Найдите угол: задача по геометрии

Решаем задачу по геометрии сначала с помощью тригонометрических формул, а потом с помощью дополнительных построений.

[@reptotv6398]

Давно ждал. Большое спасибо!

[@user-ot2km7vr6b]

Геометрическое решение задачи очень красивое!

[@robeen241]

Підтримую - дуже красиво !!

[@user-go4kd4ys5r]

Красивая подача и красивые решения. )

[@moyseuk]

Шикарно. Обожаю ваши геометрические задачки.

[@user-gq5xg8qr2b]

Красивое решение!

[@KCH05832]

Красиво!

[@user-xy9nm1pv3v]

Класс! Спортивная геометрия со школы люблю)

[@fedorhotabich]

Вот ещё решение, используя обозначения рисунка: достроить до равнобедренного треугольника с углом при основании альфа, тогда длина половины основания такого треугольника будет а+1 , а длина отрезка продолжающего "основание" прервоначального треугольника равна (а+1)-(а-1) = 2 и этот отрезок является боковой стороной образованного боковой стороной первоначального треугольника с двумя углами по альфа, отсюда из прямоугольного треугольника образованного высотой и только что найденной стороной равной 2 (гипотенузой) при угле = 2*альфа получается 2*альфа= 30 то есть альфа=15

[@user-po9cn9og2g]

гениально!

[@user-bv4li5dd5e]

Какая красивая задача .

[@user-yu2ml6zx5k]

Решил интуитивно, можно сказать перебором. Но доказать смог только тригонометрией. Вот что значит давно не решал. Выкладывайте ролики почаще.

[@user-kt1yj8to3b]

"Перебором" - это не "решил".

[@user-yu2ml6zx5k]

​@@user-kt1yj8to3b Согласен. Надо доказать. И лучше красиво. Через построения.

[@annamarein8449]

Продолжить "красный" отрезок равной длины и соединить его с концами другой пары , равных отрезков. Из полученного паралелограмма , в котором диагонали пересекаются под углом 45 , легко найти искомый угол.

[@user-yi8zw3em3k]

Молодец !

[@Sonni-mx9ok]

Пожалуйста, ставьте буквы у вершин и точек, будет намного проще комментарии разобрать.

[@mal4eg]

Спасибо, отлично и красиво!

[@dmitriylee7034]

по ощущениям задача должна решаться еще проще) надо будет на досуге подумать)

[@servenserov]

Гениальное красивое геометрическое решение. Я же претендую на самое некрасивое, методом аналитической геометрии: Пусть начало координат - в левом углу тр-ка. Тогда линии тр-ка можем описать формулами: y=x•td(ℒ); y=(x-a)•td(45°); y=(2a-x)•tg(2ℒ); Произведя алгебраические и тригонометрические преобразования, получаем: tg²ℒ+4tgℒ+1=0; *Извините, ошибся в знаке, должно быть:* tg²ℒ-4tgℒ+1=0; (спасибо _"завод михельсона"_ ) ℒ=15° Авторским решением №2 просто восхищён! Никогда бы не додумался.

[@servenserov]

@@user-cq4yo9qt3j Спасибо, исправил. Просто _описка._ Буду внимательней.

[@Ivan-Matematyk]

Гарна ідея, але багато зайвого. Достатньо добудувати заданий трикутник АВС до рівнобічної трапеції АЕВС, взяти точку Н симетричною до точки Е відносно основи АС і побачити, що трикутники АЕВ та прямокутний НЕВ рівнобедрені. Тоді АЕН - рівносторонній. Тому 4*альфа=60 градусів.

[@user-jm5fw8pm2j]

Придумал другое решение. Проводим биссекрису угла 2альфа, и перпендикуляр из середины основания ( точка O) до пересечения с биссектриссой (точка B) . Соединим середину биссектрисы (точка M) с вершиной треугольника (точка C). И соеденим точки O и M. Полученная трапеция OBCM равнобедренная!!! Т.к. боковые треугольники , образованные диагоналями и боковыми сторонами подобны ( подобие легко видно, вычисляем углы через альфа и 45). И , у равнобедренной трапеции углы при основаниях равны . Получаем при основаниях равенства: 2альфа = 45 - альфа. Т.е. альфа=15.

