと思いますが，どんな本がいいのでしょう。聞くところによるとεデルタは結果ありきなんですよ，ということで，極限計算が十分にできるようになることそこで裏で計算したデルタかεか知らないけど それが出せることが先決だと聞いたことがあります。そんなじぶんですがご助言ください。

[@t.k.5920]

分かりやすい！

[@oops6413]

はじめのうちはε’を使って最後にεとっておけば解決(?)

[@ljdurden8957]

感謝しか言えませんTT

[@ohuto220]

なんで(n-N +1)/n＜1必ず言えるんですか。 N=1の場合は考えないのですか。

[@ビスチェ]

N=1だと数列のすべての要素が任意のεに対して|a_n-α|

[@derived1613]

確かにその部分間違ってますね。 Nとして1がとれるとき、Nを2や3に変えても良いです。つまり、「n≧1ならば|a_n-α|

[@なると-w6x]

ビスチェ 1 1 1 1…っていう数列ならN=1でも |a_n-a|

[@kamui7741]

古いコメントなのでもう理解されているかもしれませんが、この質問多いので。 全てのNに対して成り立つとはどこでも言ってませんよね。仮定であるαへの収束に際して現れるあるNの事だからです。

[@ムラカミラファエル]

文系ですけど見てしまいました

[@senakoga7850]

ありがたやありがたや

[@おもむろ-c7p]

物理学科なのにやらないんだよなあ(東邦大学)

[@チーズ牛丼並盛-c8u]

俺なんて経済学部やのに理解させられるねんぞ

[@tomoyasua]

A s.t. Bのs.t.がsuch thatならば Bを満たすような(となるような)Aと訳すけど A s.t. Bのs.t.がsubject toなら どう訳せばいいのですか？

[@おもむろ-c7p]

存在記号∃がつく時にs.t.が使えるらしいです

[@すとろひろ]

大学生のときに訳もわからず、εN論法の暗唱させられて、問題の解答を丸暗記して、解析学の試験で合格点とれた！って喜んでたのを思い出す！もっとしっかり勉強に向かい合うべきだったOrz

[@takada5genki532]

Mのところの評価で成り立つとしてεδ用いていますが、正確にはそこも証明しなきゃいけないのではないですか？ そこだけlimitM/n＝0だからと言ってしまうのは証明しようとしているものを高校までの感覚による極限の求め方をしているのと同じではないですか？ εδを用いるなら、入門編だとするならば全て厳密に証明すべきだと思います。 間違っていたらすみません。 それからキャピタルnについてですが等号が無いのが一般的なεδ論法だと思うのですが、等号ある無しで何か変わるのですか？はたまた変わらないのでしょうか？ また、M/nは何故正と言えるのでしょうか？mが正かどうか分からないのですが。

[@siolagetsirave2311]

takada 5 genki ・21:30からlim[n→∞]M/n=0をε-N論法で証明しています。 ・n≧Nとするかどうかの違いですが、冒頭で古賀さんがおっしゃられている通り、「εという的に入れるためにはどれだけnを大きくとるか」ということが論点なので、等号が成立しようがしまいが関係ないはずです。 ・また、絶対値全体をMと置いているので当然Mは正です。

[@Landuo1]

Siolag Etsirave 21:30からの内容はlim[n→∞]M/n=0をε-N論法を使って言い換えただけで、それを証明した訳ではないのでは？

[@takada5genki532]

@@siolagetsirave2311 証明してないですよね。 limM/m＝0より　以下εn論法 なので成り立つ前提で書き換えただけですよね。 εとnの関係式もないのでこれが評価ならどんな式でも成り立っちゃいますw 久しぶりに見たらコメントあったんで4年越しに返してますw

[@leadingout]

般若心経を覚えるレベルで定義を20回くらい書いてさすがに暗記したけど、Nの説明がどうにも本によってはいきなり説明もなく出てきて。。。ん～。

[@私はキャットです]

任意のn∈Nの記述はいらないんですか？

[@absant2913]

2εとεが同じ区間で一対一対応する、増減の様子も同じな数だから区間の端への極限では同じ価値だということですよね。 ここに納得行かない時にεとε/2が等価というのを納得できるとは思えないのですが如何でしょうか？ ですから「任意だから・・・」の部分は噛み砕く余地あると思います。

