L'incroyable puissance: 0 exposant 0. (0 ^ 0). Pourquoi est-elle indéfinie?

Pourquoi que 2^0 = 1, 3^0 = 1... etc., mais que 0^0 = ERROR!
Écoutez cette vidéo et vous allez en ressortir grandi!

[@Carlos-qz7ul]

Cette capsule m'a projeté dans les étoiles. J'adore votre dynamisme, et je constitue une collection de profs survoltés sur le net qui me font passer d'excellents moments, et apprendre pas mal de choses au passage... Soyez-en remercié. Un amateur outre-Atlantique °!°

[@sirene18]

Excellente démonstration ! Merci 😊

[@chaymaeelghazoua3885]

Bravo Monsieur tu explique Bien .

[@pyramgermainlaurent2567]

Très génial super cools la vidéo

[@Paul-zy3wg]

Bonjour Pascal, c'est vrai que fx = x^x est continuable en 0 par 1, mais ce n'est pas tout le temps vrai Par exemple fx = x^(1/ln(x)) : x et 1/ln(x) tendent vers 0 quand x tend vers 0 mais cette fonction tend vers 0 car 1/ln(x) va très "doucement" vers 0 par rapport à x. C'est pour ça que dire 0^0 = 1 est faux, car toute les fonctions ne donnent pas cette valeur par continuité. Paul

[@dadachan_]

Ma video préféré!! La plus captivante m. bourdeau!

[@globetrader7234]

Pascal ...le bien nommé! Merci !

[@olivierdesjardins5996]

Video incroyable !

[@peneloperoy]

vidéo fantastique

[@Faxbable]

Pascal, ton approche de 0^0 en terme de limite justifierait plutôt d'accepter 0^0 comme égal à 1, justement. Il n'y a pas d'indétermination ici (sinon où ça ? car je l'ai manquée). Il suffirait de justifier cette valeur en invoquant le prolongement par continuité de x^x en zéro... ...de la même manière qu'on peut définir naturellement 0^r := 0 pour tout réel r>0, bien que pour r>0 réel, a^r ait pour définition e^(r×ln(a)), qui n'existe que pour a>0 : le prolongement par continuité pour 0^r (avec r>0) vaut 0, ce qui est incontestable. Et donc 0^r = 0 si r>0, fin de l'histoire :) En fait, s'il fallait défendre le fait qu'on ne puisse légitimement définir 0^0 comme égal à 1 en invoquant à juste titre une indétermination, et ne pas accepter le prolongement par continuités dans ce cas, j'invoquerais plutôt cet argument : Contrairement à la fonction x -> x^x qui a en effet limite 1 en 0, la fonction de deux variables (x,y) -> x^y, elle, n'a pas de limite en (0,0) et ce, même si on se restreint aux x,y positifs. En effet, x^0 vaut 1 pour tout x>0 MAIS 0^y vaut plutôt 0 pour tout y>0 (ce que je disais plus haut avec r au lieu de y). À partir de là, pourquoi privilégier la base sur l'exposant (ou inversement) dans la définition de 0^0...;) ? Bon il est vrai que dans un contexte algébriste, définir 0^0 comme égal à 1 est plutôt accepté (pour d'autres raisons)

[@domi4413]

Tout a fait ! En restant sur son exemple, la limite de x^x par valeurs négatives vaut -1. La fonction x^x est donc discontinue en zéro. C'est un autre argument.

[@Tito-xg3wb]

@@domi4413 C'est plutôt ce qu'il manquait au raisonnement non ? Montrer que x^x est discontinue en 0 revient à dire que 0^0 est une indéterminée je pense. Tout comme 1/x est discontinue en 0 donc divisé par 0 est impossible. Dites moi si c'est suffisant ou pas...

[@user-hm2pl3yp5j]

J'adore ✨

[@anonymelv9881]

Zut alors, j'ai dû tombé sur la seule machine qui pour O exposant O me donne 1 ....

[@LudovicRichardRUIZ]

C'est une machine pour physiciens. En sciences physiques, 0⁰=1 oar continuité.

[@laffairelolaestunfakedemac9695]

C'est bizarre que ça s'inverse en cours de route .. J'adore votre façon rigolote d'expliquer les maths ..

