À l'aide ! Le BAC marocain m'a mis dans le mal 😢 - BAC SM 2022

[@TheMathsTailor]

Aujourd'hui le bac marocain nous fait mal avec de la géométrie complexe ! Saurez-vous me sortir de ma PLS en répondant à la dernière question ;) ?

[@mehdichibli3309]

il suffit de remplacer j^2 par -1-j puis par unicité des parties réelles et imaginaires de deux nombres complexes égaux on trouve le résultat

[@ElhanafiAhmedyassine]

Oui la réponse d mon ami est juste

[@smaillemcharki9984]

Mr. La démonstration je vais l'écrire. Mais cette équation p+qj+rj²=0 que les affixes p, q, r vérifient est une équation de caractérisation géométrique des nombres complexes. Les points P, Q et R dont les affixes vérifient l'équation forment tjs un triangle équilatéral dans IR². Pour vous faire idée utilisez M(z') pour centrer les points autour de O(0) de la le nombre complexe j multiplié par r,p ou q sera une rotation de 2π/3 d'où la question précédente sur φ. Ainsi vous arriverai à 3 égalités tel que p = p, q = j•p, r= j²•p=j•q. en sommant p+q+r = p + jp+jq Vous aurez -jp+q(1-j)+r=0 puis vous devrez manipuler pour arriver l'équation p+qj+rj²=0 en tant qu'equation de caractérisation. Étant vérifié par le triplet (p,q,r) On en déduit que le Triangle PQR est équilatéral donc ABC équilatéral. Par contre le faire sur une feuille serait plus adapté car la messagerie KZbin n'est pas conçue à la rédaction. Bonne continuation professeur

[@smaillemcharki9984]

Désolé pour les erreurs multiples. Mais sur papier ce serait mieux

[@achrafbestach960]

bonjour je suis élève de bac SM et voici ma réponse p+qj+rj^2=0 donc p+qj=-rj^2 alors p+qj=r(1+j) donc p-r=rj-qj et comme q-r non nul on a p-r/q-r = -j donc p-r/q-r= expo(i pi sur 3) Ainsi PR=QR et l'angle PRQ est égale à pi sur 3

[@wadoudbouanza]

Bonjour, je suis élève de bac SM. Et Nous avons corrigé cet examen dans la classe. Dans cette question, j'ai présenté une réponse à mon professeur, qui a beaucoup aimé. l'astuce ice et d'observer que ces trois nombres (P,Q,R) sont des racine cubiques de même nombre (c â d: P³ = Q³ = R³ ) donc et selon le cours on étudié que les les racines n eme d'un nombre forment un polygone régulier, et puisqu'il s'agit d'un racine cubique donc ce polygone est un Triangle ( alors il est équilatéral)

[@maxence3671]

Oui c'est exactement ca. D'ailleurs lorsqu'on se place dans le plan complexe, en placant j, j^2 et 1, en les reliant entre eux on le voit bien !

[@anonyme-gs7tl]

Extraordinaire frérot, c'est la meilleure méthode basé sur la déduction que j'ai vue jusqu'à maintenant

[@alphanost806]

Tout à fait ! On comprend mieux cela avec un schéma en prenant des valeurs de m particulières, ça devient tout de suite plus compréhensible.

[@mehdiassalih4568]

Excellent,très élégant sauf qu'ici on doit déduire de la question qui précède

[@wadoudbouanza]

@@mehdiassalih4568 Merci frérot, à propos de l'utilisation des données précédentes, c'est relatif car je pense que tout ce que j'ai utilisé est tiré de la question précédente où on a calculé p q et r avant de trouver que p + qj + rj² = 0, donc j'ai juste calculé p³ , q³ et r³ et déduit. .

[@watouat1013]

Pour la dernière question on a p+qj +rj²=0 Or j² =-1-j Donc p+qj-r-rj =0 donc p-r = j(q-r) On passe au module on a que |p-r|=|q-r| donc RP = QR Sauf qu'on a aussi r+pj+qj²=0 (on a multiplié par j) donc un même raisonnement amène à RQ=QP D'où RQ=QP=RP le triangle est équilatéral. Ça doit être la façon la plus simple de faire l'exercice

[@leshistoiresduperevincent]

Le fait que p-r=j(r-q) montre en fait directement que p est l'image de q par la rotation de centre r et d'angle Pi/3 et on a même pas besoin de passer aux modules

[@hassnaeelghabri3102]

Bac 2022 SM on est là ✌️😂

[@zerglingsking]

Ma réponse à la question : Si on part du point P, qu'on se déplace de Q-P, puis de R-Q puis de P-R on retombe à en P. Il suffit donc de montrer que Q-P, R-Q et P-R ont le même module : Comme 1 + j + j^2 = 0, on a aussi : p + p*j + p*j^2 = 0, donc entre autre (p-p) + (q-p)*j + (r-p)*j^2 = 0-0, donc (q-p) = -j*(r-p), donc (q-p) et (r-p) ont le même module. Pour q, on a de la même manière q + q*j + q*j^2 = 0, donc (p-q) + (q-q) * j + (r-q)*j^2 = 0, donc (p-q) et (r-q) ont le même module. Donc Q-P, R-Q et P-R ont le même module et forment bien un trajet "clos", donc PQR est équilatéral !

