Calcul de limite : CHALLENGE 3

[@Gorbi10]

Avec quelques simples astuces en maths, tu peux abattre n'importe quel exercice qui paraît complexe, c ça la beauté des maths.

[@ts120598]

Et c’est là qu’en sortant ses développements limités je me sens étrangement rouillé à utiliser quelque chose d’aussi puissant alors qu’il fallait juste faire apparaître le sinus cardinal

[@cedriccoulon4647]

Mdr pareil, en meme temps c'est tellement tentant, on a direct l'équivalent en -x/2 😭

[@alainrogez8485]

J'ai utilisé l'Hôpital.

[@grayicedevilslayer4648]

J'ai également pensé au DL mdrrrr

[@ts120598]

@@alainrogez8485 Donc en soit des développements limités de manière détournée ^^

[@alexandrejamet3807]

Bah pour le coup je trouve l'utilisation du développement limité plus rapide

[@rhc1560]

Au lieu de cette methode j'ai utilise la regle de l'hopital : cette limite= (dérivé numerateur) /(dérivé denominateur) soit - sin x/cosx quand x tend vers 0 soit 0/1=0. C plus simple perso.

[@florianpujos7656]

Interdit cette règle, même en maths spé

[@OOOOOIIOOOOOOIIO]

En math spé interdor sans démonstration mais sinon c'est autorisé si les limites en 0 de chaque fonction vaut 0 et que la dérivée du dénominateur en 0 est différente de 0. Il a tout à fait raison on peut l'appliquer 🤝🏻

[@alainrogez8485]

@@florianpujos7656 ah, on interdit la règle de l'Hôpital alors qu'elle est super utile ?

[@shreklebg1817]

il faut definir la règle et sa condition sinon tu ne peux pas lacher la regle comme ca

[@Crakote]

C’est pas la règle de l’hopital qui se fout de la charité ça ? 🤔🤔😳…. Ok, ok… je sors !

[@malakaifasoli2299]

Pour ma part, j'ai utilisé le conjugué du coup je multiplie par cos(x)+1 le numérateur et le dénominateur. (cos(x)-1)/sin(x) * [(cos(x)+1)/ (cos(x)+1)]. L'équation devient (cos(x)^2-1)/(sin(x)*(cos(x)+1)). et comme cos^2+sin^2=1 -> cos(x)^2-1=-sin(x)^2 On simplifie les sinus et l'équation devient -sin(x) / cos(x)+1 lim x->0 -sin(x) / cos(x)+1 = 0/2 -> 0

[@pierreneau5869]

C'est la solution la plus naturelle qui nécessite juste de connaitre sin^2+cos^2 = 1 👍👍

[@kevinoger2132]

Pareil

[@vaishnavipathak1680]

Pareil

[@gaspardgb7653]

Pour aller un peu plus loin (et plus vite 😉), on peut utiliser les équivalences ou la règle de l'hôpital. Quand x tend vers 0, cos(x) - 1 équivaut à -1/2x^2 et sin(x) équivaut à x. Donc la fonction équivaut à x/2 et x/2 tend vers 0 quand x tend vers 0. ou lim f = lim (cos(x)-1)'/sin(x)' = lim -sin(x)/cos(x) = 0/1 (car cos et sin sont continues) = 0

[@mathserreurs2479]

Cosx-1 --------> - x^2/2 , mais cela ne change rien ici

[@gaspardgb7653]

@@mathserreurs2479 yep absolument my bad

[@gaspardgb7653]

c'est corrigé !

[@touhami3472]

@@gaspardgb7653 it's done now, my bad!

[@adam4478]

Pareil en utilisant les développements limités d'ordre 2

[@samuelbeausejour]

La règle de l'Hopital s'applique très bien aussi pour ce type de limite.

[@YouennF]

Oui c'est même bien plus rapide !

[@spider-man8793]

merci mec

[@quentinhouzet3806]

oh merci hexacademy tu es notre messi à tous continue comme ça. demain j’ai un contrôle terminal en analyse sur les limites et des gens sont déjà passé aujourd’hui et ils sont tombés sur (cos x - 1) /x. Maintenant je sais comment faire je vais pouvoir avoir mon année de médecine et pas finir caissier

[@deltadromeus9742]

J'ai hâte des calculs de primitives challenge

[@mathieucaudan2827]

J’ai pas encore vu les limites avec cos et sin. Ca va m’aider de fou de deja savoir ça

[@marcusmoulia639]

Pareil

[@nicolaslehetet5127]

Même technique pour multiplier par 11, sauf que je ferai 15x2 d’abord puis 30 x 11 ensuite ☺️

[@Crakote]

Tcheuuu…. J’ai trouvé en moins de temps qu’il me le faut pour l’écrire ! 🤣🤣 Le challenge 2 m’a servi d’appui, faut dire ! Merci Prof !