[@absant2913]

ごめんなさい、↑での主張に増減の様子って関係あるかどうか自信ないです

[@MasakiKoga]

任意のεに対して，あるNが存在して n>=Nならば|a_n-α|=N'ならば|a_n-α|

[@absant2913]

ありがとうございます。最初のコメントでは、εの役割の数が正の数全体を定義域とすること（と0付近の様子が似かよること）を、無駄に厳しい条件で表現してしまったようです。 ・・・どこまでも小さくできる的なら、形や個数、いつ小さくなるか等は関係ないって事ですね

[@kamui7741]

εN論法に文句は勿論ありません。 ただ、これは収束先が分っいるからこそεで評価ができる訳ですね。 振り返って『数列の極限を求めよ』と言う問題の場合は直接この論法は使えませんよね。 どうしよう😱💧 、、と言うか、これらはどう整合をつけて理解するのだろうか😄

[@胡蝶蘭-q5y]

自分の場合、定義の数学的内容より全称記号∀と存在記号∃の組み合わさった命題そのものに戸惑ったなぁ ∀x∃n...と∃x∀n...と∀x∀n...と∃x∃nの違いや∀ε∃δ∀x...のように全称・存在記号を3つ以上含んだ命題をどう解釈するとか全然分からんかった 逆にこの部分クリアしたらε-Nもε-δもすんなり入ってきた

[@Why7ss]

ガチで授業わからんかったから助かった （早稲田文系）

[@チーズ牛丼並盛-c8u]

数学出来ない奴しかいない早稲田大学じゃないっすか^^ 全員理解出来てなさそー

[@xy8066]

でこぽん 学歴コンプは少し黙れ

[@ポテトヘッド-p8s]

文系でも解析学するんですね。初めて知った

[@北村明-o4o]

＜　十二山神実験の結果　＞ 量子論・南部理論　　　　⇒　　　左右１/2 最新　北村理論　　　　　⇒　　　状態Ωの物理学的極限に収束する ：状態Ω　とは　水平に乗る　状態の事。 （２１０３０４）

[@北村明-o4o]

εーN論法　では　水平に乗る　。 lim は　２枚舌　？

[@リアルでもボッチ]

開始１０分でチャンネル登録　XD

[@notificationsoff8600]

ふーん、ふーん・・・へえ！！ ってなったぜ むずいよ・・・

[@雑用係放送機]

limM分のn＝0の証明はいらないのですか？

[@さまやま-w4s]

これ、同じこと思いました

[@otiaiaito4407]

うちの大学の最初の数学の講義がΕＮ論法とε-δ論法やった。鬼畜やん。

[@hede8359]

otiai aito 割とそんなもんじゃないですか？僕もそうです

[@ともなり-t8f]

AはAnyの略字じゃないですか？

[@つきのゆりかご]

wikiにのってますけど、 どちらでもいいらしいですよ

[@nmika7700]

anyでもallでも意味は一緒になるからどちらでもいいと思います。どのεをとっても(any)、すべてのεに対して(all)、どちらも意味は同じですよね？ アメリカの大学ですけど、any って言う人もallって言う人もいますね。

[@冠年紀]

厲害

[@nasu_no_suage]

微分積分の講義の期末テストの日に先生が他の内容はともかくε-N論法(及びε-δ論法)を理解してない解答出す人には単位はあげないとはっきり宣言してたのを思い出す

[@kamui7741]

その先生好き💓

[@nyuukarontetuwan7580]

キャピタルって何？

[@kamui7741]

大文字⁉️

[@躄蟹座右衞門]

おお

[@アルごりらk]

高橋一生に似てる

[@nyuukarontetuwan7580]

よくわかりません。

[@海易者]

ここに 重力波が来ると 三角形が歪む なぜなら 時空が歪むから この論法の前提は 『 重力波から独立した空間 』での議論 これが 非ユークリッド幾何学だと ドウなるのかな？ (-_-;)

[@kingdomhearts371]

喋り方が竹ちゃん

[@miper314]

もうちょっとホワイトボード綺麗に丁寧に大きく書いて頂けると 見ずらいです。

[@miper314]

あと|α|+|β|は緑の線上に書かないと説明にならないのではないでしょうか？

[@龍-u5q]

めちゃわかりやすい！