福島県立医大 漸化式

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#漸化式　#オイラー　#鈴木貫太郎

[@kantaro1966]

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[@しがないてっちゃん]

現役で名古屋大学工学部に落ちた者です。正直想定外で3日ぐらい死んでたんですが、ちょっとずつ整理がついてきました。来年は京大工学部受けるつもりです。毎日貫太郎さんの動画見て頑張りたいと思います。

[@user-nl8xk9ft8u]

自分の分身の首を絞めるてっちゃん お互い頑張りましょ

[@数学太郎-w8e]

ファイト！ここでした問題は他の大学でもちらほら見ることあります！自分の人生輝かせよう！

[@taitoshiga8487]

そういえば京大工学部現役合格出来ました！毎日貫太郎さんの動画を見続けたのも当然糧になりました、、ありがとうございます(^^)

[@kantaro1966]

おめでとうございます㊗️🎉

[@おいおい-x2s]

そういえばは草 おめでとう！！

[@user-tfwrhhbdhhf]

おでん すげー

[@ずんだもん高校化学]

Sn・Sn+1をみたら和差の形にしたくなるわな。対数は便利だなぁ。

[@小林-m6r]

a(n)={ 7(-3)^n-1 + 17×3^n-1 }／12 になりました。 動画のように和の積をずらして割る→もう一個ずらしてやる→得られた2式を引く→0=a(n+2)-9a(n)→三項間漸化式(α=3、β=-3)

[@takaakikawano1177]

おはようございます。 答案を作る際に注意しなければならない点が多く、見かけ以上に大掛かりな問題かなと思います。 ちなみに厳密には、後半の解法ではn=2k-1のときの一般項を求める際は、k=1は別に議論しないといけないですね（S_(2k-2)はk=1では定義されないですから）。

[@PC三太郎]

形式的にでも S_0=0 であれば（第1項から第0項までの和は定義するなら通常0と定義するため）それでもよかったのですが、実際そうではないため、別議論を要しますね。

[@nalu191]

京大工学部現役落ちしました。貫太郎さんの動画よく見てたのに数学できなかったので悔しいです。これから1年は毎日見て、来年のこの時期に貫太郎さんにDM送れるように努力します

[@kantaro1966]

残念でした。1年間頑張ってください。

[@mtmath1123]

場合わけが多少面倒かもしれませんが筋は割と典型かもしれませんね。 他にも与式が積についての一階線型であることを見抜けば、特殊解として3^(n-1/2)をみつけてきて両辺割れば T[n]・T[n+1]=1のようになってあとは-1の冪乗になる、という手もありますね(本質的には一つ目の解と全く同じですけれども)

[@ShogoKoike]

貫太郎さんの漸化式解説見すぎて高一だけど解けたお。

[@アトム君-e5h]

掛け算、累乗だけの形なら対数をとる！ 忘れてました😅

[@とまとまと-k6r]

俺後者でやったけどさぁ、これnが奇数の時の答えがa1に当てはまらないの不安になるからやめてくれいw

[@izawa2921]

与式はシンプルですが、一般項とその道程は泥臭いというタフな問題でした。 この問題を解かれた学生は、順当なら6年生へ進級する間際で医師国家試験を約1年後に控えた頃に あの日を迎えられたと思慮いたします。当大学のHPの記録集を拝見しましたが、 第1章のタイトルに"戦場"と付けられていて、決して誇張された表現ではないと改めて驚嘆した次第です。 医療従事者への敬意を再度確認すると共に、今後のさらなるご活躍を切に願います。

[@kaoruh5658]

