Limite Notável | lim(1+x/n)^n=e^x

[@Ricardo-Ferreira]

Embora o resultado esteja correto, a resolução dos dois últimos limites não está muito correta. Os 1/n estão dentro de uma potência (...)^n, por isso não podemos substituir o 1/n por 0. Isto porque estaríamos a colocar o limite dentro da potência (...)^n - o que não podemos fazer (senão, pela mesma lógica, o nosso limite notável (1+1/n)^n seria 1 e não o número de neper). Assim, mesmo nas últimas duas resoluções temos de usar o limite notável.

[@Explicamat-1]

Boas Ricardo, obrigado pelo comentário. A diferença é que colocando o limite dentro da potência em (1 + 1/n)^n gera indeterminação 1^+inf (não podes afirmar que é 1) o que não acontece nos outros casos! Como não gera uma indeterminação não há razão para não o fazer. Nos dois últimos casos apenas substituí a variável n por +inf e verifiquei que não deu indeterminação

[@Ricardo-Ferreira]

​@@Explicamat-1 ​Desde já, um bom ano novo e obrigado pela resposta detalhada! Já percebo melhor o seu ponto de vista. Entendo porque 1^+inf é uma indeterminação (porque conhecemos o contraexemplo (1+1/n)^n). Mas agora, o que é que nos permite afirmar imediatamente que (u_n)^+inf não é também indeterminação nos outros casos, ou seja, quando o limite da sucessão u_n é diferente de 1? É claro que não podemos argumentar com base nos gráficos (senão, pela mesma lógica, o gráfico f(x)=1 nos daria que 1^+inf não é indeterminação). Então, porque é que podemos dizer de imediato que os outros casos não são indeterminação?

[@Explicamat-1]

@@Ricardo-Ferreira Boas Ricardo, obrigado e igualmente, um óptimo 2021 também para ti! Eu vou argumentar apenas de forma intuitiva, sem demonstrações teóricas. Quando lim u(n) = 1 temos indeterminação em lim u(n)^n porque no caso de u(n)->1- terias um número inferior a 1 com expoente muito elevado (+inf) e isso tenderia para 0, por outro lado, se u(n)->1+ já terias um número superior a 1 com expoente muito elevado (+inf) que tenderia para +inf, daí a indeterminação. Caso lim u(n) > 1, por exemplo, imagina que lim u(n) = 2 então, quer seja 2+ ou 2-, tens sempre um valor superior a 1 elevado a +inf, o que dá sempre +inf Caso 0 < lim u(n) < 1, por exemplo, imagina lim u(n) = 1/2 então, quer seja (1/2)+ ou (1/2)- tens sempre um número entre 0 e 1 elevado a +inf, o que dá sempre 0. Como disse, apresentei apenas um argumento intuitivo para que possas diferenciar as situações, na prática o que precisas saber é que a^(+inf)=+inf caso a>1 e a^(+inf)=0 caso 0

[@Ricardo-Ferreira]

@@Explicamat-1 Agradeço a excelente explicação, Professor! Sendo assim, em teste ou exame, podemos simplesmente dizer que a^(+inf)=+inf caso a>1 e a^(+inf)=0 caso 0

[@Explicamat-1]

@@Ricardo-Ferreira sim sim, sem problema, em ambiente de prova só tens de saber isso, não é necessária qualquer outra explicação. Abraço

[@auricia201]

10:18 A partir daqui não podíamos resolver como se x=-1/2 e x=1/2, respetivamente no limite do numerador e do denominador? Parece-me mais simples, poupavam-se os quatro passos seguintes. Não sei se me está a escapar alguma coisa?

[@Explicamat-1]

Olá Auricia, obrigado pela sugestão! Sim podia ser assim, sem problema, não me lembrei na altura de fazer assim mas é um método que até costumo utilizar. demais

[@auricia201]

@@Explicamat-1 Ok, obrigada pela confirmação! 👍🏻 Votos de continuação de um bom trabalho! 😊

[@albertotransportes4243]

Onde posso ter acesso aos restantes videos dos limites notáveis?

[@gustavoandrade8256]

Excelente!