[@a.osethkin55]

Интересно. Мало доказательно, но интересно

[@vladyatsuk]

провел перпендикуляр из середины стороны, к которой проведена медиана. слева отложил еще угол альфа, чтобы получить равнобедренный треугольник с углами по 2 альфа при основании. рассмотрел левый прямоугольный треугольник. в нем из вершины биссектриса проведена и внешняя биссектриса (возле прямого угла), тогда правая боковая сторона равнобедренного треугольника тоже есть биссектрисой. 90-2a=4a. 6a=90. a=15

[@user-en8th3sk6z]

Ну красота же, наглядно и понятно.

[@mariamlaipanova3499]

Но геометрия, это шикарно!

[@mariamlaipanova3499]

Теорема синусов даёт результат быстрее

[@romantashpulatov1414]

Класс .Действительно красиво,а главное просто. Возьму на заметку, буду внучке объеснять...

[@faza_real]

Пусть АВС- данный тр-к(АС-основание) , ВМ-его медиана и ∠ ВМС=45(по данным рисунка) И пусть точка К-середина стороны АВ, а Н и L-основание перпендикуляров из точек К и В к прямой АС. Тогда КН||ВL, а из угла ВАL и теоремы Фалеса если АК=КВ то и ВН=НL.Значит КН-высота и медиана тр-ка АКL, тогда он р/б (c основанием АL), отсюда угол ∠КLA =∠А=α. КМ- средняя линия ∆АВС по определению, значит КМ//ВС и КМ:ВС=1:2.Тогда ∠КМА=∠С=2α(соответственные при КМ//ВС и секущей АС).Из∆ КLM и теоремы о внешнем угле тр-ка ∠МKL=∠КМА-∠КLA=2α-α=α. Значит∆КLM-р\б(углы у его основания КL равны α)и КМ=МL.Но МL=ВL(боковые стороны р\б прямоугольного тр-ка МВL).Тогда КМ=ВL. А отношение ВL:ВС=КМ:ВС=1:2.Тогда из прямоугольного тр-ка ВДС следует, что ∠С=30.Таким образом α=30:2=15

[@user-jp6qu7pe9t]

Молодец и пожалуйста поправь BH=HL на AH=HL а то некоторые не поймут

[@user-fl9bu1jk1s]

Геометрическое решение красивое, но очень плохо, что у Вас на чертежах нет буквенных обозначений. В итоге комментаторы не могут вразумительно свои идеи изложить. И хорошо бы, если бы условие было выведено текстом.

[@aypepa]

Великолепно! Трудно придумать более изящное решение!

[@ds9633]

Когда дорисовали до трапеции - она оказалась ещё и равнобедренной, т.е. 3 стороны равны. И если высота равна 1, то боковая сторона 2, получим прямоугольный треугольник с углом 2*альфа = 30 градусов.

[@user-py1gv3kd5l]

Спасибо и вам тоже! Даа это точно! Изящно получилось!

[@lesavchen]

Интересная задачка. У Вас в шапке сайта битая ссылка на ВК, скорректируйте, пожалуйста, для посетителей.

[@MashaLavrova]

Очень мудрёно. Если использовать стандартный метод - продлить медиану на отрезок, равный ей по длине, а потом достроить до параллелограмма, то угол легко находится.

[@baalbor7050]

👍👍👍👍👍👍

[@kirasokolskay786]

высота трапеции равна половине боковой стороны углы при основании 30 градусов

[@user-do9mh4mh6z]

Долго крутила. Решила.)

[@austincor8983]

Решать проще через синусы там прямо синус 0.5 т.е 30град . смысла во втором доп.построении нет так как видно что высота трапеции половина малого основания, те половина боковой стороны что сразу 30град.

[@user-un7yy4zo8l]

почему отбросили второй корень? второй угол буде 75 гр- всё-таки два решения...чёртёж будет для 75гр другой.

[@Qwert1978]

Квадрат недостроил, а так правильно шёл. Конечно тригонометрией решается быстрей на порядок. Построением надо голову нагреть конкретно.

[@first2194]

А где же окружность с 12-угольником вписаным ? Непорядок.

[@user-mo5ft1il2n]

посмотрел решение, честно, убил.....