[@ayaipeeoiiu8151]

On introduit le lemme suivant : les racines n-ieme de l’unité sont les sommets du polygone régulier à n côtés dont le barycentre est 0 et un sommet est le point 1. Pour moi le plus élégant pour montrer que 1+j+j^2=0 c’est de dire que c’est le barycentre du triangle équilatéral dont les sommets sont les racines troisième de l’unité dans le plan complexe et donc c’est 0. On fait la même chose pour le dernier exercice : On pose J=(1-j)m/2 On a p=jJ q=1J r=j^2J (en identifiant j^2 à -1-j) On en conclut que PQR est un triangle équilatéral.

[@ericlabrique]

C'est un exercice plus général : [j ou j^2 est racine de pX^2 + qX + r] si et seulement si [(P, Q, R) est un triangle équilatéral]. C'est l'exercice 19 page 22 du Sauser d'algèbre et géométrie. De même qu'en prépas les deux livres de Gourdons sont hautement recommendables, les deux livres de Sauser chez Ellipses sont des must pour passer de la terminale à la prépa. Ils ne sont plus édités, il faut les chercher d'occasion

[@TheMathsTailor]

Merci pour la référence des bouquins !

[@medgamer6156]

Cest vrai ? Pouvez vous m'envoyer le lien du livre s'il vous plait , je prepare mon bac 2023

[@dynastykingthereal]

@@medgamer6156 Tu n'est pas FR? Les épreuves ont déjà eu lieu.

[@dynastykingthereal]

@@medgamer6156 Ou tu voulais dire 2024.

[@medgamer6156]

@@dynastykingthereal je suis marocain

[@cynoxxkh2638]

En prenant l'égalité. On peut déduire d'après 1+j+j² =0 : j² = -j -1, on remplace et on obtient le premier angle qui est égal à +-pi/3. j=-1-j², on remplace et on obtient le 2e angle égal à +-pi/3 1=-j-j², on remplace et on obtient le 3e angle qui est égale à +-pi/3 Ainsi, on déduit que le triangle est équilatéral.

[@BenoitDaune]

Bonjour, Pour la dernière question, il suffit de calculer la distance des 3 segments du triangle et montrer qu'elles sont égales. dist(PQ) = |p-q| (en utilisant la formule 1+j+j^2=0 pour simplifier le calcul et en se souvenant que |Z1xZ2| = |Z1|x|Z2| et que dans notre cas |j| = |j^2| = 1) On montre facilement que dist(PQ) = dist(QR) = dist(RP) = 3/2 |m| Qu'en pensez-vous ? Bien à vous PS : le détail du calcul dist(PQ)=|p-q| = | 1/2 m (j - j^2 - j^2 +1)| = | 1/2 m (1 + j - 2j^2) | = | 1/2 m (1 + j + j^2 - 3j^2) | = | 1/2 m (-3j^2) | = 3/2 |m| x |j^2| = 3/2 |m| dist(QR)=|q-r| = | 1/2 m (j^2 - 1 - 1 + j)| = | 1/2 m (-2 + j + j^2) | = | 1/2 m (1 + j + j^2 - 3) | = | 1/2 m (-3) | = 3/2 |m| dist(RP)=|r-p| = | 1/2 m (j - j^2 - 1 + j) | = | 1/2 m (-1 + 2j - j^2) | = | -1/2 m (1 - 2 j + j^2) | = | 1/2 m (1 + j + j^2 - 3 j) | = 3/2 |m| x |j| = 3/2 |m|

[@aydeez7254]

Oui c'est juste mais tu n'as pas "deduit" de ce qui précèdent, tu n'as pas utilisé p+qj+rj²=0 donc c'était inutile de repondre de cette question.

[@larbiouchene3566]

Comme j^2= -j-1, alors on peut facilement avoir: p+qj-r-rj=0 puis : (p-r)/(q-r) = -j et enfin (p-r)/(q-r)=e^(-pi/3) ce qui nous donne la preuve que PQ=OR et l'angle orienté (RP , RQ) = -pi/3 autrement dit le triangle PQR est equilatéral car isocèle en R avec un angle de -pi/3.

[@hmitoa]

Pour la fameuse déduction, il suffit d'utiliser l'égalité p+qj=rj²=0 pour montrer que (q-p)j=r-p (rotation des sommets du triangle équilatéral.

[@TheMathsTailor]

Yes bien joué !

[@simo_leilakarim5669]

Salut, voici ma réponse pour la c) : rj^2+qj+p=0 , donc -r(1+j)+qj+p=0 . On en tire que p-r=-(q-r)j , d'où (p-r)/(q-r)=-j=exp(-i \pi/3) . On obtient donc un argument de (p-r)/(q-r) : \arg[(p-r)/(q-r)]=-\pi/3 (mod 2\pi) , donc (\vec(RP);\vec(RQ))=-\pi/3 (mod 2\pi) Et on obtient aussi le module |(p-r)/(q-r) |=| exp(-i \pi/3)|=1 . ou encore PR=QR . Les deux résultats (\vec(RP);\vec(RQ))=-\pi/3 (mod 2\pi) et PR=QR permettent de conclure que le triangle PRQ est équilatéral :)

[@nourbelghazi4331]

on a p+qj+rj^2=p+qj-rj-r=0 donc p-r=-j(q-r) donc (p-r)=exp(Pi/3)*(q-r) donc PR=QR et l'angle PRQ=Pi/3 donc le triangle est équilatéral .

[@harrymattah418]

On faisait ça en terminale en 1987. Exactement ça.

[@TheMathsTailor]

Bac 1987 on nous l’avait mis en DS en sup 😅 un enfer de difficulté pour toute la classe!

