Gödel, quello che provo' che non sempre il vero e' provabile

[@jojojojo483]

Davvero interessante, professor Palma ha spiegato in modo chiarissimo.

[@motionlessness]

gran bell'episodio, grazie per aver esplorato il tema! Attendo con entusiasmo il prossimo episodio, dove spero esplorerete ancora di più la proiezione della questione sulle 'macchine' e AI. Lavoro in tech da 10 anni (di cui 6 in SV), il tema mi interessa molto e come credo anche voi ho la netta sensazione che ci siano molte 'misconceptions', quando si entra più nel dettaglio

[@andreaaveni]

Il terzo teorema di Gödel afferma che se stava meglio quando se stava peggio.

[@FrancescoCielo]

Grazie della discussione, un filo su cui sarebbe interessante proseguire e' la storia dell'AI da metà secolo scorso. Negli anni 60, partendo da un programma delineato da McCarthy, la ricerca si é concentrata per un paio di decenni (se non ricordo male) su sistemi che facevano deduzioni logiche e accumulavano "fatti" in una base di dati sotto forma di proposizioni logiche (first order logic, ma provando anche altre logiche credo). Poi si è capito che questo aveva forti limitazioni nel riuscire a gestire, ad esempio, l'introduzione di fatti contradittori, o a modellare situazioni in cui l'informazione non è completa. Da lì è partito il filone attuale in cui si è abbandonata la logica e si è passati ad un approccio probabilistico bayesiano

[@apgspalmaapgspalma1768]

per chi di voi volesse vedere un risultato puramente aritmetico che è vero e non provabile, suggerisco di leggere il breve Paris & Harrington nel manuale menzionato. Il vantaggio euristico è che non si ha bisogno di svariati lemmi e idee di Goedel, 1931. Egualmente per chi trovi il soggetto di interesse, è consigliabile di conoscere i lavori di Koellner sulla non decidibilità assoluta.

[@plpaololeonardi]

Grazie prof. Palma! Sempre interessante e chiaro

[@Zonnymaka]

15:28 "57 è una potenza di 3" 🤣🤣🤣🤣🤣 ...fortunatamente "ha poca importanza"...per quello ce lo dice

[@renzonimis8102]

algo, que ritmo!

[@leonardoberti917]

Continuate col filone matematico / decidibilità / calcolabilità, sarebbe figo che affrontasse anche Popper and co.

[@utherdent7228]

Che non c'entra niente con questi temi

[@leonardoberti917]

@@utherdent7228 lo so che non c'entra niebte, era solo una proposta per un tema futuro

[@scienceskills]

Bel video davvero ✌🏻Palma è straripante..

[@vittoriobeghelli3561]

Grazie mille per la spiegazione professore. Prendendo spunto dal video su Tarski aggiungo che potrebbe essere interessantissimo un video sulla scuola di Leopoli-Varsavia (Twardowski, Lesniewski, mereology ecc)

[@fabriziomacaluso333]

Grazie Prof. Palma e Prof. Boldrin per il video e per avermi fatto rinfrescare cose che avevo studiato una trentina di anni fa, quando ancora mi occupavo di logica e AI. Peccato solo che ogni tanto l'audio è veramente pessimo. Per quanto riguarda una trattazione abbordabile dei teoremi di Gödel, ho trovato che il "Computability" di Cutland sia uno dei più semplici e diretti di quelli in italiano, inglese o tedesco che ho letto. Sicuramente più del testo curato da Shankar e Mangione (che comunque era interessante, ma se avevi già capito grosso modo i risultati) o il tanto citato Nagel & Newman.

[@robertorosati53]

Molto interessante grazie

[@funkydrops]

Grazie. Argomento interessante finalmente (j/k, tratti spesso temi simpatici)

[@matteogarzetti]

Grazie!

[@robertotomaiuolo3902]

Grande prof. Palma. E mitico Godel. Se capita, vuol parlare di Poincaré?

[@giuliozoccoli4588]

🙏🏽 grazie Professori

[@stefanopisoni4155]

Io l'ultimo anno di liceo lessi "La prova di Godel" di Nagel e Newman che mi fece appassionare, dunque consigliato. Qualcuno l'ha mai letto?