[@Absomet]

Vidéo très intéressante. En lisant les commentaires, vous devriez en faire une autre en approfondissant (voir commentaires). Pour ma part, c'est une question qui m'a fascinée depuis toujours à cause de son équivalence à la division par zéro "0/0". En fait, on voit bien l'asymétrie des maths actuelles entre "0/1" et "1/0", qui ne devrait pas exister (i.e., pourquoi "0/1" est défini, mais "1/0" ne l'est pas). C'est le problème métaphysique de la symétrie entre zéro et l'infini, qui n'a pas été encore formalisé comme il se doit par les mathématiques. Par ailleurs, en ce qui concerne "x^x", je m'étais un jour amusé à résoudre l'équation " x^x = x+1 ", par analogie avec les équations des suites de "p-bonacci", dont la dernière, la suite de "infinacci", tend vers 2, ce qui est métaphysiquement significatif. Quoiqu'il en soit, " x^x = x+1 " fait apparaître une constante irrationnelle x = 1,7767750400 ... que j'ai appelée alpha. En fait, pour aller un tout petit peu plus loin pour ceux qui sont intéressés, le problème vient du système de numération actuel dans lequel le symbol "0" joue un rôle double. La solution viendra d'une séparation bien claire de ces 2 rôles. Pour "0/0", cela veut dire que le "0" au numérateur n'est pas équivalent au "0" au dénominateur ou, d'une manière plus générale, que les numérateurs et dénominateurs de l'expression "x/x" ne sont pas les mêmes nombres!! Et cela est directement lié à la structure du continu!

[@user-vh4ly9rq5v]

C'est intéressant

[@michellauzon4640]

Pour que 0 exp 0 soit défini, il faudrait que la limite de x exposant y lorsque x et y tendent vers 0 (de toutes les façons possibles) soit toujours la même. Ce qui n'est pas le cas, comme par exemple 0 exp y tend vers 0.

[@user-fw3dd7nl7u]

Bonjour Monsieur Bourdeau je suis avec beaucoup d'intérêt et de plaisir vos capsules vos explications sont très claires et convaincantes après avoir cette capsule 0^0 et celles des dérivés secondes je me permets de vous poser une question en vue d'éclaircissement la voici: la fonctionx^x se dérive en (lnx+1)e^xlnx et s'annule quand x prend la valeur 1/e ou e^-1 mais la dérivé seconde f"(x)s'écrit si je n'ai pas fait d'erreur e^xlnx(lnx+1)^2/x le symbole^ signifiant exposant or si on remplace x par 1/e ( valeur a laquelle s'annule la dérivé première dans cette dérive seconde pour voir son signe on constate que cette dérivé seconde est nulle également ce qui laisserait penser que la courbe n 'est pas en extremum quand x=1/e bien que la courbe prend l'allure d'une boucle inversée a cette valeur comment considérer cette observation pouvez vous m'éclairer sur ce point merci pour votre réponse avec mes sincères considérations pour votre travail remarquable bien a vous Mr Tison Amiens France

[@francserres5536]

Top

[@miklmontoya863]

Bonjour monsieur Pascal Bourdeau. Cette capsule est fascinante et je me suis laissé prendre au jeu en cherchant ce qu'il y aurait de l'autre côté de la bulle.. et bizarrement, outre le faite de trouver une partie réelle qui tend vers 1, mais j'ai une partie imaginaire qui tend vers une puissance de... PI !!!!! oui, de pi. ex : pour x = -1.10^-10 : x^x = 1.0000000023 - (3.14159266082.10^-10) i. Sauriez vous m'expliquer pourquoi ? Sommes nous à l'aube d'une découverte ou suis-je juste tombé par hasard sur un truc que tout le monde connait ?

[@abdelhafiddahhani2514]

Excelente explication, une simple question sur la partie technique s'il vous plaît. Comment avez-vous réalisé les annimations sur le plan cartésien (08:09). Merci beaucoup 😄

[@pascalbourdeau]

J'ai réalisé l'animation grâce au programme After Effects (Adobe). En vrai, toute mes animations sont créées via ce programme!

[@thebatmanmagicianparapente3967]

Euuuh… rigoureusement, a t on vraiment le droit de fixer la puissance pour bêtement approcher le 0^0 par x^0 ? Je ne crois pas que ce soit la même chose de regarder la limite en 0 de x^0 et la limite de x^x en 0 (même si ça donne le même résultat) Il me semble que mon prof avait un contre-exemple, ou nous disait que c’était une erreur de rigueur.