[@gauthierchaineau4920]

A quand des nombres complexes?

[@Simlaoui]

bravo! une autre idée simple aussi c'est de diviser le numérateur ET et dénominateur par x et du coup on aurait alors (cos(x)-1):x / sin(x):x donc la limite x->0 donne 0/1=0

[@Arthas-wy5zf]

J'aimerais bien revoir tes méthodes de résolution des limites comme celle là parce que je n'aurai pas su la faire 😅

[@DocLitz]

Alors là … planté sur toute la ligne ! Pourtant, les calculs de limites ne remontent, pour moi, qu’à … 48 ans.

[@Mateo-tm9ep]

La règle de l’hôpital est pratique

[@Naveed15_]

Sinon on peut utiliser la règle de l’hôpital vu qu’on a : Sin(0) = Cos(0) - 1 = 0 Donc on dérive cos(x)-1 et on obtient -Sin(x) Et on dérive sin(x) et on obtient cos(x) Ensuite on fait la limite des deux en 0 et on trouve bien 0/1 donc 0

[@EmmaHill_WN]

règle de l'hôpital nécessaire existence limite

[@edouardfaes7994]

Ou sinon cos x sur sin x égale tan x avec x qui tend vers 0 donc ça vaut 0 fois -1 égale 0

[@Naveed15_]

@@edouardfaes7994 Tan(x) c’est Sin(x)/cos(x) bg

[@shreklebg1817]

tu trouve la bonne réponse par hasard... C'est pas comme ca qu'on l'utilise

[@tyr8265]

A utiliser les outils comme ça tu peux aussi juste faire un DL

[@guillaumevullioud7983]

sinon règle de l'Hôpital et tu te retrouves avec -sin(x)/cos(x) et donc c'est plus indéterminé et c'est tout bon ;)

[@martin.68]

C'est bien, sinon on peut effectivement multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur et lever la forme indéterminée après simplification.

[@strattmonument4934]

2:17 le symbole infini qui se transforme en 0 en scred

[@epsilia3611]

Il avait bien fait un 0 ... Une sorte de 0

[@devilfox7798]

Mon fils (1ere S) va adorer 👍🏻

[@faridel3984]

WAllah incroyable, comment j’ai pu absorber toutes ces connaissances en terminale. J’comprends plus rien aujd 🤣

[@kilianteyssier8228]

avec les développements limités ça m’as pris 10 secondes

[@benardolivier6624]

Faut 3 secondes pour calculer cette limite: règle de l'Hospital (on a 0/0), on dérive numérateur et dénominateur pour obtenir -sinx/cosx donc 0 quand x tend vers 0.

[@tyr8265]

1 sec avec un DL

[@lazaremoanang3116]

Tu as fait comme je l'ai d'abord pensé, je me suis dit que tu allais directement amener cette expression à l'hôpital même si c'est une conséquence de la méthode de la vidéo.

[@tapitapirouge]

Je veux un Hedacademy pour la prépa mpsi

[@ramelkhd1853]

Un DL à l’ordre 1 ça passe crème

[@lucador977]

Je l'ai fait plutôt en utilisant les équivalences , c'est plutôt rapide , moins d'une seconde...

[@thierrycadran610]

Bravo

[@raphaelantoine9797]

Avec le théorème de l’hôpital également il est possible d’avoir la limite même si ces plus long

[@iliesss_]

Le théorème des gendarmes aurait pu nous aider également

[@WamyTb7prime]

Il faut bien lire son cours.😭

[@undefinedperson7816]

Oups. Je suis complètement largué sur cette vidéo. Entre le théorème de l'hôpital et les 2 limites du cours, je me souviens pas/plus de ça.

[@thibautbelliere8057]

Plus rapide avec L'hospital non?

