Konvergenz und Grenzwert mit der Epsilon-Definition prüfen (Beweis-Quickie 08)

Wie führt man einen Epsilon-Konvergenzbeweis durch? Was ist denn eigentlich Epsilon? Wozu brauche ich das? Diese und andere Fragen stellen sich Erstsemestrige im Mathematikstudium und in den Ingenieurwissenschaften. Mit diesem anschaulichen Video können hoffentlich einige davon geklärt werden.
Mitschrift: dpraesent.at/an...
Ein eigenes Video zur Erklärung der Konvergenz von Folgen ist bereits online:
• Analysis 1 - Folgen un...
Die anderen Beweis-Quickies findet ihr hier:
• Beweis-Quickies

[@fynshi0212]

Klasse Video. Ruhig und anschaulich erklärt, ohne Schnick-Schnack und gut zu verstehen!

[@caponennoreagabadass8871]

Starkes Video. Danke 🙏

[@davidpraesent]

Ich danke dir!

[@rachmaninow6606]

Lieber David, ich liebe dich mfg

[@ay8289]

eine kleine aber wichtige Frage, wie erkennst du, dass der Nenner sicherlich positiv ist ? hab das nicht verstanden (4:37)

[@davidpraesent]

Danke für deine Frage. Da die Zahl n hier nur natürliche (somit positive) Zahlenwerte annimmt, ist auch 9n sicher positiv und folglich auch 9n+3 positiv. Das ganze lässt sich auch in folgender Darstellung mit den Rechenregeln für Ungleichungen formalisieren: n > 0 9n > 9*0 = 0 9n+3 > 0+3 > 0

[@ay8289]

@@davidpraesent also weil die natürliche zahlen keine negativen Werte annehmen können heißt es, dass der Nenner immer positiv sein wird?

[@davidpraesent]

@@ay8289 Genau das ist hier der Fall. Egal welche natürliche Zahl n man in den Term 9n+3 einsetzt, man erhält immer etwas Positives.

[@ay8289]

@@davidpraesent okay vielen dank !!! Hab es jetzt verstanden 🙏🏻

[@harun1391]

Ich verstehe den Punkt ab 8:00 leider gar nicht. Woher kommt die Folgerung? Aus n > … folgt < E ?

[@davidpraesent]

Hier muss man dann in der umgekehrten Reihenfolge weiterdenken: Die Ungleichung "n > 5/(9E)" lässt sich äquivalent umformen zur Ungleichung "5/(9n) < E". Außerdem gilt laut Abschätzung/Rechnung sicher "|a_n - 2/3| < 5/(9n)" (somit auch ... < E). Daraus folgt dann (wegen der Transitivität der Ungleichungsrelation, dass "|a_n - 2/3| < E" .

[@harun1391]

Danke für die superschnelle Antwort, habe es verstanden :)

[@CHRIMEE]

Sehr gutes Video Danke :) Mal angenommen es existiert für die angegebene Folge KEIN Grenzwert dann bemerkt ich das wenn ich die Ungleichung aufstelle und diese nicht lösbar ist oder?

[@davidpraesent]

Danke für deine Nachricht! Hier eine (hoffentlich) gute Aufklärung: Mit deiner Überlegung muss man vorsichtig sein: Wenn ich für ein beliebiges ε>0 keine natürliche Zahl N und keinen Wert a finden kann, sodass für alle n > N die Ungleichung |a_n - a| < ε gilt, dann kann das zwei Gründe haben: 1. Es gibt keinen Grenzwert (die Folge ist "divergent" = "nicht-konvergent"), oder 2. ich bin nicht geschickt genug beim Rechnen/Abschätzen/Umformen. Hier die saubere Überlegung: Wenn es keinen Grenzwert gibt, dann bemerke ich das z.B. (*) daran, dass die Negation der Definition von Konvergenz erfüllt (d.h. die Definition nicht erfüllt) ist. Die Negation lautet: "Die Folge (a_n) ist divergent genau dann, wenn keine Zahl a als Grenzwert infrage kommt. Das heißt, dass es für alle Werte a ein ε>0 gibt, sodass für jeden Index N stets ein noch größerer Index n>N gefunden werden kann, für den die Ungleichung |a_n - a| ≥ ε gilt." Auf Deutsch heißt das: "Zu jeder Zahl a gibt es einen hinreichend kleinen ε-Bereich, sodass unendlich viele Folgenglieder a_n außerhalb liegen - somit kann keine Zahl a ein Grenzwert sein." LG, David (*) es gibt natürlich noch viele andere Möglichkeiten, um die Konvergenz einer Folge auszuschließen (z.B. indem man zeigt, dass die Folge unbeschränkt wächst etc., etc...).

