Image d'un compact par une fonction continue | Lê Nguyên Hoang

[@KeylahMMO]

Nice je reprends soon les cours en L3 et ça me fait plaisir de revoir de belles démonstration ^^

[@jamelbenahmed4788]

Quel logiciel utilise tu?

[@roxazzino3115]

Qu'es ce que c'est un recouvrement? Je suis en mp et pour l'instant on n'a que la definition avec la convergence des sous suites d'un compact (toutes suites d'elements d'un compact admet une sous suite qui comverge vers une limite qui appartient au compacte il me semble )

[@arnaudh2082]

Dans la démo, j'ai l'impression que tu pars du résultat. Tu dis que f(compact) est inclue dans dans une union d'ouverts dès le début de la démo. C'est un raisonnement d'analyse synthèse ?

[@neloka4313]

Tu as mal compris la définition de compacité. :) La compacité ne dit pas qu'il existe un recouvrement ouvert, la compacité dit que pour n'importe quel recouvrement ouvert on peut en extraire un sous-recouvrement fini. Donc oui, le point de départ c'est de considérer un recouvrement ouvert quelconque, ce n'est pas du tout la finalité du raisonnement. Par ailleurs, il existe toujours un recouvrement ouvert de n'importe quel espace topologique, bah oui, vu que l'espace tout entier est ouvert. ^^

[@thom1897]

Bonjour Lé, Désolé de déterrer une telle vidéo mais on a une preuve beaucoup plus facile avec la caractérisation séquentielle des compacts. Un ensemble E est compact si pour toute suite de E, on peut en extraire une sous-suite convergente. Ainsi, soient E un espace topologique, K un espace topologique compact f: K--> E continue. En posant, (y_n)_n une suite de f(K), on a par définition de f(K) : il existe (x_n) dans K^N telle que : y_n = f(x_n) pour tout n dans N. Comme K est compact, il existe phi : N-->N croissante telle que : x_{phi(n)} --> l dans K. Comme f est continue sur : f( x_{phi(n)} ) --> f(l) dans f(K). Ainsi, y_{phi(n)} --> f(l) dans f(K) et on en déduit que f(K) est compact. Je trouve que c'est plus simple et ça évite de s'embrouiller avec les recouvrements. Peut-être y a-t-il un intérêt de la preuve avec les recouvrements ou j'ai oublié quelque chose mais il ne me semble pas.

[@themanchot359]

Sympa mais un peu dur quand on n'a pas fait de théorie des ensembles, un peu rapide quoi ^^ Mais après quelques replays, ça passe :P

[@quentinvazel8261]

Au début de la démonstration tu dis "on prends un recouvrement fini de f(compact" mais enfait c'est d'un recouvrement quelconque, pourquoi fini? c'est justement ce que tu cherches a démontrer, que de tout recouvrement de f(compact) je peux extraire un sous recouvrement fini !

[@neloka4313]

Sa langue a juste fourché, il dit 3 mots plus tard que I peut être quelconque. :)

[@aurelienlebrun8372]

Ne reste t'il pas à montrer que l'image d'un espace séparée par une fonction continue est un séparée ? (sinon on parle de quasi compacte...)

[@neloka4313]

Il ne le reste pas puisque c'est faux. :) Considérer une fonction surjective d'un compact vers un ensemble à deux points muni de la topologie grossière, l'image directe n'est pas séparée. Ici, évidemment, par compacité il entend quasi-compacité. C'est assez usuel dans les cours de topologie plutôt axés sur les espaces métriques (pas de topologie générale donc) de définir la compacité juste avec la quasi-compacité vu que les espaces considérés sont tout le temps séparés.