[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?

[@lsy_math]

인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. ※ 프라임( ' )으로써 미분을 표기한 최초의 사람을 뉴턴에서 라그랑주로 정정합니다 ^^

[@하이루-i2v]

선생님 그러면 치환적분할 때 dx나 dt를 곱하기처럼 연산하는 것도 엄밀히 말하면 틀린건가요? 예를 들면 integral(2x+1)dx 에서 t = 2x+1, 미분하면 dt/dx = 2, dt = 2dx , 따라서 integral(2x+1)dx = integral(2t)dt

[@하이루-i2v]

오늘 영상 잘 봤습니당~

[@seonin]

조건이 있다고 들음

[@fermat6529]

@@하이루-i2v 교과서에서는 dt/dx=2이므로 integral(2x+1)dx = integral(t/2)dt 라고만 나와 있습니다. 물론 실제로 현장에서 가르치시는 많은 선생님들께서 '마치 dx를 곱한 것처럼' dt=2dx라고 설명하시기는 합니다. 제가 드리는 설명도 엄밀하지 못한 것임을 미리 알려드립니다. 중학생이나 고등학생이시라면 혹시 "미분(differential)"이 무엇인 지 본 적 있나요? 교과서에는 미분계수(differential coefficient), 미분한다(differentiate)는 있어도 미분의 정의는 없습니다. 참고로 우리가 미분과 적분처럼 전체적인 과목명(?)을 말할 때의 미분은 differentiation입니다. 미분(differential)이 무엇인 지 알기 위해서 미분계수를 살펴보겠습니다. f'(a)를 변화율의 관점에서 바라본다면 x=a에서 x의 변화량과 y의 변화량을 비교하는 것입니다. 기하적으로 바라본다면 x=a에서 접하는 기울기가 f'(a)인 직선이 있겠죠. 이때 a와 '충분히' 가까운 점에서는 'f(x) ≈ 접선'이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어, 납득하기 힘드시겠지만 x의 값이 1, 2 변함에 따라 y의 값은 '대략' 1f'(a), 2f'(a)만큼 변한다고 볼 수 있습니다. y의 변화량은 x의 변화량의 f'(a)배에 가깝다고도 할 수 있을 겁니다. 이를 굳이 어렵게는 Δy ≈ f'(a)Δx라고 씁니다. 하지만 이 식은 확실히 같은 것이 아니라 거의 가깝다이기 때문에 수학자들이 별로 좋아하지 않습니다. 그러므로 dy를 y의 미분(differential)로 정의합니다. dy = f'(x)dx 질문하신 치환적분의 경우도 미분으로 설명할 수 있습니다. dy = f'(x)dx라는 말은 곧 dy(y의 변화량)가 dx(x의 변화량)의 f'(x)배라는 거니까요. 적분은 변화량과 함숫값의 곱을 더한 것입니다. (이 말을 처음 보신다면 고등학교 미적분 교과서의 정적분의 활용 단원을 참고해주세요.) 예시로 말씀하신 t = 2x+1에서 dt = 2dx입니다. t로 변수를 바꾼 후 x의 변화량 대신 t의 변화량을 이용한 것입니다. 물론 말씀드렸다시피 이는 엄밀한 설명이 아닙니다. 제가 많이 부족하다 보니 엄밀한 것을 알려드릴 수 없는 점 양해 바랍니다. 혹시 저보다 더 잘/제대로 알고 계신 분이 있다면 지적 바랍니다. 제게도 좋은 공부가 될 것 같습니다. 답변이 도움이 되길 바랍니다. 감사합니다.

[@hyeonsseungsseungi]

@@하이루-i2v t=2x+1이므로 dx=dt/2가 되므로 integral(tdt/2)=(t^2)/4=(2x+1)^ 2/4=x^2+x+C인데, 이런 적분은 치환할 필요 없이 그냥 하시면 되겠습니다.

[@김자운]

"정의를 정확하게 아는 것이 중요하지..."

[@박재환-e5q]

정의...? 말은 그럴싸하지...

[@ro1lp1t]

"정의는 죽었다"

[@몰루-c1l]

??:정의를 정확하게 알아야지요...

[@최정운-t5h]

@@몰루-c1l 정의란 무엇인가

[@BUG-CHARGER]

정의 명예 존중

[@사탕-h1j]

도대체 얼마만의 영상인가?....!

[@이수미-s3b]

50 넘게 먹은 직장인이에요. 잊고있던 수학을 다시한번 들여다 볼수 있게 해주셔서 감사합니다.