[@m4xim1nus]

Pour la dernière question, le point clé de la résolution est de montrer que q=pj, r=qj, et p=rj. En essayant d'utiliser le plus possible le 2.a) et le 2.b) pour "en déduire" ces égalités : - En utilisant les définitions et 2.a) pj = (a'+b)j/2 = (a'j+bj)/2 = (b'+c)/2 = q - En utilisant le 2.b), pour varier : r = -pj-qj² = -q-qj² = q(-1-j²) = qj - De même, on calcule que : p = -qj-rj² = -r-rj² = r(-1-j²) = rj Bref, on a montré que la multiplication par j permute les affixes des points P, Q et R. Le triangle PQR est invariant par rotation de centre O et d'angle 2pi/3 : c'est donc un triangle équilatéral centré en O. Avis de prof de maths au collège : l'exercice est plus facile à résoudre en faisant une figure, et avec des méthodes de collège ! On trace un triangle équilatéral, on le fait tourner autour de son centre d'un angle de 60° pour former un hexagone régulier, on trace ensuite un triangle inscrit. Le caractère équilatéral du triangle PQR se déduit d'arguments de symétrie ou de rotation. Conseils aux étudiants : tracer une figure aide souvent à mieux comprendre les objets qu'on manipule, et donc à comprendre dans quelle direction aller lors de la résolution de l'exercice !

[@TheMathsTailor]

Excellents conseils merci!

[@ayaipeeoiiu8151]

Surtout que les racines n ieme de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés donc la géométrie permet de résoudre le problème. Bon réflexe

maaaaais, euuuuuu .... c'est ce que je ne cesse de répéter à mes élèves: la plus souvent, lorsque deux questions se suivent, la précédente sert à la suivante... Soit, ici, p = -qj-rj^2. Et ensuite calculer les modules assez rapidement des affixes des trois côtés en utilisant toujours 1+j=-j^2. Ca se fait très vite.

[@salomonmalka9413]

Dans l avant derniere, on peut remarquer que p, q, r se factorisent par un meme nombre fois 1, j et j^2 respectivement. Donc q/p et p/r et r/q nous donne j, ce qui se traduit par un angle entre OQ, OP et OR de 120 degrees, d' ou PQR est equilaterale centre en O ou O est le point d'affixe 0

[@mehdiassalih4568]

Pour la dernière question, on a: p+qj+rj^2=0, c'est à dire p-q+q+qj+rj^2=0, d'où:p-q+q(1+j)+rj^2=0,comme 1+j=-j^2,alors: p-q-qj^2+rj^2=0, donc: p-q=j^2(q-r), par suite: \frac{q-p}{q-r}=-j^2, d'où \frac{q-p}{q-r}=e^{-ipi}.e^{i4pi/3}, finalement:\frac{q-p}{q-r}=e^{ipi/3}, quand on passe aux modules on trouve |\frac{|q-p|}{|q-r|}=|e^{ipi/3}|=1, d'où: QP=QR. D'autre part la mesure de l'angle RQP modulo 2pi est celle de arg(\frac{q-p}{q-r}) qui est d'après ce qui précède pi/3. Finalement: QP=QR et RQP=60°, donc le triangle RPQ est équilatéral

[@mehdiassalih4568]

J'espère que ma réponse est lisible 😅

[@aminejadyani5651]

​@@mehdiassalih4568 hadchi daz l3am li fat o huwa ylh mdareb m3ah 😂

[@guillaumeabadie7178]

"Une technique de sioux".... Voilà une expression que je n'avais pas entendue depuis longtemps.... 😄

[@ziyadotmani2321]

salam je pense que c'est un peu facile en utilisant la propriété suivante "PQR est un triangle équilatéral équivalant à dire que (p-q)/(p-r) est un nombre complexe de module 1 est d'argument +-60°" donc d’àprés l’équation ci dessus ça donne directement le résultat pour plus de details tu peux me contacter

[@lecharbonmedia]

Cet exercice m'a rappelé de mauvais souvenirs en géométrie sur mon Bac S 2010 ! A l'époque, on étudiait les rotations et les similtudes et l'exercice du Bac ressemblait à ce genre de choses : à cause de lui, j'ai perdu beaucoup de points parce qu'il y avait plusieurs transformations différentes et je me suis mélangé les pinceaux. Content de voir que certaines épreuves du Bac de math dans le monde demandent encore de la réflexion. On verra plus ce genre de choses en France à mon avis ;)

[@TheMathsTailor]

Passé en 2007 j’avais eu le même genre de chose 😄

[@gaminologue]

J'aurais tellement aimé avoir un exercice là-dessus à la place de l'exercice débile de proba que j'ai eu quand j'ai passé mon bac...

[@lecharbonmedia]

@@gaminologue les proba c'est pas des math comme j'ai l'habitude de dire :D

[@felixc2271]

@@lecharbonmedia Je peut te dire qu'en prépa les probas c'est bien autres choses, les exercices de probas au concours sont les pires et les plus durs (selon moi) surtout quand on introduit des variables aléatoires

[@lecharbonmedia]

@@felixc2271 je suis au courant, je suis sorti de prépa en 2012 ;)

[@alisidiali6593]

Bah tu sais ? Nos parents avaient des bacs bieeen plus difficile que les notres je vous assure c'est surtout 2005 vers les années mille neuf-cent si tu veut les travailler ils avaient un niveau tellement supérieur aux notres 🇲🇦

[@TheMathsTailor]

Déjà que celui ci me met en PLS, tu veux que je tombe dans le coma 😂

[@alisidiali6593]

Hhhhhhh non je vous informe c'est tout hhhh merci d'avoire répondu c'est coule

[@alisidiali6593]

🙏🙏🙏

[@TheMathsTailor]

Hehe je rigolais c’est top j’irai voir le sujet s’il y a une bonne vidéo à faire

[@oualidrahmani907]

bonjour je suis eleve de bac SM et j'ai deja travaille ce sujet et j'ai trouve 2 reponses a cette question la premiere est de mentionnee que p q et r seront des racines cubiques d'un meme nombre cela est verifiable si on leve p au cube, q et meme r (elle donne 0) et donc les trois forment un triangle regulier (equilateral) l'autre methode que j'ai originalement utilise est de remplacer j^2 par -(1+j) et donc apres un peu de calcul on trouve que le rapport de p-r sur q-r donne - j et donc facilement montrer que le triangle est equilateral

[@TheMathsTailor]

J’adore ta première méthode !