[@druzicka2010]

heureusement que la limite de l'inverse de sin x/x quand x tend vers 0 ne change pas sinon... 😁

[@hmedh_Ath-Maksen]

je multiplie le numérateur et le dénominateur par (cos(x)+1 et par la suite je fais Cos^2(x) -1 = -sin^2(x), je simplie les sinus et finalement j'aboutis à -sin(x)/(cos(x)+1) = 0

[@__-1234]

Si on connait le développement limité de cos x =1-x^2/2, et sin x = x, ça va très vite...

[@michelbernard9092]

Dl de cos (x) en 0 = 1-x²/2 +0(x²) DL de sin x en 0 = x- x^3/6 + o(x^3). donc dl de (cos(x)-1)/ sin(x)) = -x/2 -->0 lorsque x tend vers 0 (par valeurs négatives lorsque x-->0+ par valeurs positives lorsque x-->0 par valeur négatives)

[@standford6615]

Ce n’est pas du niveau terminal justement les développements limités

[@michelbernard9092]

@@standford6615 bac+1

[@cedriccoulon4647]

Ce qui me fait rire c'est que vous sortez des outils aussi puissants que les développements limités, mais que vous vous attardez sur des trivialites, à justifier la convergence par valeurs négatives et positives. On demandait explicitement du programme de Terminale en plus. Quand on veut faire l'intéressant faut assumer jusqu'au bout ! ;)

[@michelbernard9092]

@@cedriccoulon4647 Bahh au moins j'aurai fait rire quelqu'un aujourd'hui, ça sera ma satisfaction, bonne soirée.

[@cedriccoulon4647]

Haha, bonne soirée à vous aussi et bonne continuation.

[@nathanlauer6156]

On peut aussi dire que c'est -tan(x/2) qui vaut 0 en 0.

[@charlestetard3268]

J'adore la chaîne mais là j'avoue que la démo bypass carrément la difficulté en partant sur l'hypothèse de deux formes de limites "connues"... Mais connues de qui?

[@slem7639]

Bonjour, Non mais la trigo, quand t'en as pas fait depuis plus de 20 ans, les formules, elles reviennent pas comme ça. Portez-vous bien

[@magnetique12]

et si x tend vers + l'infini ou vers - l'infini?

[@erickbourdin4039]

Bonjour, On peut transformer l expression cos x _1 / sin x en multipliant par cos x +1 en haut et en bas = > - sin x / cos x + 1 …. Lim = - 0 / 2 = 0 … ( au numérateur on se sert de cos 2 + sin 2 = 1). Correct ?

[@philippegibault6889]

Deux autres façon de faire (sans doute dites en commentaire), mais sans doute de FAC: 1. Règle de L'Hôpital ( fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27H%C3%B4pital ) lim (x->a) de f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a) si f et g sont dérivables (c'est le cas ici) Donc ici, x->0, on tend vers -sin(x)/cos(x) soit vers 0. 2: Par développement limité en 0 sin(x) = x - x3/3! + x5/!5 ... cos(x) = 1 - x2/2 + x4/!4 + ... En se limitant à l'ordre 2, on a en 0, cos(x) - 1/ sin(x) = (1 - x2/2 - 1)/x = x/2. La limite en 0 est donc 0.

[@shreklebg1817]

c'est dommage de te dire ca mais tu ne sais pas comment utlisé cette regle donc ne la diffuse pas surtout quand le lien que tu envoies te contredit ... g' ne doit pas s'annuler mais dommage pour toi une fonction sinusoidal s'annule à te faire tourner la tête. conclusion : les conditions d'un théorème sont largement plus important que le théorème lui meme !

[@pascalwicht5272]

@@shreklebg1817 Je peux me tromper, mais si mes souvenirs de bac sont corrects (ça fait 18 ans), g'(x) ne doit pas s'annuler au voisinage de la limite recherchée (sinon on obtiendrait une fraction avec 0 au dénominateur). Que la fonction s'annule pour d'autres valeurs n'est pas important. Or dans notre cas, x=0, g'(x)=cos(0)=1. Donc la règle de l'Hospital s'applique.

[@dadounehekkers5428]

Hospital ?

[@rinkio9044]

Ça a été beaucoup trop rapide sur le lim cos x -1 / x = 0

[@masterclass1232]

On peut utiliser aussi la règle de l'hôpital

[@tyrule0820]

Ce n'est clairement pas au programme de collège/ lycée ... dans ce cas on aurait aussi pu faire un développement limité

[@EmmaHill_WN]

@@tyrule0820 surtout qu'il faut avoir l'existence de la limite pour la règle de l'hôpital donc il faut en plus montrer préalablement qu'elle existe bien...