[@Ray수학]

He is back

[@FIzzlover]

와 진짜다

[@나무와섭]

다시 볼 수 있어서 기쁩니다..!!!!

[@ctctxk101]

어떻게 이렇게 궁금했는데 잊어버리고 있던걸 이렇게 콕 집어서..

[@true_d4762]

그저 수학의 신...

[@jaehyunjeong7140]

기다리고 있었읍니다. :))))))))))

[@scibrother]

이런 분수가 아니었다니...

[@blackjoy315]

왜 아무도 형이 왜 여기서 나와를 안적냐... 이왜진 이런거..

[@이형준-v2j]

오셨네요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 기다렸습니다

[@andyjunghyunkim6805]

고딩때부터 분수인줄 알았어요. 근데 대학와서 수학하다보니 분수로 생각하면 성립이 안되는 부분들이 좀있어서 매우 혼란스러웠습니다. 구글링해도 이해가 잘안돼서 결국 분수가 아닌걸로 생각하고 넘겼는데 이렇게 동영상이 올라와서 너무 기쁩니다. 선댓 남기고 천천히 볼게요

[@fuse._.]

분수로 생각하면 성립 안 되는 부분이 무엇인가요?

[@광민-s6b]

기다리고 있었습니다 ㅜㅜ... 광고 다볼게요

[@msg6218]

돌아와주셨군요!!

[@쿠웅-u1o]

정말 많이 기다렸습니다.

[@user-ci4vf1tx5e]

이건못참지ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

[@nnn00135]

알고리즘에 뜬거 보고 눈물이 다 나는 줄 알았지만 막상 눈물은 안나더군요. 행복하십쇼 상엽쌤. 항상 감사하고, 1시간 넘는 영상 빼면 다 챙겨보고 있습니다. 취미로 수학한다고하기에도 부끄러운 수준이지만 항상 감사합니다 ㅎㅎ

[@ibean08]

어익후.. 이렇게 반가울데가....

[@jakechung9295]

한 동안 새로운 영상이 없는 줄 몰랐는데, 사정이 있었군요. 계속 좋은 영상 기다릴게요.

[@황교현수학학원]

돌아오셨군요! 기다렸습니다! 좋은영상 감사합니다

[@andthensome9277]

다시 돌아와 주셔서 감사합니다. 기다렸습니다 선생님

[@seobmr.3580]

다시오셔서 너무 감사합니다! ㅎㅎ

[@힐링맨-m6h]

돌아와서 기뻐요 ㅠㅠ

[@user-rb9qd2ui2b]

와대박ㅜㅜ이배경 오랜만이에요

[@newgirl6232]

영상올라오길 기다렸습니당

[@Kan_MLF]

기다리고 있었습니다 쓰앵님,,,

[@chocopie9166]

교양수학 시리즈 정말 멋져서, 현재 진행중이던 위상수학 끝내고 (어려운 해석학 보다 쉬운) 미적분학 1,2 시리즈 진행해주셨으면 하고 바랬는데..!! 아무튼 이상엽 선생님의 귀환을 축하합니다🥳

[@10선비-l4w]

오 저는 수학과 졸업생인데여 예전에 전 수학식들을 머리속에 그림으로 상상하며 공부를 하는식이었는데 그래서 미적분학을 좋아했어요. 해석학이랑 상위개념 복소함수론 등등 재밌게 공부했었는데 위상수학은 너무어려웠어요. 저의 공부법에 매치하는게 힘들어서 되게 어렵게 공부했었던 기억이 나네여 ㅋㅋ

[@shpark55]

그러니까 d를 약분하면 되죠?

[@tetrisczar469]

d는 숫자가아니라 연산자아닌가

[@All_userX]

​@@tetrisczar469드립인듯요

[@잠봉-o4n]

샘 우시는소리여기까지들림ㅋㅋ

[@놈무현]

그렇다네요~

[@katrinoy1]

네 약분하시면 됩니다

[@Erythrocyte1900]

수학과 물리학에서 마스터해야하지만 많은 사람들을 울리는 미분쨔응...

[@jhlee9803]

돌아오셔서 좋습니다

[@구태우-w1m]

오랜만의 영상 너무 반갑네요 ㅎㅎ 선생님을 존경하고 또한 올려주시는 강의를 좋아하는 사람들이 저를 포함해서 매우 많습니다. 충분히 자부심 가지셔도 되고 다른 사람 눈치 보지않으셔도 될 거 같아요. 항상 응원하고 있습니다 화이팅!(팩토리얼아님)

[@페퍼로니는더블]

정말 많이 기다렸습니다. 언제나 응원해요!