Snもしくはanの一般項をnが偶数の場合、奇数の場合に求めることができたら、 E(n)=(1+(-1)^n)/2 O(n)=(1-(-1)^n)/2 という関数をかけて足してやれば、偶奇の場合分けが無い1つの式で表せますね。（E(n)はnが偶数の時に1、奇数の時に0になる関数、O(n)はその逆) ただしこの問題では、n=1の時だけは成り立たないので、そこだけ分けないといけませんが…。 One(n)という関数（nが1の時に1、2以上の自然数で0となる）を適当に作って、それで補正をかければ、nが1の場合も含めて一つの式で表せますが、そこまでやるとやりすぎかなぁ…(^_^;ゞ

[@kaoruh5658]

上のやり方を少していねいに書けば、 nが奇数の時には　Sn=2･3^(n-1)、 偶数のときには　Sn=(1/2)･3^n　なので、 Sn = 2･3^(n-1)･O(n) + (1/2)･3^n･E(n)　(nは1以上)で、 　= (7･3^(n-1) + (-3)^(n-1)) / 4　(nは1以上)。 an = Sn - S(n-1)　(n>1)なので、n>1のときの一般項anは、 an = (7/2)･3^(n-2) - (-3)^(n-2) 蛇足ですが、上記E(n), O(n)みたいな関数は異なる規則が周期Lで繰り返す場合にも簡単に拡張できるので、いろいろ役に立つと思います。 また上記One(n)を簡単な式で表せないかと思ったのですが、うまいやり方が思いつきませんでした。 教えていただければ幸いです。

[@八木健之-f6u]

9*n=9*(n/2)×9*(n+1/2)×1/3と書けるので、Sn/9*(n/2)=1/2,2/3(nが偶数、nが奇数)となります。あとはSn-Sn-1=anですので、奇数と偶数に気を付ければ出来ます。 　私は対数はとりませんでした。

[@目指せ名大]

風呂上がりに毎日見させてもらってます^^ 1年間毎日見続けて力にするぞ💪

[@14231aa]

第２式の両辺を 3^(2n+1) で割ってやり、Sn/(3^n) を求めて導出するやり方もあるでしょうが、この時点ですでに偶奇の場合分けが発生するので面倒と言えば面倒。

[@鈴木浩太郎-d7h]

snまでは、出せたもののanの評価がよくわかりませんでした。でも、色々解説見て納得しました

[@Mr-oe6hd]

漸化式で場合分けとか出題者ふざけんな

[@ヨシオガ-k3k]

対数で同じような感じで解いたら答えが汚くなってたんですが偶奇の場合わけがあったんですね！ 勉強になりました

[@mathseeker2718]

連続積が9の累乗になることを、nを偶奇の場合分けして解きました。時間かかりましたが、出来ました。

[@kingofm2010]

(-1)^kとか一個飛びの数列を見ますと確かに偶奇に場合分けしたくなるのも頷けますが、この問題に限っては最後にa(n)を整理するところが煩雑になり計算ミスも誘発しやすいかと思いましたので、私は分けずにそのまま計算しました。尚、私は対数じゃなくて後者の分数を構成する方のやり方でやりました。

[@miakappa5537]

実際に数字を入れて実験してみれば，Snは簡単に予想できます．これを数学的帰納法とかで証明するのが一番発想力が必要ない方法かな．数学的帰納法を使うときは工夫が入りそうですが．．

[@村っち]

これは、難しい問題ですよ。でも、発想を大切にしたいです。

[@いじめとの戦い将棋毎日1900]

自分で解かなくても解いている気分になる

[@渡邊弘夢]

対数とる時は真数条件を考えよう！

[@おしゃべりバードもこみち]

春休みなので最近は朝からゆっくりと見れます！貫太郎さんの解法、めちゃくちゃ好きです！勉強になりました！

[@aj81_81]

対数をとるという基本的なことを忘れていました。なぜか模範回答の解法が思いつきました。

[@kazusaka4063]

Sn+2=9SnだからSn+1=3Snになるはず!　という落とし穴から出られずジ・エンド

[@いと-m5w]

隣り合うn項の積や相乗平均(和や相加平均)が与えられていると、n-1個おきの項の比(差)が分かるというわけですね。

[@prince_ITOIGAWA]