[@fabriziomacaluso333]

Io l'ho letto un tre decadi fa e non è che mi abbia fatto particolarmente battere il cuore. Forse perché avendo letto un altro testo che mi aveva fatto capire bene i teoremi di incompletezza mi son spesso fermato a pensare che se li avessi dovuti capire da questo libro ero ancora lì a rimuginare. È anche vero che allora avevo un'altra testa e forse rileggendolo oggi lo giudicherei diversamente. Anzi magari se riesco a ritrovarlo nella mia biblioteca lo farò

[@gianlucasanchirico5932]

Off topic, se ritenete che il filosofo Luciano Floridi possa essere interessante potreste parlarne ?

[@stefanopisoni4155]

Up!

[@Darklion4]

Grazie Proffi

[@gabrielesalini2113]

Nel precedente video avevo commentato a pro di un collegamento tra wittgeinstein e goedel. Forse mi sono espresso male. Ma dopo anche questo video mi sento che dei collegamenti ci sono. Anche in questo video si è parlato delle ripercussioni sulle macchine, ed intelligenza artificiale. Il nostro cervello è assimilabile ad un commutatore meccanico? Se si, siamo soggetti ai limiti individuati. Wittgeinstein fa un parallelo tra pensiero e linguaggio. E fa delle riflessioni sul linguaggio, quindi sul pensiero. Con ricorsivita. Ed il tema del pensiero che osserva se stesso. Mi sembra che i parallelismi ci possano essere e non tropo pindarici. Che siano riflessioni più "poetiche" e meno tecniche, ma ci sono. I teoremi di goedel seppure tecnici hanno ripercussioni sulle "intelligenze artificiali". Quindi non è meramente tecnico il problema.

[@andreadedomenico1479]

Quale credi sia il collegamento, entrando più nello specifico? Purtroppo conosco molto poco Wittgenstein...

[@danielesimonazzi4875]

Il libro di Barwise è "Handbook of Mathematical Logic"?

[@apgspalmaapgspalma1768]

handbook, by end edited by Jon K Barwise; il capitoletto suggerito è di C. Smorynsky

[@fabriziomacaluso333]

@@apgspalmaapgspalma1768 scusi Prof. mi sembra che lei abbia citato un altro testo

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@fabriziomacaluso333 ne legga un altro

[@fabriziomacaluso333]

@@apgspalmaapgspalma1768 volevo dire anche "anche un altro testo" mi sembra che lei abbia citato anche un altro testo, ma non mi ricordo quale. Il capitolo del Smorynsky mi sembra ce l'abbia fatto leggere il professore, ma ricordo che dove ho capito bene Gödel è stato su "Computability" del Cutland. Ma son tutti testi con più di 30 anni. Ero curioso se avesse citato un testo più recente ...

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@fabriziomacaluso333 legga goedel che è meglio, per altro il trattamento di boolos è veloce e chiarissimo senza un simbolo che sia uno. Ha ragione che il testo di Jon è anziano; ha tuttavia il vantaggio di avere 4 capitoli ognuno dei quali dice quel che si dovrebbe sqpere di logica da parte di tutti (modelli, insiemi, ricorsione, prova: senza quei quattro non vi è chiacchera che tenga-- non so cosa vi dicono a scuola m al'italia sembra sprofondare in una voragine di merda ed ignoranza.) si vi sono anche manuali facili più recenti, apprezzi halbach, e.g.