[@바르고고운말]

살아계셨군요!!! 다행입니다ㅋㅋ

[@origamivivace4176]

상엽쌤!! 많이 기다렸어요 ㅠ 항상 응원하고 좋은내용 감사합니다:)

[@유기농꿀치즈]

오랜만에 뵙네용 늘 좋은 영상 감사드려요

[@himoon10613]

와~ 댓글 폭발! ㅋㅋㅋㅋㅋ 나두 못참즤~ 상엽샘! 기다렸어요~ 반갑습니다!^^ ㅎ

[@maxism4274]

현직 엔지니어이지만 대학때 들은 칼큘러스 클라스가 생각나네요ㅎㅎ 그땐 정말 고생했는데 지금보면 잼있습니다..영상보니 그때기억나고 이해잘되게 설명잘하시네요ㅎ

[@범준-o5z]

와,,,엔지니어 머시써요

[@today_is_sunny_k]

상엽샘!! 많이 기다렸어요 ㅠㅠ 저는 그동안 수학과 재학 중인 대학생이 되어버렸답니다 ,, 앞으로도 잘 챙겨볼게요 😀 돌아와주셔서 감사해요!

[@phj9005]

전혀 궁금하지 않았던 스토리지만 끝까지 봤습니다. 듣다보니 점점 궁금해지는 스토리였네요. 명강의

[@lIIIllllIIIIllI]

미치도록 유익했습니다. 한때 저거때문에 혼란이 와서 하기가 공부하기가 싫었던적이 있었는데 아무도 설명해줄 수 있는 사람이 없어 혼자 억지로 이해하고 넘어갔던 기억이 있네요. 지금은 명쾌합니다.

[@andrewwang164]

어어어!! 얼마만에 컴백인지

[@donghyunlee801]

웰컴백~~~

[@teflotax]

무야~호~ 그만큼 컴백해서 신나시는 거지

[@김홍겸-s4y]

오랜만에 다시 영상에서 뵐 수 있어 반갑습니다!

[@dongyunlee5400]

맘 잘 추스렸는지요. 다시 영상 올려주셔서 진심으로 고맙습니다! 유명세를 타면 긍정적인 반응뿐만 아니라, 비판 비난까지도 받기 마련이니까요. 일부 부정적 평가에 너무 정신적으로 매몰되시지 않으셨으면 합니다. 주제 넘게 말이 길었네요^^ 항상 수학에 관한 지적 호기심을 만족시켜주는 영상 감사합니다, 이상엽 선생님~

[@kiko3268]

교수님..정말 오랜만이예요.....ㅠㅠㅠ

[@2log664]

선생님 썸네일에서 엄청 환하게 웃고계셔서 기분이 좋아지네요 ^_^ 다시 영상 올라와서 넘 좋습니다!! 잘보구갑니다!!

[@spacebest1]

8:40 항상 좋은 강의 감사합니다 선생님.

[@ghpark2417]

문무겸비 올라프...

[@승준-w1u]

이왜진??

[@주인영듀]

?

[@켈슈마]

오랜만에 영상 올리셨네요. 기다렸습니다.항상 응원 할게요.~~

[@elluardzenus]

돌아오신걸 환영합니다. 좋은 영상 부탁드립니다. 수학과외 10년전에 그만둔 전직 과외선생 드림..

[@이재형-c2k]

기다렸습니다

[@Deko207]

기다리고있었어유ㅜㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

[@ke0015]

컴백해주셔서 감사합니다!!

[@MrDoctorlee2]

여전히 흥미진진한 애기이네요.

[@강우진-h4o]

좋은쪽으로 생각하신거 같아서 기분이 좋네요. 기다리던 주제여서 잘 볼게요.

[@dbxmqmdbxmqm]

형 기다렸습니다!!

[@수하-v3q]

돌아왔구나 ,,, 선생님 ,,,

[@pioneer3950]

역쉬~~최고입니다!! 너무 많이 기다리고 있었어요^^ 힘내시고 자주 보아요~~♡♡

[@mathddang]

베리베리 굿한 오늘 영상입니다

[@이정현-s6e]

기분이 가볍고 여유로워 보입니다. 화팅

[@찬찬-l8h]

오랜만이네요 선생님 ㅎㅎ 유튜브 뜸한 동안 어느새 고3에서 대학생이 되어있습니다. 고등학교 때와는 너무 다른 수학을 경험하고 있는데 선생님 영상에서 본 내용이 나올 때마다 어 이거 어디서 본건데 하면서 선생님이 떠올랐습니다 ㅋㅋ 계속 힘내주세요

[@sjsdjd860]

킹의 귀환

[@kimgu10133]

응원합니다

[@oze5282]

상엽쌤 부활하셧군요, 그 일 있고나서 진짜 얼마나 기다렷는지 모르겟습니다 ㅋㅋ 앞으로도 활발한 활동 기대할게요!