途中で間違えましたが模範解答のほうでやりました。S₁=2 なので log₂3 か log₃2 が必ず出てくる。恐ろしかったので。

[@のこのこ-j7s]

答え書くときにn＝1のときa1＝2も場合分けしないと減点では？

[@江戸川こなん-g2y]

ここでも偶奇での場合分けで頭を抱えることになるとは。あまりみないタイプの数列だったので、サムネが間違いなのではと疑ってしまいました。

[@増田元希]

隣接三項間は使えませんか？

[@user-dr8iy9bz2c]

S［n+2］=9S［n］ ⇔S［n+2］-3S［n+1］=-3（S［n+1］-3S［n］） って僕も変形しました…計算ミスしたのか解けなかったですけど…

[@lazy6047]

Focus Goldで見たことある!

[@へその緒食べたい]

解答の最後 Ｎが偶数の時a1=2 an=〜 nが奇数の時 a1=2 an=〜 て書けばいいですか？

[@ちゃも-i4z]

貫太郎さんではありせんが返信させていただきます。 nが偶数のときのa_1=2は不要かも知れません。1は偶数ではないので。 他には a_n = {2　　　　　　 (n=1のとき) {(5・3^(n-2))/2 (n:偶数のとき) {3^n/2　　　　 (n:3以上の奇数のとき) のように書くのもありだと思います(「{」は大きく1つにまとめて書きます)。 解答の書き方は合っていれば自由なので、間違ったことを書いていなければ綺麗な形になっていなくてもちゃんと点数は貰えると思いますよ！

[@へその緒食べたい]

ちゃも あ、確かに、ありがとうございます！

[@あさげ-q9m]

これ、、、本番で解けるかな

[@amurata4826]

いやこれ、貫太郎さんの方がスッキリしてると思いました。

[@hasebetoshiaki9338]

log3 Sn/3"nとおいて強引にときました。S1が初項と同じだったので、Sn"Sn-1で計算しました。複雑な式になったので、あっているか。動画で答えあわせてをします。

[@stylishnoob6718]

S1=a1は必ず成り立ちます。

[@ハセガワマサカズ]

隣接三項間漸化式を作って解いたのですが、偶奇で場合分けって必要ですか？

[@あいうえお-m8h6i]

実際に数字代入してみて答えが合うか試してみればいいですよ😊

[@SABUSUKU54KUDASAI]

まぁ対数取るわな

[@たす-j3k]

n＝1のとき成り立ってる？

[@kantaro1966]

動画をご覧ください。

[@たす-j3k]

失礼しました。

[@Dr.Whoops69]

標準的な問題ですが地方大だとミスなく完答し切れるかどうかで意外と差がつく良問だと思います。 前期で漸化式が好きな大学を受験するので良いタイミングで定石の確認ができて助かりました。 本番は貫太郎さんになったつもりで挑みたいと思います。笑　(数学満点確定)

[@haru-wk2qk]

高2の冬ごろから毎日かかさず貫太郎さんの動画を見ていたのですが、おかげさまで無事に現役で京都大学に受かりました。頭の体操にもなるのでこれからもかかさず見ようと思います。ありがとうございました！

[@kantaro1966]

おめでとうございます🎊㊗️

[@sunayamakenichi186]

等比数列が「一個飛ばし」になるだけで、ずいぶん厄介になるものですね。

[@ryotaro6792]

偶奇考えてる内に脳ショートしそう

[@yanoken4374]

僕みたいな文系には、わからない世界ですけど。数学は出来ない人間から見ればこれほどつまらない教科はない。逆に、出来る人間から見るとこれほど面白い教科はない。 数学ほど、好き嫌いが別れる教科はないと思いますね。 数学が出来る人がスイスイ問題を解いてると見てて楽しいですね。

[@tanaka6879]