[@robertolanducci4738]

Grande

[@apgspalmaapgspalma1768]

Il folletto che insiste nelle sue scemenze sbaglia ovunque. a. la persona che cita a sproposito si chiama Bertrand Russell, e non 'russel' che deve essere la sua dose di fentanyl preferita b. nessuna ragione per supporre niente di cio' che dice b.1 esser dimostrabile è una proprietà che hanno gli enunciati che sono la valida conclusione di una derivazione in cui ogni enunciato è un derivato da altri enunciati a cui segue o è un assioma b2 ci mostra la dimostrazione che Lei suppone di avere? c. In Rusell non ci sta nessuna dimostrazione, Lei che dimostrazione ha? d. il suo pseudoragionamento è un tale sequenza di non sequitur che è difficile elencarli e. perchè non pensa e lascia le sue battute per altre occasioni? g. le fu ripetuto da 6 utenti pure qui che BEW non è ricorsiva? cosa altro le serve? L'ignoranza non è un errare, è un fatto, Lei è ignorante; quel che irrita è la boria che esuda da ogni poro nel sostenere sciocchezze: se ha dubbi noti solo che Bertrand Russell non aveva una teoria degli insiemi, quindi nemmeno avrebbe potuto produrre una dimostrazione; come forse le sfugge la prima assiomatizzazione della teoria è di Ernst Zermelo, molti anni dopo . La lettera in cui Bertrand Russell comunico' a Gottlob Frege la scoperta della derivabilità di un enunciato falso dai cinque assiomi che Frege propose nei Grundgesetze fu scritta nel 1900 e Frege la ricevette nel 1901. Che vi fosse questa derivabile falsità in ogni teoria ingenua che ammettesse un principio di comprensione senza restrizioni, fu capito solo da Ernst Zermelo, che mai lo pubblico, ma lo disse a Hilbert che fu assai "scocciato", per dirla in modo informale. Nelle discussioni con figure come tal "massini", ho appreso una cosa che non sapevo; Georg Cantor aveva il dubbio che la sua nozione di molteplicitià (chiamavano gli insiemi cosi') dovesse implicare delle contraddizioni e lo scrisse a Dedekind- per questa massini, meglio lasciar perdere, non è in grado di capire che una teoria non è una fogna riempita dalle parole sue e la triade ZF+C ZF-C NBG e se volete Aczel, è quel che abbiamo. La lettera di Ernst Zermelo la vedete tradotta o in Ewald o nell'antologia di Jean van Heijenoort

[@apgspalmaapgspalma1768]

se qualcuno ha delle difficoltà a trovare il manuale di barwise, tale persona puo' chiederlo a me personalmente

[@capitanfindus74]

professore, io non ho capito se l'indecidibilità riguarda qualsiasi campo di indagine fondato sulla logica o se è un aspetto specifico del linguaggio matematico. Mi può chiarire questo punto? Ringrazio in anticipo

[@adrianopaoloshaulgershompa3132]

il risultato é che per ogni linguaggio con risorse sufficienti per 1. PM e 2. PA é provabile che esistono proposizioni indecidibili. non so bene a cosa altro dovrebero applicarsi. @@capitanfindus74

[@TheGaetanomariadigio]

Non capisco il motivo del frasario a volte triviale, altre dialettale. Battute gratuite. E poi l’oggetto professionale che interessa il pubblico. Rispetto, prego.

[@leopetrini]

L’argomento di Goedel fatto sull’aritmetica può essere formulato anche in teoria degli insiemi tirando il ballo "l'insieme di tutti gli insiemi"?

[@apgspalmaapgspalma1768]

no.

[@andreadedomenico1479]

Ciao, l'argomento di Goedel può essere riformulato anche in teoria degli insiemi (ZFC) per il semplice fatto che in teoria degli insiemi puoi esprimere l'aritmetica. Quindi sì, però non ha a che vedere con l'insieme di tutti gli insiemi, quella è altra roba

[@andreadedomenico1479]

@@edoardomassini3445 fair enough. Alla fine dipende anche dal livello di dettaglio che cerchi in una risposta immagino...

[@lucamariot5689]

@@edoardomassini3445 Il paradosso di Russel e l'incompletezza di Goedel sono simili nel senso che in entrambi i casi si usano degli argomenti di diagonalizzazione. Ed è possibile esprimerli come casi particolari di risultati più generali in teoria delle categorie (vedi teorema di punto fisso di Lawvere). Ma di per sé partono da contesti molto differenti.