[@sebastienwicker6811]

J’ai rien compris

[@armand4226]

Et oui, je découvre qu'en maths lorsqu'on est coincé on peut multiplier, soustraire, quelquechose etc pourvu qu'on refasse "l'inverse" pour que l'on conserve l'égalité. C'est beau.

[@Simlaoui]

Bonjour. et oui exactement vous savez pourquoi c'est grâce à deux règles simples suivantes : ajouter 0 ou multiplier par 1 ne change pas une valeur. autrement dit x+0=0 et x*1=x . bonne journée

[@samuelbenet007]

Je suis désolé, mais j'ai dû à suivre concernant (cos x-1)/ x (tu as même mis x-o), si on pouvait avoir une vidéo de ta part (si ce n'est déjà fait)

[@mehdi5919]

Est ce qu'on peut casser la fraction pour avoir cosx/sinx -1/sinx On peut faire l'inverse pour cosx/sinx ça devient -sinx/cosx -1/sinx C'est exactement -tanx - 1/sinx Alors lim(-tanx)=0 Et lim(-1/sinx)=-00 Alors lim=-00 Je sais pas vraiment où est l'erreur ici, mais je pense que le passage que j'ai fait est juste

[@baptiste5216]

tu n'obtient pas -tan(x) mais 1/tan(x) qui tend vers l'infini, tu te retrouve donc avec une forme indéterminé infini - infini

[@tiboletibetain5730]

Pourquoi tu fais un DL cos(x)=1+O(x^2)

[@jeffh.8251]

bon j'ai tapé sur gougeule "peut on cloner un prof de math ? " y a pas de réponse évidente, ça parle de salaires, du blues des profs etc... mais rien sur le clonage, faut creuser encore

[@NouNuoN]

J'ai un problème pour vous monsieur : lim Cn si n›4 et Cn=(H+PH) a la puissance n. Je ne sais pas si c'est possible mais je l'ai vu passer.

[@lazaremoanang3116]

En l'amenant à l'hôpital ou pas, cette limite donne 0, la première idée que j'ai eu c'est le nombre dérivé. Place à la vidéo.

[@axe2919]

Euh bon je suis en 4ème quoi donc Cos Sin et tout je comprend pas trop 🤣

[@cedriccoulon4647]

Tu ne sais pas ce qu'est cos, et encore moins ce qu'est une limite, ce n'est vraiment pas un vidéo pour toi, c'est pour les lycées donc ne t'inquiète pas 😂

[@Fyoken]

Sinon on fait un développement limité à l’ordre 2 de cos et l’équivalent usuel en 0 de sin : (cos(x)-1)/sin(x) ~ (1-x^2/2-1+o(x^2))/x ~ -x/2 -> 0

[@maellemoigne178]

Même pas besoin du DL, cest des équivalents usuels,y compris pour cos (x)-1

[@AArrakis]

Ouh là! Ton explication à 0:50, je ne l'ai pas captée du tout... mais alors pas du tout. Va falloir nous faire une vidéo là-dessus...

[@masterclass1232]

On a une loi de dérivabilité qui dit que si une fonction est dérivable en un point a donc : Lim x--->a f(×)-f(a) sur x-a est égal à f'(a) Cos(x) est une fonction dérivable sur R donc sur 0 donc on applique la relation

[@cedriccoulon4647]

Sauf que le meme argument ne peut pas s'appliquer à sin(x)/x

[@qwer.ty.]

Par contre pourquoi tu ne dis pas "limite de x en 0 par valeur supérieure" tout en rajoutant en dessous de x->0 un "x>0" ?

[@Chocho-fk5pf]

Parce que si la limite existe et est la même à gauche et à droite alors on note juste x->0

[@qwer.ty.]

@@Chocho-fk5pf beh avant de résoudre tu sais pas si c'est la même à droite et à gauche?