[@salimbenhamida2239]

C'est géométrique en fait quand on fait une rotation d'angle pi /3 de 3 points on va obtenir un triangle equilateral et on peut remarquer que si on calcule les affixes de P Q R on trouvera qu'ils ont subi une rotation d'angle pi /3

[@nicolaspendeliau6858]

Salut je propose ça pour la solution, PQR est équilatéral ssi RQ=RP et (RQ,RP)=pi/3 (mod 2pi)

[@omarerraji4531]

Dans la dernière question il suffit d'avoir un réflexe inverse de ce que tu as fait le long de l'exercice .. On remplace le j^2 par -1-j On obtient p+qj-r-rj=0 Donc ( p-r) = -j(q-r) On applique l'argument et le module sur la relation on obtient PR=QR et l'angle entre PR et QR vaut ,π/3 Donc PQR est un triangle equilatéral

[@narcoan]

C'est aussi ma reponse

[@eurk3957]

exp(i*pi/3) = -j^2, il faut donc montrer que (q-p)(-j^2) = r-p, ce qui est équivalent en développant à p + qj + rj^2 = 0, qui est vrai par la question précédente.

[@self8ting]

On tire de p + qj + rj² = 0 que 1 + q/p j + r/pj² = 0 puisque p != 0 Alors q/p j et r/p j² sont dans {j, j²} Comme q !=p et r !=p on en tire q/p j = j² et r/p j² = j En simplifiant on obtient q = jp et r = j²p Donc Q est l'image de P par une rotation de centre O et d'angle 2pi/3 et de meme R par une rotation de centre O d'angle 4pi/3 Donc PQR est equilateral

[@anasselmoubaraki9410]

une facon assez simple de proceder serait de developper une premier fois j^2 en -(1+j) du cote de de r pour obtenir |p-r|=|q-r|. On en fait de meme pour j (lie a q) en l'ecrivant -(1+j^2) om montre par cela que |p-q|=|q-r| on peut donc en deduire |p-r|=|q-r|=|p-q| donc le triangle est equilateral

[@smaillemcharki9984]

Mr. La démonstration je vais l'écrire. Mais cette équation p+qj+rj²=0 que les affixes p, q, r € C vérifient est une équation de caractérisation géométrique des nombres complexes. Les points P, Q et R € IR dans la base ((1,0),(0,1)) dans IR² centré en (0,0) dont les affixes vérifient l'équation forment tjs un triangle équilatéral dans IR². Pour vous faire idée utilisez M(z') pour centrer les points autour de O(0) de la le nombre complexe j multiplié par r,p ou q sera une rotation de 2π/3 d'où la question précédente sur φ. Ainsi vous arriverai à 3 égalités tel que p = p, q = j•p, r= j²•p=j•q. en sommant p+q+r = p + jp+jq Vous aurez -jp+q(1-j)+r=0 puis vous devrez manipuler pour arriver l'équation p+qj+rj²=0 en tant qu'equation de caractérisation. Étant vérifié par le triplet (p,q,r) On en déduit que le Triangle PQR est équilatéral donc ABC équilatéral. Par contre le faire sur une feuille serait plus adapté car la messagerie KZbin n'est pas conçue à la rédaction d'où erreurs multiples. Bonne continuation professeur

[@smaillemcharki9984]

Niveau Terminale S

[@SimoneChoule81]

Ce n est pas étonnant que l on trouve beaucoup d'étudiants marocains a Centrale et polytechnique

[@Igdrazil]

Je ne comprend pas ce qui vous a bloqué à la dernière question car la déduction est immédiate. L'équation algébrique précédente n'est en effet qu'une écriture complexe de la nature équilatérale du triangle. Car ce n'est que la somme des trois racines de "l'unité", mais avec une simple homothétie centrale de rapport k=|p|=|q|=|r|=m/2 En effet p=m/2 q=mj/2 r=mj^2/2 Ainsi p+q+r = (1+j+j^2)m/2 = 0 Et p+qj+rj^2 = (1+j^2+j)m/2 = 0 On retrouve donc exactement la formule liant les trois racines cubiques de "l'unité" (ici de valeur m/2), séparées d'un angle de 2π/3. L'action de j sur q et de j^2 sur r ne produit qu'une permutation des deux sommets sans influence sur la nature équilatérale du triangle. Autrement dit, ces equations de sommes des affixes des sommets, ne sont qu'une réécriture complexe de la formule barycentrique vectorielle bien connue, stipulant que la sommes des trois vecteurs de normes égales, reliant l'origine aux trois sommets, est nulle. C'est précisément une définition d'un triangle équilatéral. Mais cette dernière question peut tout aussi bien se démontrer immédiatement sans aucun calcul par un simple raisonnement géométrique de Collège. Le triangle de départ ABC en effet étant équilatéral de par la formule donnant la somme nulle des trois racines cubiques de l'unité, le triangle image par la rotation centrale Phi l'est tout autant. Par symétrie, le triangle dont les sommets sont les milieux deux à deux, des deux triangles équilatéraux précédents, est donc lui aussi équilatéral. QED

