Неравенство про среднее арифметическое и среднее геометрическое

[@ГорячийМексиканец-ъ7ш]

обожаю ваши спокойные шутки, хотя и не очень-то и шутки, но расслабляет

[@АлександрБыков-э5р]

Пишу комментарий в поддержку канала. Информация, которая есть здесь, это лучшее, что Ютуб может предложить человеку, который хочет глубоко понять математику. Именно так нужно учить математике. Не устаю любоваться этой красоте рассуждений. Спасибо!

[@elemath]

Спасибо и Вам за поддержку!🙏🏻

[@josefk.7338]

безумно хорошие видео, учиться по ним - одно удовольствие

[@elemath]

Josef K. 🙏🏻

[@ДмитрийГитман]

Очень качественные и хорошие видео, спасибо Вам

[@elemath]

Рад, что Вам понравилось!

[@melatonin_5]

у Вас самые лучшие и понятные видео по всем темам!

[@elemath]

🙏🏻

[@aristotle1337]

хорошее видео, обычно забываю комментарии оставлять, но смотрю много!

[@elemath]

Спасибо за поддержку!)

[@ggggg4267]

Канал не хуже чем у Трушина, желаю Вам миллион подписчиков!

[@elemath]

))🙏🏻

[@АндрейБайдосов]

Здавствуйте. Только нашел Ваш канал, мне очень понравился. Не могу найти ответ на вопрос: в EXCEL есть функция ОСТАТ, это дробная часть от деления одного числа на другое. Мне непонятно почему знак остатка всегда такой же как у делителя, и какой физический смысл этой функции?

[@elemath]

Здравствуйте! Посмотрите график функции [х] - целая часть х (наибольшее целое, не превосходящее х). [-0,8]=-1, [0,8]=0. В excel это функция ЦЕЛОЕ(). Из определения деления с остатком получаем: ОСТАТ=делимое-делитель*ЦЕЛОЕ(делимое/делитель). Можно тут и в общем виде ответить (доказать) на Ваш вопрос, умножив на делитель: ОСТАТ*делитель=делимое*делитель-делитель²*ЦЕЛОЕ(делимое/делитель)>=0 (что и означает ОСТАТ и делитель - одного знака), т.к. по определению целая часть не больше самого числа или ЦЕЛОЕ(делимое/делитель)

[@артемкартезиус]

Игорь здравствуйте. А подскажите пожалуйста такой вопрс : вот тут по роликам из ютуба нашел как раз применение неравенства о средних. Надо было понять какое минимальное значение может принимать выражение : 12+3/2x+24/x. Ну так вроде как все ясно, с использованием неравенства, я даже подставлял разные значения, и при x>0, действительно 24 это min. Сумму сравнивают с удвоенным корнем из ab. Я только вот не пойму, а откуда понять, что среднее геометрическое, это то минимальное число для этого выражения, с которым надо сравнивать?

[@elemath]

если правильно понимаю Ваш вопрос.... Если некоторое выражение, например, х²>=-2 и х²>=0, то именно 0 будем минимумом, потому как это значение достигается (при х=0), а -2 не достигается ни при каких х. Так и здесь. 0 - минимум для (√a-√b)² или (√а-√b)²>=0 или a+b>=2√(ab).

[@артемкартезиус]

Ну, по-моему понял. Тут основное выражение( я имею ввиду то которое устанавливает однозначно отношение между левой и правой частью неравенства) это (sqrt(a)-sqrt(b))²>=0, a то, что при его преобразовании получается неравенство между средними величинами это случайность. В итоге, это все работает так: вот например я что то точно установил, 2a+2b+c>4 (в натуральных числах,≠0), тогда 3x+4y>4-z , a=3x, b=4y, c=z. Примерчик не очень, ну мне понять, правильно ли я понял.

[@elemath]

скорее не случайность, а интерпретация. Вообще можно было при доказательстве уйти от алгебры, нарисовав на отрезке как на диаметре полуокружность. И если взять любую точку отрезка, то левая его часть пусть а, правая b. А длина перпендикуляра от этой точки до пересечения с полуокружностью будет √(ab). Ясно, что эта длина не больше радиуса =(a+b)/2. А в неравенствах можно использовать функцию для интерпретации. Если f(x)>=A для всех х из области определения и там найдется х, что f(x)=A, то А - минимум f(x). А если такого х не найдется, то минимума может и не быть. Например, f(x)=1/x при х>1 не имеет минимума, хотя можно сказать f(x)>=0 (из неравенства А>0 следует А>=0).

[@артемкартезиус]

Да, с рисунком вообще все ясно и понятно. Когда нашелся х при котором f(x) не опускается ниже конкретного А(являющегося min) то же ,вроде понятно... но вот когда мы преобразовывали разность корней в квадрате, которая была >=0, нам это дало инструмент для оценки min.для выражения , а вот тот факт что 1/x>=0, при всех х>0, вообще нам никак не помогает в этом деле, при всех х из обл. опр. это верно. Это наверно единичные такие взаимосвязи между величинами, из которых может получиться что то полезное?

[@артемкартезиус]

Благодарю. Когда есть возможность узнать то, что не понимаешь, и узнаешь это, приходит... ну если не наслождение, то чувство спокойствия, завершения мук.

[@weightlifter9788]

Откуда берутся выражения, используемые для доказательств? Например, (√a - √b)^2 >= 0 Почему именно оно? Понятно, что при возведении в квадрат и последующих преобразованиях получается наша формула. Но как додуматься взять именно такой квадрат для доказательства?

[@elemath]

Эта формула легко получается из геометрии. На канале это было, но не помню где именно. Где-то в геометрии. Но раз зашла речь, то можно (а+b)/2>=√ab преобразовать и получить а-2√ab+b>=0 или (√а-√b)^2>=0, что примененное "в обратную сторону" и дает доказательство)

[@анатолийандреев-з3щ]

Правильно ли я понял, что корень из (-а)(-в) равен корню из ав из-за того что произведение двух отрицательных чисел всегда положительно?

[@elemath]

произведение (-а)*(-b) всегда равно a*b. и здесь нельзя сказать какого знака, например, (-а). Если а=-3, то (-а) положительно (равно 3). А если а=8, то (-а) отрицательно и равно -8. Информация о знаке числа «а» уже сидит в самом числе «а», а число «-а» - это число ему противоположное (как раз по знаку).

[@анатолийандреев-з3щ]

@@elemath А как тогда быть с корнем из отрицательного числа?

[@elemath]

анатолий андреев а зачем с ним быть? мы живем в действительных числах (если это не оговорено особо), а там корня четной степени из отрицательного числа не существует. Ну а корень нечетной степени вопросов вроде не вызывает.

[@ggggg4267]

Неравенство Коши, если не ошибаюсь?

[@elemath]

его частный случай

[@ДмитрийСеров-щ8э]

А потом вас научили их красить