[@nicolasfleury44]

pourquoi la bulle est vide?

[@LudovicRichardRUIZ]

En sciences physiques, il arrive qu'on considère que 0⁰=1 par continuité.

[@faivred]

j'aurai aussi trouvé intéressant de parler de la pente en 0+ qui est + l'infini.

[@cacoubalboa]

Très chouette capsule ! Cette erreur pourrait-elle se résoudre en utilisant un nouvel ensemble, comme les nombres complexes résolvent la racine carré d'un nombre négatif ?

[@Faxbable]

Quelle erreur ? 0^0 n'est pas défini, ce n'est pas une erreur. Même si on pourrait définir cette expression comme égale à 1 (par prolongement par continuité comme l'explique Pascal), mais 1 n'appartient pas à un nouvel ensemble, y a pas plus connu que 1 😁

[@vfx7t]

0 puissance 0 =un héros

[@robertsauvage9809]

Incroyable démo! Je vous donne la note de zéro à la puissance 0 sur une échelle de 1😂😂 blague à part que devient la courbe lorsque X tend vers 0 par valeur négative?

[@robertsauvage9809]

Du coup dans les commentaires un internaute à donné la solution c'est encore plus extraordinaire!!!

[@chsh9686]

Est-ce que ceci fonctionne ? Connaissant le binôme de Newton, pour tout a,b réels et n naturel : (a+b)^n=somme de 0 à n de (k parmi n)*(a^k)*(b^(n-k)) Si on prend b=0, on peut l'appliquer aussi (a+0)^n=a^n (évident !) (a+0)^n=somme de 0 à n de (k parmi n)*(0^k)*(a^(n-k)) Or puisque pour tout entier non nul on sait que 0^k=0, le seul terme non nul sera pour k=0 Donc (a+0)^n=(0 parmi n)*(0^0)*(a^n) On sait que 0 parmi n vaut 1 Donc a^n=(0^0)*(a^n) Puisque le raisonnement est fait pour tout a réel et tout n entier naturel, on a donc 0^0=1

[@jessebergeron6240]

je sais que la question dois probablement avoir été posé mais pourquoi un point vide alors que tout autre valeur donne un point plein c'est comme dire que parque c'est zero , il sois impossible de le déterminer, aucun autre chiffre de la théorie des ensemble ne peu avoir ce résultat , comme ci 0 n'existais même pas en fait ce qui est vrais en un sans. est que zero est vraiment un nombre, je crois que non, pourtemps les actiomes de l'agrimétrique de péano nous disent que chaque nombre a un précédant, 1 est le précédant de 0 pourtemps, il semblerais que non comme ci c'etait un foutu vide entre -1 et 1 . je commence a croire que au font chaque valeur entretiennent un rapport beaucoup plus complexe que la logique semplice des actiommes veulent nous donnée

[@xaviersoenen4460]

Qu'est la dérivée d' x^x si elle est dérivable?

[@Kerlyos_]

C'est (x^x)*(1+ln(x)) Car on peut écrire x^x comme e(x*ln(x)). Ensuite ce sont les règles classiques de la dérivations qui s'appliquent

[@youssef5666]

le minimum de la fonction x^x c est avecx=1/e car etroitement lie a la fonction ln

[@faivred]

C'est aussi ce que je me suis dit en regardant la vidéo, même si je ne suis pas assez bon pour faire le rapport entre le fait que le minimum soit en 1/e et la fonction ln.

[@Kerlyos_]

@@faivred On peut écrire que x^x=e(x.ln(x)) Ce qui permet à l'aide des règles de dérivation classiques de trouver que la dérivée de x^x est : e(x.ln(x)).(1+ln(x)) (Je passe les détails, c'est niveau lycée) Pour trouver le minimum il suffit de trouver quand est-ce que la dérivée s'annule Or e(x.ln(x)) est toujours strictement positif Donc c'est lorsque 1+ln(x)=0 Donc lorsque ln(x)=-1 Donc lorsque x=e(-1) Que l'on peut écrire x=1/e

[@7Rhesus2Racine231ContreRhesus]