[@TheMathsTailor]

Merci pour l’explication! C’était aussi l’occasion de lancer un défi sympa à mon audience 😄

[@Igdrazil]

@@TheMathsTailor Oui j'avais compris que vous "prechiez le 'faux' pour susciter l'émulation". Excellente technique pédagogiques et empathique 😂 Le "problème" de ce problème est qu'il est très redondant. Ce qui le rend facile dans le sens qu'il y a de nombreuses options assez simples qui mènent à Rome. Les simples formules minimalistes de p=m/2, q=mj/2 et r=mj°2/2 suffisent à conclure au caractère équilatéral du triangle cocyclique au cercle central de rayon m/2. Ou encore, par suite, la formule plus simple p+q+r=0, le confirmait à nouveau. Enfin, la formule du 2) ne rajoute rien et est assez maladroite pour une rédaction d'un sujet. Elle sert surtout à embrouiller les esprits. En revanche elle introduit une subtilité triviale mais intéressante par rapport à la précédente p+q+r=0. Elle permute en effet simplement les deux sommets Q et R en laissant P inchangé. Cela n'a strictement aucun intérêt pour ce sujet là, mais je soupçonne les rédacteurs de l'avoir tiré sans trop se poser de question, d'un sujet de concours sur la théorie de Galois, où les permutations des racines jouent le rôle central dans la chaîne des corps du groupe de Galois de l'équation algébrique. Les questions de ce problème devaient constituer le tout début du sujet de concours. Ce qui expliquerait l'usage de cette dernière équation inutilement compliquée pour en déduire l'equilatéralité du triangle. Néanmoins la plus fulgurante déduction obéissante que demande l'énoncé, me semble la suivante : p+qj+rj^2 = (1+j°2+j)m/2 = 0 Et rien de plus, car tout y est contenu. Il s'agit bien des trois racines de "l'unité" séparées de 2π/3. Cette "unité" commençant simplement en l'affixe m/2 du repère canonique initial. C'est une simple rotation et homothétie globale du plan complexe initial. Je ne vois pas plus court.

[@TheMathsTailor]

Excellent ! Merci de votre partage si complet ;) En effet c'est une rédaction courte et efficace !

[@oussamabengueddour6804]

j'ai passé ce bac , mauvais souvenir hhhhhhhhhhhhh

[@hamdisghir]

Presque la même idée bac Tunisien 2016 section math

[@evp-everythingvideospro6336]

pour (z1+ z2)^2022 on a déjà une propriété en cour qui nous dit que ; z1+z2 = -b/a

[@TheMathsTailor]

Ha mais oui très bien ! J’ai utilisé celle du produit juste avant et n’ai pas pensé à celle ci 😅

[@Aaaaaa-fk4mg]

J'ai passe cet examen j'ai eu 16.5 ce qui est difficile c'est l'arithmétique et les derniers qsts des structures

[@MrArabo]

Merci pour la vidéo , Obs : Ca suffit de rajouter le drapeau Marocain sur une vidéo pour avoir plus de vus

[@TheMathsTailor]

Haha là j’ai bien aimé mettre la PLS 😂 mais j’y penserai !

[@BloodySaad4257]

Changer j² par -1-j dans l'équation Puis factoriser par j Jouer avec les paramètres Vous aurez arg(p-r/q-r) =4pi/3 mod(pi) Ce qui est pi/3 mod(pi) Alors PQR est equilateral J'aurais mon bac SM cette année

[@TheMathsTailor]

Au top! Courage pour le bac!

[@BloodySaad4257]

@@TheMathsTailor j'ai oublié de dire: J'aurai mon MAROCAIN bac SM cette année J'aurai besoin de tout le courage nécessaire

[@TheMathsTailor]

Oui j’avais supposé, y a qu’au Maroc qu’on appelle ça SM je pense ;) Bonne chance!

[@Igdrazil]

Il suffit de remarquer immédiatement que le produit des racines a et b vaut : ab= jm^2= m(mj) Et que leur somme vaut : a+b= - mj^2 = m(1+j)=m + mj Pour conclure sans plus de calcul que les deux racines sont distinctes et valent m et mj. Cela devrait être le premier réflexe de base des étudiants comme des professeurs, face à une équation quadratique. Le calcul du discriminant étant souvent la solution laborieuse inutile comme ici.

[@TheMathsTailor]

En effet je suis pour trouver les racines évidentes! Très bien comme méthode

[@Igdrazil]

@@TheMathsTailor Pas seulement, car même dans le cas de racines non évidentes, les deux polynômes symétriques renseignent sur le signe des racines et leur position relative. C'est en outre la bonne porte d'entrée pour la factorisation des degrés supérieurs, grâce aux deux types de polynômes symétriques dont Newton a donné la subtile correspondance, puis la Resolvante de Lagrange et enfin la théorie de Galois. Les polynômes symétriques devraient de toute façon être étudiés pour eux même déjà, par leur beauté symétrique et l'arithmétique supérieure qui se cache dans leurs entrailles. Ce sont des jalons fondamentaux de la pensée, bien plus important que la simple formule toute faite de bachotage du discriminant. Ce sont les algorithmes généraux de factorisation qui sont important. Celui de la complétion du carré comme emblème

[@TheMathsTailor]

Très juste !