[@canniballissimo]

не, ну конечно, когда уже знаешь ответ, к такому решению проще прийти.

[@schetnikov]

факт!

[@user-xq3wo1rv1u]

Пробовал решать самостоятельно. Сначала построениями, не получилось. Потом тригонометрией и системой уравнений - получилось. Вернулся опять к построениям. Но уже зная ответ искать закономерности было проще. Треугольник, образованный углом α и медианой "отзеркалил" так, у него было общее основание с треугольником, образованным углом 2α и медианой. Вершины соединил. Получил интересную трапецию у которой верхнее основание в два раза больше высоты (потому что медиана под 45° и с новой "отзеркаленной" медианой образует равнобедренный прямоугольный треугольник). Далее видим, что верхнее основание (которое в два раза больше высоты) равняется длинной стороне новой трапеции (раньше это была сторона при угле 2α). Это вытекает из того, что диагональ трапеции пересекает основания под углом α, а угол между длинной стороной и основанием 2α. После этого откровения уже легко понять, что высота трапеции и длинная сторона с углом 2α при основании соотносятся как 1:2, а значит 2α=30°, а α=15°. Не подсматривал. Теперь смотрю как автор разрулил.

[@user-xq3wo1rv1u]

Черт, автор вообще без привлечения значений тригонометрических функций обошелся, даже самых ходовых.

[@user-xq3wo1rv1u]

Очедердной раз убеждаюсь в том парадоксе, что громоздкие тригонометрические преобразования как правило практичнее красивых решений. Красивые решения быстры, красивы, но пока их нащупаешь...

[@user-rl5ur1ng1i]

А что у Вас за канал по физике?

[@schetnikov]

GetAClass - физика в опытах и экспериментах

[@user-fg9nk4sc8r]

Добудовуємо трикутник АВС до рівнобедреного трикутника АКС з кутами при основі 2а, у якому КМ - висота, медіана та бісектриса, і бачимо, що точка В рівновіддалена від прямих АК, АС та МК, МС. Отже, і від прямих АК, КМ. Тому всі 3 кути при вершині К по 60 градусів. Звідси кут АКС = 120 градусів, 2а = 30 градусів, а = 15 градусів.

[@hmmm1482]

после того, как узнал ответ нашёл красивый чертёж, это в 2 раза большой подобный треугольник.

[@alexandershyfrin1195]

А если использовать теорему Фалеса, основание треугольника это диаметр?

[@user-lx5wm8oi3t]

это только при условии, что треугольник прямоугольный

[@user-op7qe4wc2x]

Ако T е симетрична на В относно височината CD, то 2α=30° => α=15°

[@glukmaker]

Очевидно, что кроме полученного в данном ролике решения, при тригонометрическом решении должно было получиться еще одно решение, а именно угол альфа равен 0, но оно не было получено, так как изначально высоту треугольника мы приняли за 1.

[@k812spb]

Супер!

[@dictumfactum3496]

Забыл все, что и не помнил, даже. Но решил составив систему. Где х=180-135-α, а y=180-45-2α, x+y=180-3α. Завершилось все 15-15=α-α или 60-60=α-α, но 60 не подходит под условия задачи.

[@SergeySvotin]

Это не значит, что альфа 15 или 60. 90-90 тоже равно 15-15

[@user-ux8nz8mq3e]

Господин Андрей, геометрия и есть математика!!! Зачем разделять?

[@user-ci5kx2vc2q]

24

[@igorsgusevs584]

А где чертёж , нет ничего на экране.

[@igorsgusevs584]

Только в конце у автора появилась на экране формула.

[@TheTinkywinky3]

HD?????

[@TheUncleCarlo]

Да , геометрическое решение прикольное. Тоже решил через тангенсы

[@osapsan]

Какой вы молодец, если бы в школе так учили, то детишки бы с удовольствием бежали в школу, но нашему государству нужны дураки с рабским мышлением, стадом ведь легче управлять.

[@user-mo5ft1il2n]

сельпо, почему все просветители не говорят, что можно использовать? хотя задача примитивная...линейка, циркуль,.....