除算の方しか考えられなかった、対数で解くのに驚いた

[@重巡キヌ]

7:19 n〈11　→nぐ n≠　　 →nキ

[@t1212034]

40歳間近の人間ですが後半の方法を思い付いて解いていました。Sが絡む漸化式の場合、引くか割って処理するのが習性ですが、この場合は割ると「9」という綺麗な数字が出てくることはすぐにわかりますし。 しかし対数を取って解く方が多いところを見ますと、参考書の書き方なり教える方の指導方針が自分の頃と変わっているのでしょうかね。

[@senhueichen3062]

Very wise to take log to the base 3. I was only thinking taking ln.

[@たけのこ-h1r]

模範解答と同じやり方はすぐ思いついたけど一個飛ばしの数列に初めて出会ったので苦戦しました…でも出来たので良かった。というかもう高3なのに初めて一個飛ばしの数列に出会ったんだけど…凄い受験が不安…。

[@leonhardeular6976]

偶奇の場合分けをしない別解を作りました 解答 Sn=3^n*(7-(-1)^n)/12であることを数学的帰納法で示す (ⅰ)n=1のときS1=2となり成立する (ⅱ)n=kのとき(k:自然数)Sk=3^k*(7-(-1)^k)/12が成立することを仮定する n=k+1のとき Sk+1=9^k/Sk=3^k*12/(7-(-1)^k)=3^(k+1)/12*(48/(7-(-1)^k))= 3^(k+1)*(7-(-1)^(k+1))/12 (∵ 48/(7-(-1)^k)= (7-(-1)^(k+1)であり、明らかにSk≠0である) よって、n=k+1のときも成立する (ⅰ)(ⅱ)より、Sn=3^n*(7-(-1)^n)/12 以上より n≧2のとき、an=Sn-Sn-1=3^n*(7-2(-1)^n)/18 n=1のとき、a1=S1=2

[@aji-fry-pakupaku]

今年ここ行きます。現役無塾で教育系KZbinrを見まくって受かりました。貫太郎さんありがとうございます。貫太郎さんのおかげで、数学力がつきました。勝手ながらこれからも応援させていただきます。頑張ってください。

[@kantaro1966]

おめでとうございます㊗️🎉 ありがとうございます😊

[@ライ麦]

対数を取ってから差を取ってnを消す2つの解法のハイブリッドで解きました。 対数取るのが定石感があって2つ目の解法には気付けませんでした...

[@coscos3060]

貫太郎さんでさえ苦戦させる、一見すると簡単そうで難しい　良問です。

[@rr2945]

漸化式で掛け算見たら対数とりたくなりますね！そのあとは貫太郎さんの動画で学んだ塊の等比数列を作ればいけました！！

[@user-fl5nq3ux4v]

対数をとるやり方初めて知った。

[@tonkotsu-rta]

Sn=3の○○乗を解かせて一般項を求めさせる問題今年のセンターであったなー

[@kskj5672]

一般項が単純なのであたりをつければ数学的帰納法が一番早いですね

[@samugari1]

模範解答の方法の途中で、Sn+2＝9×SnとSn+3＝9×Sn+1から、an+3＝9×an+1がでるので、そこから解きました。 対数でどくのは考えつかなかったですね。

[@まる-g9p5o]

偶数と奇数の場合分けしなくても書けることには書けるけど、チャットには書きずらい

[@Love-uj8wl]

貫太郎さん流のやり方の方が納得しやすい^_^

[@ぼたもち-m3e]