[@Algorios]

On dispose de deux égalités: p+qj+rj²=0 1+j+j²=0 soit p+pj+pj²=0 q+qj+qj²=0 r+rj+rj²=0 Il s'ensuit que (q-p)j-(p-r)j²=0 -(q-p)+(r-q)j²=0 (p-r)-(r-q)j=0 CDFD

[@smaillemcharki9984]

Le triangle PQR est équilatéral directement si et seulement si p + qj + rj² = 0. D'où l'équation initiale mais la démonstration complète de pourquoi ça marche, je vous demande de m'envoyer un lien messenger pour vous envoyer pourquoi

[@meryemy446]

L'examen du 2021 c'était le plus difficile croyez moi

[@omaramrane6404]

On pourrait dans l'expression de Q reconnaître l'identité remarquable j^2- 1 ce qui pourrait faciliter le calcul des arguments

[@TheMathsTailor]

En effet !

[@dulot2001]

On soutrait p(1+j+j²) à la relation. On obtient : j(q-p)+j²(r-p)=0. Donc : (q-p)/(r-p)=-j=e^(-i pi/3) d'où cqfd

[@Harbo1003]

Il n'y a pas de hasard

[@alisidiali6593]

Trop fort notre bac marocain 🇲🇦

[@thefinancer369]

trop fort mais en se fait bz chaque fois XD

[@dracogaming55levrai56]

😂

[@milanoparis3945]

La dernière question des nombres complexes : On a p-q/r-q = -qj-rj^2 -q/r-q =-q(1+j)-rj^2 / r-q =qj^2 -rj^2 /r-q =-j^2 Don |p-q/r-q|=1 et arg ( p-q/r-q) congru à p/3 [2p] D’ou la conclusion ….

[@harryb5648]

Hello ! Merci pour ces vidéos, le format est génial (et la correction est super fluide, comme d'hab !) Pour la solution, je propose : p + qj + rj² = 0 (*) => p + qj + r(- 1 - j) = 0 => p + qj - r - rj = 0 => p - r = rj - qj => p - r = (r - q)j => | p - r | = | r - q | => PR = RQ De même, p + qj + rj² = 0 => pj + qj² + rj³ = 0 (je multiplie par j des deux côtés de l'égalité) => r + pj + qj² = 0 (je réarrange les termes par puissance croissante en j, en ayant simplifié rj³ = r car j³ = 1) => RQ = QP (il suffit de remarquer que l'équation précédente est de la même forme que (*), et que les rôles de p, q et r sont symétriques) Il vient : PR = RQ = QP Le triangle PQR est équilatéral

[@TheMathsTailor]

Merci trop sympa ! Bonne variante en utilisant que les côtés ;) les autres réponses utilisent les angles souvent

[@harryb5648]

@@TheMathsTailor Yes !

[@anouarbennis4719]

bonjour, Voila ma solution: |p-q|=|-qj-rj^2-q|=|q(-j-1)-rj^2|= |qj^2-rj^2|=|q-r| (|j^2|=1) Même travail en remplaçant q (On multiplie l'équation par j^2)

[@philippefrit7036]

Bonjour à tous, je tente ça : A) Solution géométrique qui ne tient pas compte de la question (b) : Par construction, les points A, B, C, A’, B’ et C’ sont cocycliques (cercle de centre O et de rayon |m|). En effet, B est l’image de A par rotation autour de O d’un angle arg(j) = 2π/3. Idem pour C par rapport à B, avec pour conséquence que ABC est un triangle équilatéral centré en O. De la même manière, A’, B’ et C’ sont les images respectives de A, B et C par rotation autour de O d’un angle arg(-j^2) = π/3 (voir question II1), avec pour conséquence que A’B’C’ est aussi un triangle équilatéral centré en O et que AA’BB’CC’ forme un hexagone régulier. Il en résulte que P, Q et R, les milieux respectifs des côtés [BA’], [CB’] et [AC’] de l’hexagone sont cocycliques et forment un triangle équilatéral centré en O (puisque P, Q et R sont les milieux d’un côté sur deux de l’hexagone régulier AA’BB’CC’). B) Solution un peu plus algébrique, en partant de (b) (c’est ce qu’on demande) : p + qj + rj^2 = 0 p - q(1 + j^2) + rj^2 = 0 [car 1 + j = - j^2, d’où j = - (1 + j^2)] p + qj + rj^2 = 0 p - q - qj^2 + rj^2 = 0 p + qj + rj^2 = 0 p - q + j^2(r - q) = 0 p + qj + rj^2 = 0 p - q = - j^2(r - q) p + qj + rj^2 = 0 p - q = e^iπ/3(r - q) La dernière égalité signifie que P est l’image de R dans la rotation de centre Q et d’angle π/3. D’où QR = QP et angle PQR = π/3. Le triangle PQR étant isocèle en Q on a : angle QRP = angle RPQ = (π - angle PQR)/2 = (π - π/3)/2 = π/3 . On a donc angle PQR = angle QRP = angle RPQ = π/3 le triangle PQR est équilatéral.

[@TheMathsTailor]

J’adore la première merci!

[@ianisskinsuit4213]

Quelle est le plus dur entre un bac marocain et un bac tunisien ?

[@TheMathsTailor]

Souvent le marocain filiere SM je dirais mais ça dépend des années et je connais pas tout 😄

[@karimsahraoui-rg1fk]

On peut voir que (p-r)/(q-r)=-j. On en tire que PR=QR et que l angle geometrique PRQ est vaut pi/3. Donc le triangle est equilateral

[@karimsahraoui-rg1fk]

Car isocèle en R avec un angle de pi/3

[@jdididkej7633]

Bonjour en terminale maths expertes, j’avais eu à faire à dès questions du type montrer que par exemple ABCD est un parallélogramme. Il fallait montrer que les modules des distances des côtes opposées et de même sens sont égaux. Est ce que ce serait pas un raisonnement similaire ?