[@lucamariot5689]

​@@edoardomassini3445 No, è proprio a te che stavo spiegando. La richiesta di Leonardo era se l'argomento di Goedel si potesse applicare in teoria degli insiemi usando la costruzione di Russell. E la risposta, come già detto sopra da Andrea, è negativa nel senso che anche se si può riformulare l'aritmetica nella teoria degli insiemi, il risultato di indecidibilità corrispondente non c'entra nulla con l'insieme di tutti gli insiemi. E neanche Adriano è in errore (sebbene non capisco dove abbia detto che il paradosso di Russell sia falso). In teorie degli insiemi come ZF e NBG (a cui Adriano si riferisce nei commenti sopra) l'insieme di tutti gli insiemi non si può nemmeno costruire perché si fa una distinzione tra insiemi e classi. Quindi niente paradosso. Poi: si può vedere una somiglianza a livello di tecnica di dimostrazione usando l'argomento di diagonalizzazione, ma finisce lì. Altrimenti si potrebbe dire anche che l'indecidibilità del problema della fermata di una macchina di Turing ha a che vedere con il paradosso del mentitore. Cosa che, se uno studente me la dicesse a un esame, lo rispedirei al prossimo appello senza indugi.

[@giuliodellacasagrande684]

Ma avendo il prodotto di primi rappresentante l'enunciato si può trovare i primi che moltiplicati tra loro danno l'enunciato, a meno dell'ordine ed è un bel problema. Come si fa con questa costruzione a superare la commutatività della moltiplicazione? L'ordine negli enunciati è abbastanza importante

[@marcotalli561]

i primi li prendi in ordine crescente, sono gli esponenti dei primi che codificano l'enunciato. Ex. a + b = a a -> 0 + -> 1 b -> 2 = -> 3 allora il numero a cui l'enunciato corrisponde è n = 2^0 * 3^1 * 5^2 * 7^3 * 11 ^ 0 = 25725

[@apgspalmaapgspalma1768]

forse non comprese che una decomposizione in primi, usa la primalità e gli esponenti delle basi, 1299 è 3^1 x 433^1, ulteriori forme di codificazione sono possibili, mai Goedel disse che il numerare era unico. Le ripeto che trova maggiori dettagli in Craig Smoryinky nel manuale di Barwise

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@edoardomassini3445 non esiste una "aritmetica di Goedel;" COME LE VENNE DETTO, due dozzine di volte, il secondo teorema del 1931 è un teorema di PM; vale a dire di AP & 1 ordine, di aritmetica di Peano e di una logica di identià del primo ordine. Una delle idee delle prove è di saper rappresentare enunciati aritmetici z.b. 1299771 = 3^2 . 11^1 . 19^1 . 691^1; se Lei la vuole mettere in termini Hilbertiani, quello è un enunciato reale, ed è vero esattamente perchè è riducibile (anche computazionalmente) se ha dubbi, faccia la moltiplicazione

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@edoardomassini3445 le proprietà sono conservate, se l'enunciato è commutativo la rappresentazione tiene la proprità, per cui le divisioni non commutano, le moltiplicazioni commutano

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@edoardomassini3445 siccome Lei è cretino, le mancano le doti per capire perchè 57 è uno scherzo, 57 é 3^1 . 19^1, il numeratore lo vide lei, oppure mente sapendo di mentolo, caratteristica assai tipica dei cretini

[@orfeopezzotti]

Mio commento tattico

[@massandrolinveagesti5085]

Diciamo un po' hegeliano se ho capito bene: nell'assoluto, ovvero nella verita' rientra anche l'errore, perche' il vero e' anche l'unione di tutte i nostri giudizi che che man mano nel tempo vanno a correggersi verso la verita'

[@SamueleCastiglioni]

ma va

[@dawkinsfan660]

24:57 se leggo cinque libri di Fusaro e tre di Severino in una settimana...🤣

[@stefanoantoniomasci272]

simpatica battuta, ma mischiare Fusaro con Severino, risulta blasfemo 😉

[@danieledicugno9448]

La creatività è una ricombinazione di informazioni e nozioni già esistenti che porta ad una soluzione non tradizionale di un certo problema. Poiché spesso questa intuizione sembra presentarsi all'attenzione in modo improvviso e non coscientemente ragionato, ci si convince ingiustamente che la creatività sia una sorta di guizzo divino con proprietà differenti da qualsiasi altro processo di elaborazione cognitiva

[@BestTheFra]

Questa è veramente una chicca

[@robertolanducci4738]

Proff 😜

[@PaoloBottarelli]

siete grotteschi completamente '

[@PaoloBottarelli]

0

[@benderbender988]

Educate yourself. Gentzen's consistency proof

[@angeloleogrande]

Non sono d'accordo sul fatto che il capitalismo non abbia un linguaggio assiomatico. Andateglielo a dire ad Arrow, vedete che vi risponde.