[@user-kt1yj8to3b]

Линейка и циркуль с транспортиром - это средства измерения. Это на труды в четвертый класс Вам. Тут же - задача. Задача, КАРЛ! И, кстати, в задаче на доказательство совершенно не обязательно углы и стороны соответствуют условиям. Чертеж - схематичен и условен. Что Вы там измерять собрались?

[@user-mo5ft1il2n]

@@user-kt1yj8to3b ушатик только ненужно из сабя выпускника ЦПШ корчить, во всей задачах даётся задача и что известно, я такие сразу решаю, в уме, но как показать?

[@user-mo5ft1il2n]

@@user-cq4yo9qt3j я тупых и хитропопых не люблю, типа табя, а там все такие, ну ты вспомни свой класс....

[@user-wk1bv9wz4q]

Откуда взялась еденица и почему треугольник равнобедренный?

[@P.S.Q.88]

Единица взялась "по договоренности" принять катеты равнобедренного прямоугольного треугольника за единицу для выхода в тригонометрические вычисления.

[@P.S.Q.88]

А вот почему во втором методе решения дорисованные боковые треугольники он просто назвал, что равноСТОРОННИЕ, не понятно. Доказательств не привёл. Просто "разглядел, что уж больно похожи на равносторонние".

[@MashaLavrova]

Без обозначений тяжело объяснить, но попробую. Там же к самому длинному отрезку проведены перпендикуляры красные, а этот самый длинный отрезок проходит через их середины (т.к. угол получается 45, а диагонали квадрата под прямым углом пересекаются). Получается, что его части по бокам являются биссектрисами и медианами боковых треугольников, значит, черные стороны равны. Но одна из них равна и красной стороне, значит, треугольники равносторонние. @@P.S.Q.88

[@P.S.Q.88]

​​@@MashaLavrova Вы пишите "но одна из них равна и красной стороне квадрата". Из чего следует, что сторона бокового треугольника равна стороне красного квадрата, не понятно. Чёрные стороны бокового треугольника равны между собой, это понятно, но почему они равны стороне и красного квадрата, не пойму никак. Не вижу доказательства этому .

[@MashaLavrova]

потому что верхняя сторона квадрата равна боковой стороне треугольника, а значит все остальные его стороны тоже ей равны. А верхняя равна боковой, потому что там накрест лежащие углы, т.е. треугольник равнобедренный@@P.S.Q.88

[@user-jm5fw8pm2j]

Очень красивое и изящное решение.

[@Ivan-Matematyk]

Це - неправда. Візьміть прямокутний трикутник з гострими кутами 30 та 60 градусів і проведіть медіану до гіпотенузи. Для нього альфа = бэта/2.

[@Ivan-Matematyk]

@@user-jm5fw8pm2j Але ж насправді у наведеному мною прикладі альфа виходить не 20, а 30. Так що саме Ваша відповідь неправильна, і Ваша поправка з обмеженнями на бета її не рятує.

[@user-jm5fw8pm2j]

@@Ivan-Matematyk , Вы правы, общий случай не годится. Только для 45°

[@Винисе]

Задачка не непростая, а очень даже простая, даже 45 градусов не понадобятся. Достаточно построить вписанный в окружность прямоугольник с центром на половине основания рассматриваемого треугольника. И сразу увидеть, что 90 градусов состоят из суммы 2А +4А = 90. Делим 90 градусов на 6А и находим А=15 градусов. Почему уважаемый профессор сразу этого не видел, а стал чудить с глубинной тригонометрией и какими то запутанными дополнительными построениями. Мы в вечерней школе после смены у станка в 70-х не такое ещё решали🤣

[@mariamukiatkyzy3704]

Там же не 2А и 4А, там просто А и 2А

[@hayksproject1708]

Неправильно

[@EvgenyKnoblokh]

Я 2 дня убил в попытках доказать подобие всего треугольника с треугольником противолежащим углу 45 градусов. 😂 Я сдаюсь

[@EvgenyKnoblokh]

Беру свои слова обратно. Не сдался. И доказал подобие внутреннего тупоугольного треугольника внешнему треугольнику. А ещё обнаружил, что внутри треугольника с углом 45 градусов можно вписать квадрат, который одной вершиной будет касаться основания треугольника и образуется ещё 2 подобных треугольника треугольнику с углом 45.... И так до бесконечности можно строить. Красотища.