[@TheMathsTailor]

C’est une solution! Ici le plus rapide est de jouer avec les angles également ;)

[@manuelnsiemeni7030]

Essaye le bac camerounais de 2016 en descendant u m’en donnera des nouvelles

[@TheMathsTailor]

Yes je vais regarder ça merci :)

[@alaeddinechoukr-allah5926]

Je confirme j'ai eu chaud au cul

[@oussamabenohod4703]

P+qj+rj^2=p+qj+r(-1-j) Tu développes puis Tu auras P-r+j(q-r)=0 Donc (p-r)/(q-r) = -j = exp(i*pi)*exp(i*2pi/3)=exp(-i*pi/3) Or module((p-r)/(q-r))=1 Donc QR=PR et arg ((p-r)/(q-r))congrue [-pi/3] mod[2*pi] D’où PQR est un triangle équilatéral

[@bibou1798]

Heu raide mais pas impossible.. par contre je ne sais pas si c'est du programme de terminale p+qj+j²r = 0 p + q(1+j - 1) + j²r = 0 p + q (-1-j²) + j²r = 0 p-q-j²q+j²r = 0 p-q = -j²r+j²q (p-q) / (r-q) = -j² = exp( i Pi/3) donc PQR equilatéral sens direct (il me semble que ca a un lien avec le produit scalaire sur les complexes... Mais désolé ca remonte tout ca :) ) Bon je suis bien rouillé... Mais qu'en penses tu ?

[@TheMathsTailor]

Bien joué! 😊

[@amalraffaa6104]

On va utiliser la relation célèbre qui dit que z+z =-b/a

[@البطل-ع3م]

Essayez de retrouver le bac SM de 1977 et vous verrez la différence avec le niveau modeste d'aujourd'hui 😂😂😂

[@zakariamouqcit4975]

Votre réflexion est modeste

[@milanoparis3945]

Svp pouvez-vous me donner le lien ?

[@milanoparis3945]

Ou me contacter pour me le donner

[@ihopeyoulikeit4394]

Y'a pa difference

[@ONLYSLOWED.]

Hahag

[@fstaccato]

On peut commencer à remarquer que l'on a également p + q + r = 0 (vérification triviale). Par soustraction avec l'égalité p + qj + rj² = 0, on obtient (1 - j)q + (1 - j²)r = 0 En factorisant 1 - j² puis divisant par 1 - j, on en déduit q + (1 + j)r = 0, d'où q = j²r ou encore, après multiplication par j, r = jq. En remplaçant dans l'une des deux égalités, on obtient p + (1 + j)q = 0 d'où; comme précédemment, q = jp. On voit ainsi que Q et R sont obtenus en appliquant successivement à P la rotation d'angle 2pi/3 et de centre O, ce qui montre finalement que PGR est équilatéral. (Il ne me semble pas, en survolant, avoir vu utiliser l'égalité p + q + r = 0, c'est pourquoi je poste... mais il y a peut-être plus rapide, je n'ai pas eu le temps de tout lire 🙂)

[@marwan4education40]

2:24 m²j⁴-4m²j= m²(1-j)² (j⁴-4j)= 1-2j+j² j⁴-j=1+j+j² j(j³-1)=0 0=0 C'est vrai alors m²j⁴-4m²j = [m(1-j)]²

[@fstaccato]

Je reposte : un truc me chiffonnait avec ma 1e proposition, c'est que l'égalité p + jq + j²r = 0 devait suffire sans qu'e l'on ait besoin d'en adjoindre une 2nde (en fait tout triplet se substituant à (p ; q ; r) dans l'égalité serait formé des affixes des sommets d'un triangle équilatéral). En y remplaçant j² par - 1 - j, on obtient p - r = - j(q - r) d'où (p - r)/(q - r) = - j. Il en ressort : |p - r| / |q - r| = | - j | = 1 d'où |p - r| = |q - r| c.-à-d. RP = RQ et l'angle de vecteurs (RP ; RQ) = arg( (p - r)/(q - r) ) = arg( - j) = - pi/3 On en déduit que PGR est équilatéral. Cela étant, je vois que certains ont déjà donné la même idée !

[@BenjaminFAVETTO]

p +qj + rj^2=(p-q)+j^2(r-q) =0. Donc p-q = e^(-i π/3) (r - q) d où le résultat.

[@florent5980]

Au final l'exercice fait peur mais n'est pas si difficile. Un bon élève de Tle maths expertes pourrait s'en sortir je pense (avec peut-être plus de mal pour la question 2.b et la dernière qui demandent un peu d'intuition). Notamment cette dernière question est assez classique en soit, on peut par exemple la retrouver à la page 73 du sésamath 2020, la difficulté c'est que telle qu'elle est posée c'est une question ouverte. En tout cas les explications étaient très claires, vidéo intéressante 👍

[@TheMathsTailor]

Merci Florent !

[@fumiko3449]

Sauf que nous ça c'est l'exo le plus facile si on revient un peu dans le temp pour voir nos anciens examens nationaux vous allez voire une autre difficulté

[@mchic7354]

Au Maroc ils ont encore un vrais bac, en France faut vraiement etre une cloche pour pas avoir son bac.