自分が解いた方法。 S[n+2]=9S[n] までは一緒。 これを以下の2通りに変形する。 S[n+2]-3S[n+1]=-3(S[n+1]-3S[n]) S[n+2]+3S[n+1]=3(S[n+1]+3S[n]) これらは等比数列だから S[n+1]-3S[n]=(-3/2)*(-3)^(n-1) S[n+1]+3S[n]=(21/2)* 3^(n-1) 下の式から上の式を引いてS[n+1]を消去して整理すると S[n]=(7/4)*3^(n-1)+(1/4)*(-3)^(n-1) よってn≧2のとき a[n]=S[n]-S[n-1] 計算して整理すると a[n]=(7/2)*3^(n-2)-(-3)^(n-2) これはn=1のときは成り立たないので、答えは n=1のとき、a[1]=2 n≧2のとき、a[n]=(7/2)*3^(n-2)-(-3)^(n-2) ちなみに、この式において、 nが2以上の偶数の時は(-1)^(n-2)が常に1であることに注意すると a[n]=(5/2)*3^(n-2) nが3以上の奇数の時は(-1)^(n-2)が常に-1であることに注意すると a[n]=(3^n)/2 となって、動画内の答えと一致します。

[@はーたいやき]

ぼたもち さん。素晴らしく美しい解法ですね。気持ちいいくらいの。これが模範解答では？

[@豆電球-s2j]

おはようございます。明日国立後期戦ってきます！行く前に新しい知識が増えました。ありがとうございます。

[@kantaro1966]

頑張ってください！

[@Mr-oe6hd]

豆電球 がんばれ！

[@kazk9292]

偶奇での場合分けが思いつかずlnで対数をとって愚直、強引に計算して下記のような汚い答えになりました。動画の答えと全然違いますが偶奇に分けて計算をさらにすすめると同じになると信じたいです。 nが2以上でan=｛3×(2/√3)^(-1)^(n-1)-(2/√3)^(-1)^(n-2)｝×3^((2n-3)/2)

[@aaaa-i5k8e]

奇数の方の式に1を代入してもa1=2とはならないのは n=1とn≧3のときで場合を分けなければいけないからではないでしょうか？

[@yamachanhangyo]

どちらの解法も貫太郎動画らしからぬ泥臭い解法ですな。 それだったら、動画の最初に出た”一個上の数列から引く”だったらどうなったんだろうか？と思わんでも。 a1=2なのだから、それを利用した解法があるような気がしなくもない。 これは時間制限のある入試でやるには厳しい問題じゃないかと。

[@つな-v2e]

割り算をしようとぱっと閃いても偶奇で場合分けが出来なかったです😿 動画のように(-1)^nの項があれば気づけたかもしれません🥺

[@jimasn.7456]

貫太郎さん流でやって、Snの指数部分が変な形になって諦めました＼(^^)／ 偶奇で分けるとかなり綺麗になるんですね🤡

[@MrA-yj3pk]

①n=1,2,3...で代入して調べるで→規則性がまるで見えないので帰納法はアカン… ②S_(n+1)-Sn=a_(n+1)使いたいけど掛け算と引き算の相性悪すぎやろ…ん？ ③S_(n+1)×S_(n+2)と割り算すれば等比数列っぽくなるで！ ④なんやこれ偶奇で場合分けやん…面倒臭いけどなんとかSnの一般項出たで！あとは引くだけや！ ⑤引いて出たa_(n+1)をズラすと偶奇もズレて…アカン、頭こんがらがってきたわ… ん？初項a_1だけ一般項から外れるやんけ！どっかでミスったかな…やっぱミスってないなぁ…場合分け3つも書くんか… こんなシンプルな問題で何重にも張り巡らされたトラップ

[@adjustment1414]

今年の一橋大学の問題を解説してほしいです

[@ajmjajmj4417]

an=3^n-2{(7/2)+(-1)^n-1}の回答の方が偶数奇数に分けないので適切ではないですか？ (n≧2) 途中の計算もそんなに複雑ではなさそうですが。 Sn+2=9Sn Sn+2-Sn+1=9(Sn-Sn-1) 　（n≧2） an+2=9an an+2+3an+1=3(an+1+3an) bn+1=3bn

[@mips70831]