[@user-ql5yu9pl7t]

@@EvgenyKnoblokh медиана делит треугольник таким образом, что отношение сторон 1:2 и отношение углов 1:2. Видимо и отношение противолежащих сторон будет 1:2. Вроде, этого достаточно для подобия треугольников. Метод решения с доказательством подобия - самый короткий и красивый. Ну и хорошо, конечно, просто через теорему синусов.

[@user-iy1hq9gp6d]

хреново, что все решения кратны цифровому значению. А если бы угол альфа был 2,72 градуса?? а если он сингулярен?(((((((((((

[@user-sd6ql5wr9j]

2 лайка не ставится!

[@user-ye1gn1kn1i]

Привет от България. Задачата има още едно решение 7 Използваме условието на задачата ,като въвеждаме някои допълнения Построяваме равнобедрен трапец АВСЕ , ъгъл А= ъгъл В равни на 2 алфа АD и BD се пресичат в точка Е , триъгълника АВЕ е равнобедрен . Точка F eпресечна точка на АF и ВF Като ВF е перпендикулярна на АВ. ВЕ е медиана в триъгълника АВF. Следователно триъгълника ВЕF e ,равностранен със страни равни на радиуса на описаната окръжност около триъгълника АВF. Тъй като ъгъл AВF e ,равен на 90 градуса , който е сбор от 60 +2 алфа ,следва че 2 алфа е 30 градуса и алфа е 15 градуса

[@Ivan-Matematyk]

"АD и BD се пресичат в точка Е" - Описка. (АС и BD). "Следователно триъгълника ВЕF e ,равностранен" - не є!! Тільки BE=EF. "Тъй като ъгъл AВF e ,равен на 90 градуса , който е сбор от 60 +2 алфа" - звідки це взялося???

[@user-fd5ce4rv9d]

Тригонометрия в данном случае выглядит как некрасивая прыщавая девченка)))

[@user-lp1lw5vk7t]

У меня альфа 45 получается, вроде всё правильно

[@user-bx8cp6tl3l]

Господи, а+2а=3а… Ни о чём не говорит? Не погонять ли смежные углы? Не найти ли параллели с известным, а потом просто разделить на три? Сколько всего… А теперь вопрос - может проще? Ведь в вашем решении нет решения для подобных задач, как принято, сформулированных в какой-то математической коннотации. А теперь смотрим: если медиана делит пополам не только с сторону, но и соотношение противоположных углов треугольника в пропорции один к двум. Значит и противоположные стороны к ним будет в этом же соотношении? И если представить острый угол медианы у гипотенузы с таким заданным строением из задачи, то значит любая его величина делится на три, так как искомых частей(а) три в данностях задачи, и ответ вполне становится понятен. Нет? Например: Угол остр медиан.=60° Значит часть а=20° и левый угол=20°, а правый=40° и медиан,угол=120°. И это с целыми числами. Можно ведь и с десятичными так же. Я не права? Посмотрите параллелограмм и поймёте😊 У меня самое просто решение? Нет?😂 П.п. Интереснее, если бы углы были в соотношении не в два, а в три раза друг к другу😂 Действовал бы это подход? И тогда на сколько частей увеличился бы этот коэффициент? На одну?🤔

[@user-ql5yu9pl7t]

Из Ваших рассуждений сразу следует что большой (тупоугольный) треугольник подобен малому (тупоугольному) треугольнику. После этого задача решается сразу...

[@Aleks_Alekseev]

Нихрена не понятно. Можно для тех, кто в танке? Начиная с "соотношение противоположных углов..."

[@user-bx8cp6tl3l]

@@Aleks_Alekseev , ага, щас. Из бронетранспортёра вылезу

[@Aleks_Alekseev]

@@user-bx8cp6tl3l давайте, мы в вас верим! У вас получится.

[@ruslan_]

Я тоже решил тригонометрией. По теореме синусов. m - медиана. тогда m/sinα=a/sin(45-α), m/sin2α=a/sin(45+2α). Исключаем m/a, сокращаем на sinα. ... По мне, так попроще, чем через тангенсы. Без квадратного уравнения. И не нужно думать, что есть arctg(2-sqrt(3)), т.к. на выходе сразу sin2α=1/2.