[@sk1nnyboyfn368]

hamdoulah j pris geo po

[@mohamedelmellass4695]

PQR est un triangle équilatéral ssi PQ=PR=QR PQ=|p-q|=|-qj-rj^2-q|=|-q(1+j)-rj^2|=|qj^2-rj^2| =|q-r|×|j^2|=|q-r| =QR PR=|p-r|=|--qj-rj^2-r|=|-qj-r(1+j^2)|=|-qj+rj| =|r-q|×|j|=|r-q| =QR Donc: PQ=PR=QR Alors : (PQR) est équilatéral.

[@kamalnaili4969]

Dark souls des bacs...

[@TheMathsTailor]

😄

[@elyesaissa-q5x]

p+qj+rj²=0 on remplace j² par -1-j on aura p + qj -r -rj =0 equivaut à (p - r)/(q-r) = -j or -j est d'argument -pi/3 et de module 1 alors |p-r|=|q-r| et arg([p-r]/[q-r])=-pi/3 d'ou PQR est équilatéral

[@TheMathsTailor]

Bien joué!

[@officiel_azn]

Euh il y a une erreur -1= exp(ipi) pas exp(-ipi)

[@TheMathsTailor]

Au final c’est pareil car on est modulo 2Pi ;)

[@admathematics6709]

P+qj+rj²=0 On divse tout par j² P⁄j² +q/j +r=0 on sait que j³=1 Pj³/j² +qj³/j +r =0 (×-1) -pj-qj²-r=0 P(1+j²)-qj²-r=0 -(qj²-pj²)=r-p -j²=(r-p)/(q-p) On sait que -j²=exp(iπ/3) (r-p)/q-p)=exp(iπ/3) Module |(r-p)/q-p)|=1 |r-p| /|q-p| =1 RP/PQ=1 donc RP =PQ (1) ET on a : Arg((r-p)/(q-p))=π/3[2π] On sait que d'aprés le cours :Arg((r-p)/(q-p))=(PQ;PR)[2π] D'oú: (PQ;PR)=π/3[2π] (2) De (1) et (2) on déduit que PQR est un triangle équilatèral

[@SenpaiDaT]

On a p + qj + rj² =0 donc p (-j²-j) + qj + rj² =0 (car j²+j+1=0 ie 1=-j-j² ) donc j² (r-p) + j (q-p) = 0 donc (q-p)/(r-p) = -j = e^i(2pi/3 + pi) = e^i(-pi/3) d'ou PQR est équilatéral

VIVE L'AMITIE PROFONDE FRANCO-MAROCAINE ! Je suis de nationalité marocaine et j'ai fait toutes mes études dans des lycées français au Maroc ou en France, primaires et secondaires de l'école André Chénier à Rabat, en passant par le lycée Descartes (bac 1990, 22,5/20 😛en maths) puis la fac Paul Sabatier à Toulouse. C'est pour ça que cette vidéo me va droit au coeur. Je vis aujourd'hui au Maroc et comme la plupart d'entre-nous, on suit au quotidien ce qu'il se passe chez vous. Mes parents et grands-parents aussi ont eu des parcours similaire au mien et Dieu sait à quel point on aime ici la culture française. Vous en avez la preuve: les épreuves du Bac marocains sont rédigées en Arabe et en Français ! Malgré les bêtises entre les gouvernements, puisse Dieu nous laisser liés à jamais par cette amitié très particulière entre nos deux peuples. Et comme on dit en Arabe "el hemdoulleh pour votre doigt" 🙂

[@mimabymar9226]

Au risque de te décevoir mais il n’y a plus d’amitié franco-marocaine ! Les relations sont presque rompues et tant mieux ! Y en a marre de la main-mise de la France sur notre Maroc et aussi marre de la francophonie omniprésente. On est pas une colonie

[@zakidine]

On aime la langue française pour sa beauté mais de nos jours l'anglais est plus véhiculaire

[@ericlabrique]

0 = p + q.j + r.j^2 = p + q.j +r.(-1-j) = (p-r) + (q-r).j d'où p-r = (-j).(q-r) p-r est l'image de q-r par la rotation d'angle -pi/3 d'où triangle équilatéral. Si la rotation ci-dessus n'est pas au programme, on a |p-r| = |-j|.|q-r| = |q-r| On a aussi 0 = p + q.j + r.j^2 = 1.p + q.j + r.j^2 = (-j - j^2).p + q.j +r.j^2= j^2.(r - p) + j.(q - p) Donc q - p = -j.(r - p) puis |q - p| = |r - p| = |p - r| = |q - r|, les 3 longueurs des côtés sont égales, le triangle est équilatéral.

[@kelvinlefort]

Juste trop fort 👏

[@TheMathsTailor]

Vous êtes le premier :D !!

[@Sprnn2017]

9wdnaha

[@anaszin4153]

Yes bro 😂😂😂

[@mohammedot2830]

C'est banale . Tu est un prof uncapable monsieur

[@speedsterh]

2 fautes d'orthographe dans ton commentaire.

[@mohammedot2830]

@@speedsterh j'ai juste essayer d'écrire avec français et de fait comprendre les gents comme se putin que les vrai professeur français ils ont des hautes niveau pas comme se putin

[@reyz9761]

​​​@@mohammedot2830 mais qu'est ce que tu racontes ?

[@mohammedot2830]

@@reyz9761 ??☹️

[@hannibalmugen]

Et toi un être humain des plus bête et médiocre pour ainsi être condescendant et ne pas avoir remarqué qu'il a fait celà pour susciter du clic et tu es tombé dans le panneau ya bou rass

[@atlaslion.5869]

Utliser chat GPT 😂😂😂

[@TheMathsTailor]

J’ai essayé il est pas super bon en maths 😜

[@atlaslion.5869]

@@TheMathsTailor 🤣🤣 rien de mieux que le cerveau humain alors