[@alphago410]

정확한 분수는 아니지만 함수에 적용된 극한값을 적용전 극한값으로 나눔의 의미로서 기호임은 100% 맞습니다. 마찬가지로 적분에서도 dx는 함수의 값에 극한값을 곱한다는 의미가 맞고요.

[@cks5275]

항상 잘보고 있습니다!감사합니다!😃👍

[@cheolhun_24]

너무 반가워요 선생님 !!

[@우주-l3q]

선생님 드디어 오셨네요... 사랑해요 선생님 걔속 이런거 알려주세요

[@johnbae4775]

항상 궁금했던 얘기였는데 친절하게 알려주셔서 감사합니다^^ 수학에 대한 이런 본질적인 개념설명 영상 앞으로도 많이 제작해 주세요~^^

[@수학하는팡머]

이 내용은 진짜 고딩친구들 알고 가면 너무나 좋은개념이네요!!

[@바부바부-o7n]

선생님 기다렸습니다 ㅠㅠ

[@starfishstudio0326]

기다렸어욤!! 최고에욤!!

[@intC99]

한동안 좋은 영상 안올라와서 걱정되었었는데 ... 감사합니다.

[@aerockh]

돌아오셨군요~

[@unicvdeck]

이과 지식에 관심이 많은 문과 재수생입니다 특수상대성이론을 시작으로 해서 천체물리학에도 관심을 가졌고, 물리학자들의 언어를 이해하는 과정에서 선생님들을 자연스레 수학에도 관심을 갖게 되었습니다. 정확히는 수학 자체에 흥미를 가진 것이 아니라 천체물리학을 이해하기 위한 수단적 가치로서의 관심이었겠지만요. 매일 공부가 끝나고 집에 오는 길에 선생님 영상 보면 그동안 찾아보면서 이해하지 못했던 것들이 하나둘 풀리어 이후로도 계속 선생님 영상 찾게 됩니다. 심지어는 궁금했던 것과 유리된 다른 것을 알고자 영상을 보기 시작했음에도 그런 경우가 잦습니다. 선생님의 영상에서 알게 되는 지식이 참인지의 여부는 저는 알지 못합니다. 아마 수학적 지식이 깊지 않은 사람들의 언어로 수학을 알려주려 하시다 보니 그런 폄훼를 받으신 거라고 생각합니다. 선생님이 옳은 지식을 전달해주셨다고 굳게 믿고 있거니와,만에 하나 그렇지 않더라도 선생님은 대개의 사람들에게 딱딱하게 여겨지는 수학을 일상의 언어로 풀이해주셨고, 저를 포함한 많은 사람들에게 수학이 재미있는 학문임을 알려 주셨습니다. 깊이 감사하고 있습니다. 부디 그런 폄사에 흔들리지 않고 무엇보다도 행복하셨으면 합니다. 사족입니다만, 세상엔 자기의 인생이 하찮아 보여서, 자기보다 잘 살고 있는 것처럼 보이는 사람들을 끌어내려 자신과 같은 위치에 놓는 것을 낙으로 삼는, 사회에 하등의 쓸모도 없는 이들이 있습니다. 그들의 언사에 상처받지 않으셨으면 좋겠습니다.

[@kr-tr5vt]

돌아오셨구나!!!!!

[@cubejj7152]

고등학교 수학산생님이 분수로 읽지 말라고 강조하셔서 30년이 지난 지금까지 잊어버리지도 않음 그련데 실제 문제풀때는 분수처럼 사용하기도 했다는게 함정 ㅋ

[@changiii]

분수처럼 생각하고 풀라고 기호 저렇게 만든거에요

[@dy6413]

ㅇㅇ 분수는 아니지만 분수처럼 계산하라고 만든거 ㅋㅋ

[@김현중-l3w]

고등과정에선 분수로 생각해도 무방하죠? 졸업하고 나서 이 영상 봐야겠습니다

[@wouldyouliketodancewithme]

@@김현중-l3w 네 수2 미적분 다 분수로 봐도 됩니다

[@user-er9of3hg4w]

@@김현중-l3w 아뇨 고등학교 과정에선 오히려 하나의 기호로 보시는게 편하죠 그냥 미분기호라 생각하시고 공학대학 공업수학 과정에서 분수로 간주해 분모 분자 이항 시켜서 문제 풀이합니다 ex)변수분리 방정식

[@levin189]

선생님 항상 감사합니다. 공부하는 순간이 얼마나 소중한지를 선생님 강의를 듣고 공부하면서 느끼고 있습니다. 항상 건강하시고 오랫동안 강의 부탁드려요 감사합니다.

