КЛАССИКА ЖАНРА! Уроки геометрии от Казакова.

ABC - прямоугольный тр-к с катетами \|2, \|8. На гипотенузе построен квадрат с центром O (O и С по разные стороны лот AB). Найти CO.

[@WalerijSchmidt-g4d]

Красивая задача . Две медианы Андрея поставили мат этой задаче . Красавчик Андрей👍

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Кажется нужно вспоминать Птолемея , так как в сумме углы АСВ и АОВ дают 180*, четырехугольник можно вписать в окружность : АВхВС=АОхСВ+АСхВО , АВ=\/2+8=\/10 , АО=ВО=АВхCos45*=\/10х\/2/2=\/5 . ВС=(\/5х\/8+\/5х\/2)/\/10=3 .

[@8spase]

Гениально!!! С квадратом!!! Прям для 8го класса👍👍👍👍👍

[@ЛекаКузнец]

Андрей-ГЕНИЙ !

[@GeometriaValeriyKazakov]

Передам!

[@AlexeyEvpalov]

ДЗ. Построив 4 зелёных треугольника внутри жёлтого квадрата, в центре получим квадрат со стороной √8-√2=√2, его диагональ 2, половина диагонали y=1.

[@ddamnkill_aka_vladimir]

согласен, тоже увидел это решение

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ndpsgu]

Единица же. И метод тот же самый, только достраиваем треугольники не снаружи, а внутри :) В итоге получаем в центре квадрат со стороной корень из двух, половина диагонали которого и будет искомым отрезком.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер. Наиисали бы подробнее для школьников.Плиз

[@ndpsgu]

@@GeometriaValeriyKazakov да куда уж подробнее? :) Достраиваем треугольники с катетами √2 и 2√2 втутри квадрата так, чтобы гипотенузы этих треугольников совпадали со сторонами квадрата. При этом меньший катет каждого треугольника будет "делить пополам" бОльший катет соседнего. Результатом построения неизбежно будет внутренний меньший квадрат со стороной √2 (его центр в силу идентичности "отсекающих" треугольников будет совпадать с центром исходного квадрата). А диагональ этого квадрата, делённая пополам, как раз и составит искомую величину.

[@ОлегПолканов-д1н]

А если с каждой стороны квадрата достроить такой треугольник, то их катеды большой одного и малый другого мне кажется образуют прямую. Тогда получим большой квадрат со стороной √8+√2 = 3√2 У которого наш отрезок искомый будет половина диагонали. Диагональ по пифагорчику 6 а половина будет соответственно 3

[@GeometriaValeriyKazakov]

супер!

[@СергейКирсанов-р1э]

Катя безусловно молодец, но Ваше решение намного проще. Я решил так же. 👍

[@ОлегПолканов-д1н]

@@СергейКирсанов-р1э увы, я просто не умею в теорему косинусов или синусов )

[@СергейКирсанов-р1э]

@@ОлегПолканов-д1н Вы, наверное, их просто подзабыли. А вот я (в этот раз обратил внимание) довольно часто про них вообще забываю: начинаю решать средствами элементарной геометрии, а когда захожу в тупик, то даже не вспоминаю про них. Теперь в следующий раз "в тупике" буду вспоминать, что у меня есть ещё два мощных средства. Кстати, досмотрел ролик до конца, узнал, что Андрей решил так же, как и мы. ЗдОрово!... 👍

[@ОлегПолканов-д1н]

@@СергейКирсанов-р1э это хорошо, когда в жизни есть место немного геометрии)

[@ХанифАбдуллин-у9ь]

С вершины С опустить перпендикуляр на АВ, потом продолжить вниз, на величину равную половине стороны квадрата и соединить с точкой О. Решая полученные треугольники получить искомое .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

Тригонометрия и аналитическая геометрия в помощь! AB = sqrt(2 + 8) = sqrt(10); M[0; 0], A[0; sqrt(10)] O = [sqrt(10)/2; sqrt(10)/2]; Опустим перпендикуляр CH на AB; sin(CAB) = sqrt(8)/sqrt(10) = 2/sqrt(5); CH = AC*sin(CAB) = 2*sqrt(2)/sqrt(5) = 2*sqrt(0.4); AH = sqrt(2 - 1.6) = sqrt(0.4); C = [sqrt(0.4); sqrt(10)+2*sqrt(0.4)]; OC^2 = [sqrt(0.4) - sqrt(10)/2]^2 + [sqrt(10)+2*sqrt(0.4) - sqrt(10)/2]^2 = [sqrt(10)/2 - sqrt(0.4)]^2 + [sqrt(10)/2 + 2*sqrt(0.4)]^2 = 10/4 - sqrt(4) + 0.4 + 10/4 + 2*sqrt(4) + 1.6 = 2.5 - 2 + 0.4 + 2.5 + 4 + 1.6 = 9. Т. е. OC = 3. (!!)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично

[@АлексейЧе-о1я]

8:31 что за задание... Ведь О - по условию центр жёлтого квадрата

[@GeometriaValeriyKazakov]

O1 центр верхнего квадрата. Найти BO1. Кстати, все нашли нормально

[@alexnikola7520]

катя наворотила триги... еле разобрался... молоток

[@GeometriaValeriyKazakov]

Алекс, это элементарно! (Катя)

[@alexnikola7520]

@@GeometriaValeriyKazakov Екатерина, открывайте подблог под руководством маэстро... название "Тригонометрия в геометрии".... и разбираем только задачи с тригой... а то у Учителя блог сориентирован на песочную и эффектную схему решений... а Вы будете бить техникой

[@adept7474]

Катя перемудрила. Без тригонометрии, используя равенство Птолемея, х = 3.

[@ddamnkill_aka_vladimir]

в Птолемее многие путаются, так что решение Кати попроще для понимания будет

[@GeometriaValeriyKazakov]

говорит, еще не проходили они Птолемея этого

[@GeometriaValeriyKazakov]

Может отдельно ее доказать (у меня то в учебнике есть, но там вроде со Стюаратом), гляну?

[@adept7474]

@@GeometriaValeriyKazakov Будут проходить в 12-м?🤨🤔

[@РозаХасанова-з7ы]

По теореме косинусов в ∆АСО можно было выразить сторону АО: 5=2+х²-2√2•хcos45. Получается квадратное уравнение. х=3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@vkr122]

Сначала докажем что диагонали обоих квадратов пересекаются в точке О, делакм поворот четырехугольника ОАСР вокруг точки О на 90 градусов допустим по чясовой , после поворота А переместится на место В (АО=ОВ и угол АОБ=90) А1С1 с СВ образует одну прямую так как углы СВА+АВК+САВ=180, СО=С1О угол СОС1=90 так три поворота и видим что диагонали большшого и желтого квадратов пересекаются в одной точке Следовательно СО бисектриса и делит АВ на отрезки в отношении 1/2, и как следствие продолжение ОС попадет на верхнею левую вершину квадрата С1 равного желтому , поставленного на нем (если опустить перпендикуляр из О на АВ то тангес угла между СО и высотой=1/3) , для симетрии построим еще квадрат равный желтому и поставим его под желтый квадрат , продолжение СО попадет в праый нижний угол К1 (по симетрии), по Т. пифагора найдем С1К1=10 ,тангенс АВС =1/2 , поделим каждую вертикальную сторону трех квадратов на 4 чясти и проведем паралельные ВС , они поделят С1К1 на 10 равных чястей ( по т. Фалеса) СО составит три таких а С1С две, следовательно СО=3 С1С=2 Тангенс СС1О1=1/2 (танг45-тангАС1С) С1О1=√5 (половина диагонали квадрата) тогда расстояние от О1 до прямий СО =1 и высота опущенная из О1 отсечет отрезок С1Х=2 но С1С=2 следовательно угол С1СО прямой и расстояние СО1=1!

[@РомаАлтынов]

1)Пусть О - центр квадрата FCPE. ∆ОЕК=∆ОСА по двум сторонам и накрест лежащим углам. Значит ОК=ОА в желтом квадрате такое возможно если О лежит на диагонале МВ. Аналогично МО=ОВ, потому О также лежит на диагонале АК. Такое возможно только если О - пересечение диагоналей, т е - центр желтого. 2) если построить доп 3 зеленых в новом квадрате, то получится маленький квадрат со стороной √8-√2=√2. Значит половина диагонали те искомое СО=√2/√2 = 1

[@Григоров_Алексей]

И снова Андрей - красавчик! При всем самом глубоком уважении к тригонометрии, Кате и, конечно, к тренеру!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Он ходы знает!

[@NataliBoshkoizLugi]

Тут реализуется фраза "горе от ума". Потому что чем больше знаний и ума, тем больше проблем. 9-классник решил задачу проще и быстрее, чем 11-классница.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Не, это я так сценарий написал. Мог наоборот. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.

[@NataliBoshkoizLugi]

@@GeometriaValeriyKazakov Я все ваши ролики смотрю, очень интересно! Правда плохо разбираюсь с тригонометрией. Школу я давно закончила, а в институте мы в основном занимались вычислением долей кровности разных пород животных и процент жирности и содержания белка в продукции животноводства и в кормах.