[@mathuser1476]

Angenommen, wir hätten statt GW 2/3 vermutet, dass der Grenzwert 2.0001/3 ist. Dann hätte dann irgendwo ein Widerspruch auftauchen müssen? Falls Ja: Wo wäre der Widerspruch aufgetaucht? Falls nicht: Hätten wir im Video dann nicht gezeigt, dass nur ein Grenzwert existiert, aber wir ihn immer noch nicht kennen?

[@davidpraesent]

Widerspruch würde man hier dazu nicht sagen. Es wäre dann aber unmöglich, |a_n - 2.0001/3| gegen einen beliebig kleinen Wert Epsilon abzuschätzen, bzw. die Ungleichung wäre nicht nach n lösbar. Wenn es in so einem Fall aber gelingt, für den Betrag eine untere positive Schranke zu finden, dann hätte man schwarz auf weiß, dass die Vermutung falsch ist. Zur zweiten Frage: die Überprüfung der Definition funktioniert nur bei Kenntnis/Vermutung des Grenzwertes. Für den Fall der Unkenntnis, muss man ein Konvergenzkriterium versuchen.

[@mathuser1476]

Ok interessant, danke. Ich schätze, um das mit der unteren Schranke zu verstehen, müsste ich erstmal mir dein Video zu Supremum und Infimum ansehen.

[@wolfbirk8295]

@@mathuser1476 Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert, wie man zeigen kann... Ist eine Zahl b kein Grenzwert einer Folge a(n), so muss ein e = Epsilon existieren, dass es zu jedem gewählten N eine Nummer k > N gibt, so dass a(k) nicht in dem Intervall. ( b - e, b+e) liegt. D.h. es gilt | a(k) - b | >= e Konvergente Folgen sind beschränkt. Summen, Produkte und Quotienten konvergenter Folgen sind konvergent usw. (Ähnlich für Cauchy-Folgen...) Der Grenzwert der Summenfolge ist die Summe der Grenzwerte usw. Jede Cauchyfolge ist konvergent ( im reellen...) Cauchyfolgen kann man ohne Kenntnis eines Grenzwertes auf Konvergenz untersuchen... Siehe auch konvergente Reihen.... Je mehr man weiß, desto "schneller" kommt man zum Ziel...

[@renesperb]

Ein etwas weniger offensichtlicher Fall wäre wünscheswert.Hier sieht man nach einer Sekunde den Grenzwert , dann finde ich die ganze epsilon - Methode ziemlich überflüssig.Wenn man den Term umschreiben würde als (2 - 1/n)/(3+1/ n ) sieht man zwei Nullfolgen , die das Ergebnis offensichtlich machen.

[@davidpraesent]

Danke für dein Interesse. Die Offensichtlichkeit ist gewollt (und wird gleich zu Beginn angesprochen), da das Ziel des Videos nicht die Bestimmung des Grenzwertes ist. Vielmehr sollen die Zuseherinnen und Hörer durch dieses Video ein tieferes Verständnis vom Mechanismus erlangen, der im Kern der Epsilon-Delta-Definition steckt.

[@OMAR9705789]

Soll man beim Endergebnis 5/9 * 1/eps schreiben oder geht auch 5/9eps

[@davidpraesent]

Richtig wäre z.B. auch 5/9 * 1/eps = 5/(9eps). Vorsicht: Quasi überall wird heutzutage ein Term der Form a/bc interpretiert als (a/b)*c, d.h. ensprechend der Operatorenreihenfolge von links nach rechts. Das ist insbesondere bei Verwenden eines Taschenrechners oder Computeralgebrasystems wichtig! Liebe Grüße, David

[@ole9391]

Warum darf man hier abschätzen?

[@davidpraesent]

Das Abschätzen erleichtert uns in diesem Beispiel das Rechnen. Für andere Terme (und resultierende komplizierte Ungleichungen) ist eine Abschätzung vielleicht sogar notwendig. Dabei nutzen wir die Transitivität der Kleiner(gleich)-Relation aus. Für den Konvergenznachweis argumentieren wir dann: "Weil |a_n-2/3| ≤ (5/9)·(1/n) ist und wenn n klein genug gewählt wird, sodass (5/9)·(1/n) < ε ist (also wenn äquivalent dazu n > 5/(9ε) erfüllt wird), gilt: 'Für alle n > 5/(9ε) ist |a_n-2/3| < ε. Weil ε>0 beliebig gewählt wurde ist damit die Definition der Konvergenz erfüllt und der Folgengrenzwert ist 2/3.' "

[@exotic8580]

Richtig scheiße erklärt! Weiter so!🎉

[@Alex-mh4lt]

Es war übel gut erklärt

[@davidpraesent]

Der Kommentar des Jahres ^^