貫太郎先生が解いた両方の方法で攻めたけど、どちらも途中で詰んでしまった。 結局漸化式から機能的に解いたけど、式が案の定汚くなりました。 あとで、ふと思ったのですが指数部分にcosを使えば偶奇に分けてやる必要はないのでは。

[@buttermochi2000]

S_n+2 = 9S_n を隣接3項間漸化式として S_n+2 + 3S_n+1 = 3(S_n+1 + 3S_n) S_n+2 - 3S_n+1 = -3(S_n+1 - 3S_n) の２式からS_nを求めると、n>=2のとき a_n = {7 + 2(-1)^(n-1)}3^(n-1)/6 となりました。 いくつか検算したところあっていそうでした。

[@うっちゃん-l9c]

あるnに対してS_nとS_{n+1)がともに負の場合があるので、左辺の積の対数を和に直すのは無理じゃないんですか？

[@alpachrno8338]

一対一にあった気がする

[@はーたいやき]

偶数奇数の場合分けさせるのがミソの問題ですね。途中トラップ満載で面白い問題ですね。でも私個人的には、答えがもっと美しい問題が好きです。

[@mathseeker2718]

シンプルな問題だと思ったら、意外と難しかったです。私はn+1の場合を考えて、辺々割るとSnが2個飛ばしの等比数列になったので、偶奇で場合分けして解きました。 楽しかったです。

[@lovmusi-v1g]

これって理系受験の数学ですか？

[@ぷーこ-k7w]

こういうのも共通テストはだすからなー見とこ

[@ジョンネイティオ]

対数すごい...

[@いしかわだいさく]

僕は模範解答の方で解きました累乗を見たら対数を取り得ることをしっかり覚えます

[@vacuumcarexpo]

対数を取る悪手からの持ち直しがスゴい❗ 自分は後半のやり方に近いやり方でやったので、対数を取るという話が出た時点でいったん動画を止めて、対数を取る方式でもやってみましたが、3のモジャモジャ乗－3のモジャモジャ乗の形以降、どうにもなりませんでした。 自分のやり方は、途中までは後半のやり方と一緒ですが、途中から少し違います。 偶奇の場合分けは、S[n]の内にはやらない方が楽です。 9S[n]＝S[n+2]⇔9S[n]＝S[n]+a[n+1]+a[n+2]⇔8S[n]＝a[n+1]+a[n+2]とし、 8S[n+1]＝a[n+2]+a[n+3]と両辺の差を取ると、 8a[n+1]＝a[n+3]－a[n+1]⇔9a[n+1]＝a[n+3]となり、 一つおきに等比数列になると分かります。 ここで初めて、偶奇分けを行った方が楽です。 注意しなければならないのは、n≧1でしか成り立たない事ですね。つまり、n＝1は別個に場合分けが必要になるという事です。 ここで少し時間を取られました。 ですが、3つも場合分けが必要になるのは気持ち悪いので、どうにか1つにまとめられないか考えて、無理矢理1つにまとめました。 a[n]＝(5/2+2[n－2[n/2]]+(3/2)[1/2^[n/2]])･3^(n－2) です。 合ってますかね？

[@フヌ-k5q]

青チャートに載ってる解法

[@はにわ-r7p]

ガッツリ計算ミスした

[@Chapirze]

朝活！！

[@ちゃんしょー-w8u]

やばいめちゃくちゃわかりやすいです！

[@coscos3060]

今　解説を聞かせてもらい、後半の解法が完璧に理解でき嬉しいです やはり、鈴木先生　ただ者ではないです！

[@ironia006]

対数は思いつかず。 S(n)について偶奇で分けて予想して帰納法で証明。動画見ると証明の必要はなかった a(1)とa(2n-1) (n≧2)とa(2n)の3通りで書いたが、微妙な感じ

[@or3124]

浪人してやっと今年、国公立大学の医学部に受かりました！ これからも貫太郎さんの動画を見続けます！

[@kantaro1966]

おめでとうございます。