[@КоляЕгоров-лимб]

*Ответ: CO = 3.* РЕШЕНИЕ ниже. а) Находим гипотенузу и высоту ∆ABC: AB = c = √(8 + 2) = *√10.* h = 2S/c = √(8*2)/√10 = *2√10/5.* б) Находим части гипотенузы: xy = h² = (2√10/5)² = 40/25 = 8/5. *xy = 8/5. x + y = √10.* ⇒ t² - √10t + 8/5 = 0. t = (√10 ± √(10 - 32/5))/2 = √10/2 ± 3√2/(2√5) = √10/2 ± 3√10/10 = √10(0.5 ± 0.3). x = √10*(0.2) = *√10/5.* y = √10*(0.8) = *4√10/5.* в) Построение. Продолжим AC и отложим CO₁ = CO; соединим O₁ и O. ∆OCO₁ - равнобедренный. Проводим CH₁⊥OO₁ ⇒ CH₁∣∣ AB и H₁O = HO₁. г) Обозначим: CH₁ = с₁. H₁0 = b₁. То т. Пифагора (CO)² = (CH₁)² + (H₁0)² ⇒ *(CO)² = с₁² + b₁².* д) Находим с₁,b₁ и затем CO. с₁ = c/2 - x = √10/2 - √10/5 = √10*(0.3). b₁ = c/2 + h = √10/2 + 2√10/5 = √10*(0.9). с₁² + b₁² = (√10*(0.3))² + (√10*(0.9))² = 10(0.09 + 0,81) = 10*0,9 = 9. (CO)² = 9 ⇒ CO = √9 = 3.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Snuryus]

Четырехугольник АОВС - вписанный. Согласно неравенству Птолемея произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. или x * √10 = √2 * √5 + √8 * √5, сокращаем на √10, х = 1 + 2 = 3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, Птолемей отлично.

[@Vanson_Rad]

1) Гипотенуза пр.тр. ACB по теореме Пифагора равна √10 , это же сторона квадрата 2) Диагональ квадрата равна √10*√2 , а половина диагонали равна √5 3) Проведём отрезки AO и OB равные √5 , угол между ними прямой 4) Сумма противоположных углов ACB и AOD четырёхугольника ACBO равна 90° + 90° = 180° , значит овокруг него можно описать окружность, где AB - диаметр 5) Углы ACO и ABO равны как вписанные и равны по 45°, т.к. угол ABO образован диагональю квадрата (то же самое для угла OCB, поэтому в общем случае отрезок CO всегда будет являться биссектрисой прямого угла вне зависимости от изначального прямоугольного треугольника) 6) Применим теорему косинусов для стороны AO треугольника ACO: AO^2 = AC^2 + CO^2 - 2AC*CO*cosC √5^2 = √2^2 + CO^2 - 2√2*CO*√2/2 5 = 2 + CO^2 - 2CO CO^2 - 2CO - 3 = 0 По теореме Виета CO = 3 Ответ: 3.

[@Vanson_Rad]

ДЗ: Мы доказали, что отрезок AO является биссектрисой угла ACB, т.е. биссектрисой угла большого квадрата, а это и есть его диагональ

[@ГрантХачиянГрантАлексеевич]

Можно без тригонометрии из подобия двух пар треугольников и решив простую системку. Но парень предложил красоту!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно, можно.Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.

[@AndranikAdamyan-f3b]

Решил как Андрей. А можно и поворот применить на 90° против часовой стрелки. Так проще. Не надо рассматривать большой квадрат и диагональ.ОС=(√8+√2)/√2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@katajator4114]

А почему не применить т. Косинусов к АОС, только начать со стороны АО в квадрате. Там будет косинус 45 , выходим на квадратное уравнение и получаем х= 3. Слишком мудрено, но спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.

[@pojuellavid]

Навешиваем на оставшиеся стороны квадрата три таких же треугольника. У старого и нового квадратов центры совпадают. (√2+√8)/√2 Ответ: 3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отл.

[@adept7474]

ДЗ: окр-ть на АВ как на диаметре. ОСО₁В - вписанный 4-к. И снова Птолемей. СО₁ - 1.

[@GeometriaValeriyKazakov]

да, птолемей - отлично Может упомяну в следующем.

[@Vinografiy]

всем привет! перенести рисунок на систему координат и все получится без тригонометрии!

[@GeometriaValeriyKazakov]

да, координаткой отлично

[@polkanpolkanoff]

а 'ребятишки' у Вас не второгодники получились? :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это погодки

[@Vadim-h7f]

Андрей, это красота

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.