[@francescodarin8100]

io ti dico solo che hai sbagliato il bersaglio auguri

[@Johnny_Savage]

Non credo possa rispondere

[@francescodarin8100]

@@Johnny_Savage veramente la vera questione sarebbe che Boldrin ci ha lavorato. E che un idiota lo indichi è paradossale. Comunque la questione è sbagliata ma io attenderei Michele se ha voglia.

[@andreadedomenico1479]

Immagino risponderebbe che i quattro assiomi della teoria delle scelte in logica del primo ordine su cui si basa il suo teorema non sono il capitalismo...

[@angeloleogrande]

Ripeto. Leggetevi Arrow.

[@simonegagliardi5857]

È giusto ritenere quel che Gödel chiama "linguaggio" come un sistema logico assiomatico? Se si, sta dicendo che all'interno di una logica fondata su assiomi ci sono verità che il sistema non può dimostrare ma che invece il soggetto umano "coglie" con qualche altra facoltà? Se si, la problematica che ne deriva non è estendibile ben oltre al campo della IA, ma a tutti quegli ambiti del sapere che producono modellizzazioni tramite logiche assiomatiche?

[@apgspalmaapgspalma1768]

a mio avviso no- non vi sono assiomi delle pitture, del cinema, a mio avviso non vedo scienze sociali assiomatiche. vi fu un tentativo di Woodger di dare forme assiomatiche alla biologia e fu un quasi integrale fallimento; l'intelligenza artificiale, mi dica lei, non comprendo di che parla

[@simonegagliardi5857]

@@apgspalmaapgspalma1768 Probabilmente sono fuori strada io, però mi chiedevo non tanto se la biologia abbia assiomi, piuttosto se il metodo di modellizzazione e teorizzazione della biologia (e di altro) non si fondi su una logica assiomatica, se insomma le matematizzazioni delle scienze non incontrino le proprietà di Gödel. Ho comunque appena ordinato il manuale di Berto, grazie per il consiglio.

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@simonegagliardi5857 Veda, in un senso molto vago, tutto quel che viene fatto e che implica un uso della matematica, incontra, volente o nolente, i risultati limitativi di Goedel, 1931. I risultati medesimi hanno la valenza di richiedere che il sistema sia un sistema assiomatico inclusivo di PM e di AP. A me sembra che una grande maggioranza di cosidette teorie non siano assiomatiche in questo senso. Tuttavia è possibile che abbia una ragione di affermare cio' che dice; la metto in un condizionale "se teoria T è una teoria matematica o matematizzabile; essa è soggetta ai due teoremi." che effetti cio' abbia è controverso: alcuni pensarono che dei limiti invalicabili a quello che é computabile ( per la tesi di Alonzo Church), altri pensarono che non si incontrano inconsistenza e quindi vi sia nulla di cui preoccuparsi.

[@simonegagliardi5857]

@@apgspalmaapgspalma1768 capisco, la ringrazio. Spero continuiate il discorso perché l'ho trovato appassionante, anche la questione della "creatività" che avete accennato alla fine mi è molto caro anche per studi personali e per professione. Grazie ancora e alla prossima

[@apgspalmaapgspalma1768]

@@simonegagliardi5857 è una domanda complicata. Per quel che concern Goedel il suo punto di vista è che una forma di creatività va vista nella creazione di diversi o "nuovi" assiomi che catturino la realtà matematica. Per Goedel la realtà matematica ha le valenze "quasi" di un universo fisico, è qualcosa da scoprire di cui si ha sempre una immagine sfuocata o imperfetta