[@jarodgalbr1576]

@@qwer.ty. bah soit, pour x=0 il y a une forme impossible (1/x), donc c'est là que tu calcule x=0 x0. Soit tu remplace x par 0, c'est ce que le prof a fait dans cette vidéo. Il a juste levé l'inde terminé, et dans ce cas il n'y a pas de problème du coup

[@jarodgalbr1576]

Tu dois savoir la limite à gauche et à droite si la limite en 0 n'existe pas

[@herve5784]

Facile lol. Honnêtement... On a parfois des trucs simples et sympa et des fois des trucs nuls suivi par 10 personnes... Ici c'est nuuuuuuul. Je suis maçon, je m'en cogne, mais d'une force ! Crée une nouvelle chaîne pour les matheux expérimenté qui sont une centaine et laisse cette chaîne d'humour et de vulgarisation pour le reste de la planète lol en plus c'est nous qui sommes rentable... Non?

[@guillaumeb3048]

essaye avec les hologramme, Hihi !!

[@ismailib396]

svp on peut pas faire ça? : (cos(x)-1)/(sin(x)) = cos(x)*sin(x)^-1 -1*sin(x)^-1 et apres avc la limite ça donne 0 (par addition) mais jsp si c'est juste :/

[@thierryfenelon1157]

Rien compris trop compliqué pour moi

[@nicolassavary3414]

Lim x->0 de cos(x)-1/x ça fait pas 0/0 ??

[@cedriccoulon4647]

C'est une forme indéterminée, donc il faut creuser. C'est comme si je te demandait la limite de x/x quand x tend vers 0 (x>0), t'es bien d'accord que c'est 1 ? Pourtant c'est bien une forme indéterminée 0/0

[@nicolassavary3414]

@@cedriccoulon4647 oui bien sûr, mais le résultat qui sort comme ça c’est un peu bizarre quand, ce n’est pas aussi trivial que x/x et ça aurait mérité un peu de développement

[@cedriccoulon4647]

En fait c'est dans le cours de Terminale il me semble. On le montre par taux d'accroissement (il l'a dit dans la vidéo), si tu veux je peux t'expliquer. Par contre pour sin(x)/x effectivement la c'est plus compliqué, et ça aurait mérité des explication par ce que ce n'est pas trivial du tout (en tout cas pour un élève lambda de terminale)

[@philippegibault6889]

lim (x->a) f(x) - a/x - a = f'(a). Si f est dérivable en a...

[@cedriccoulon4647]

Je vous en prie, prouvez moi que la derivée du sinus est cosinus, avec les méthodes de lyceens, vous allez devoir vous ramener à la limite de sin(x)/x en 0 : vous aurez créé une boucle bravo ! Ce n'est pas trivial pour un élève de Terminale, et c'est pour ça que cette formule est admise, mais on peut la prouver en encadrant l'aire d'une portion du disque trigonométrique.

[@cedriccoulon4647]

Je ne suis pas d'accord sur un point. Vous dites que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est 1, et que cela vient du taux d'accroissement. Cela est tout bonnement faux, puisque pour justifier que la derivee de sinus est cosinus, on utilise justement le resultat de cette limite. En réalité elle vient de la comparaison de aires, sur le cercle trigonométrique, entre un triangle, la portion de cercle dans lequel il est inscrit, et le triangle tangent dans laquelle cette dernière est encore inscrite (c'est difficile à formaliser en français).

[@fabienal-kazzi1507]

Oui mais il est admis au lycée que la dérivée du sinus est le cosinus et que la dérivée du cosinus est l'opposée du sinus. Du coup les 2 limites ici se ramènent bien à des limites de taux d'accroissement c'est à dire à des dérivées. Et d'ailleurs dans le supérieur on redéfinit les fonctions sinus et cosinus à l'aide des séries entières et là, les dérivées tombent immédiatement. Mais je suis d'accord avec vous sur le fond car pour se rendre compte qu'on pouvait définir ainsi les fonctions trigos avec des séries entières il faut évidemment avoir vu d'abord la définition type lycée des fonctions trigonométriques et ensuite savoir les dériver (donc même si mathématiquement les deux définitions se valent, la définition avec les séries entières est assez vide de sens si on a pas fait d'abord ce que vous mentionnez).

[@cedriccoulon4647]

Ah oui d'accord effectivement, si c'est admis on peut dire "par taux d'accroissement". En fait je me souviens qu'en terminale que j'avais essayé de le démontrer et donc je suis passé par un encadrement que j'ai justifié avec des dérivations, et c'est la que ma prof m'avait sorti "on a besoin de cette limite pour jusitifer les derivations" et donc j'ai trouvé une autre preuve (celle des aires). Pour les séries entières, je suis en plein dedans justement haha (je suis en maths spé)😂