[@oddments]

너무 반갑네요. 감사합니다.

[@권준형-h8r]

돌아오셨따!!!!!

[@김태영-r4p]

와 드디어 돌아오셨네.. 잘 오셨어요 ㅠㅠ

[@ych6424126]

진짜 사랑합니다

[@현빛여행자]

나보다 많이 알면 형이다ㅎㅎ 이상엽형 방송보며 학생때는 못 느낀 수학에 대해 관점이 달리 보이고 재미가 붙네요. 답만을 얻기 위해 씨름했던 지루한 수학이였는데 다시보니 참 흥미로운 학문인 것 같네요.

[@태풍-j5y]

ㅇㅈ 나보다 많이 알면 형임 5살 천재 영재도 나보다 똑똑하고 많이 알면 그냥 형임ㅋㅋ

[@justic4194]

@@태풍-j5y 얼마전까지는 형이아니구 사부죠 나이가 어려도 많이 알면 사부

[@검은콩-u2q]

상엽샘 기다렸시유

[@거북이빵-z7z]

고맙습니다

[@이선훈-r1n]

아니 오늘 chain rule로 고통받고있었는데 추천알고리즘으로 뜨다니...

[@vehekalfyywehhshxb]

늘 좋은정보 감사합니다. 많은 도움 받고 있습니다.

[@ahnoo387]

물리하는 사람들은 엄밀하게 안따져서 거의 분수처럼 씀. 체인 룰이랑 치환적분이 분수 취급해도 별 문제가 없어서 그러는 듯. 디렉 델타함수도 그냥 함수처럼 쓰는걸 보면 무한이란 개념을 엄밀하게 안 다루고 그냥 굉장히 큰 양, 굉장히 작은 양으로 생각하는 듯

[@mathddang]

04:50 상엽쌤이 찐텐으로 수학을 재미있어하는 표정

[@jamonglime]

선생님ㅠㅠㅠ 돌아오셔서 너무 좋아요!! 계속 기다리면서도 많이 걱정이 됐었는데 영상 업로드해주셔서 너무 감사합니다!!

[@Young.0705]

오랜만이에요 ㅋㅋㅋ

[@user-gi8zb4tu8y]

다시 오셔서 너무 좋아요!! 유익한 영상 감사합니닷!!

[@walkingworld7686]

사실 수학이 어려운건 이런 개념들을 제대로 이해하지못하고 문제푸는 테크닉만을 기른 덕분아닐까요, 그런면에서 너무 주옥같은 영상이네요

[@iam2875]

반갑습니다 선생님 밝은 모습으로 ... 언제 새로운것을 배우나하고 기대했네요 궁금한 주제거리를 콕 집었네요 잘 감싱했어요 수학엔 이상엽, 역사에 황현필

[@박호진-c2k]

물리학 공부할 때 기하학적인 형태로 dx를 (엄청 작은)수로 생각하면 편함 ㅋㅋㅋ

[@33.666]

직관적으로 받아들이는게 제일 마음편하긴함 ㅋㅋ

[@TK-pl4jw]

ㄹㅇ 그게 가장 편함 그냥 dx를 순간 변화량이라고 생각하면 이해 잘됨

[@Expert_Teacher]

ㅇㄱㄹㅇ ㅋㅋㅋㅋ

[@cho8963]

정말 직관적으로 받아들이는거 하나하나 곱씹어서 이해한다라는건 비효율 적인것 같음

[@twice2742]

선생님은 수학할 때가 제일 행복해여요! 저도 행복해짐

[@정지혁-s1w]

오랜만입니다!

[@jm7783]

와... 이런 고급강의를 들을 수 있다니 정말 감사합니다

[@hoi9908]

우와아아 사랑해요 상엽쌤!!

[@user-kq8iu4bl2b]

해석학 안배운 고딩들중에서 미적분 올바르게 이해한 사람들 몇이나될까 궁금하긴함. 현대물리도 그렇고 수능 문제푸는건 쉽지만 개념자체는 좀 복잡해서