Pascal Bourdeau, je m'excuse infiniment, car il semble y avoir une confusion paradoxale de vôtre part. Sur un simple exemple produit dans vôtre vidéo, le carré de 0,9 est en réalité égal à 0,81 et non 0,909532576083. Au mieux, des erreurs de calcul ou d'arrondis ont nettement pu se produire dans vos différents résultats dont j'ai retrouvés chaque origine pour les modèles que vous citez. Par exemple pour obtenir le résultat 0,909532576083, vous devez effectuer une opération différente. Il s'agit de la racine carrée de 0,9, notée √0,9. Le résultat est une approximation décimale de la racine carrée, qui est environ égal à 0,909532576083. En d'autres termes, l'expression Y = X multiplié par X (Y = X²) n'est pas une racine carrée. C'est plutôt une équation qui indique que Y est égal au carré de X. Une racine carrée inverse cette relation en trouvant la valeur qui, lorsqu'elle est multipliée par elle-même, donne le résultat donné. Par exemple, si nous avions Y = √X, cela signifierait que Y est égal à la racine carrée de X. Je ne suis pas véritablement familier ou coutumier de la chose mathématique. Pouvez-vous, alors, m'éclairer avec indulgence, nuance, bon sens et pédagogie sur la pertinence que vous jugez effective, mais que je perçois très imprécise dans son enchaînement voire réellement douteuse donc fausse, de vos calculs successifs réalisés d'après chacun des X concernés se révélant pour certains d'entre eux tendant résolument vers 1, de manière agréablement contre-intuitive, tout en dépendant d'un nombre décimal toujours plus proche de zéro ?

[@miklmontoya863]

Bonjour, en fait, il ne s'agit pas de faire 0.9^2, mais 0.9^0,9 (pas 0.9 au carré, mais 0.9 à la puissance 0.9).. d'ou les écarts

[@olivierluminais]

j'ai fait 0^0 sur ma calculatrice Windows 10 et il ma réponde 1, la calculatrice de Android dit pareil 0^0=1.

[@n.s5241]

C'est quoi une capsule ? Merci

[@pascalbourdeau]

Une vidéo.

[@n.s5241]

@@pascalbourdeau merci

[@_yukulele]

a⁰ = 1 0ᵇ = 0 du coup 0⁰ = 0,5 J'ai bon ?

[@lyazidmansouri2523]

Monsieur le professeur Veillez ecrire pus grand ils ya ds pernes qui ont une mauvaise visibilité

[@pascal1839]

pitonnante la démonstration ;-)

[@lmz-dev]

T'as pas besoin d'hurley pour expliquer ça ;p

[@benoitpiche5941]

Je n’avais jamais imaginé à quel point cette fonction (y = x^x) est étrange. Puis je me suis demandé ce qui arrivait quand x < 0. Eh bien elle est encore plus étrange. J’ai trouvé ceci : à ce sujet : m.kzbin.info/www/bejne/eJ_TYmCOmZJ4pZY

[@maitredogims]

pourtant toutes mes calculatrices indiquent bien 0^0 = 1

[@jcldc]

je pythone : python -c "import math; print(math.pow(0,0))" 1.0 python -c "print(0**0)" 1

[@jacklehobofurtif4414]

Vous qui semblez tout savoir ..... 0. Puissance l'infini ça donne quoi. ?

[@pascalbourdeau]

Tu peux voir ta question sous l'angle du calcul suivant: La limite quand x tend vers 0+ dans x^(1/x), ce qui revient à dire 0+^(1/0+) = 0^inf. Ce qui revient à dire 0.

[@jacklehobofurtif4414]

@@pascalbourdeau Je suis un amateur dans le genre ......mais si. E =MC2. La formule englobant l' Univers serait-elle. 1. Puissance l' infini ? Et si oui , comment doit on écrire celà .?

[@xaviersoenen4460]

La calculatrice n'est pas aussi puissante que l'ordinateur ou Microsoft a décidé que ça ferait 1.

[@kami4676]

0 puissance 0 = 0 puissance (1-1) = 0 puissance 1 fois 1sur0 = 0 fois 1sur0 =0

[@xaviersoenen4460]

0/0=n'importe quoi! La calculatrice de l'ordinateur donne 0^0 = 1

[@AlbertTheGamer-gk7sn]

Mais nous devons le définir. "Indéfini" n'est qu'un mot codé pour dire : "Au diable ce défi. Je fais demi-tour". C’est très mauvais car cela indique que vous avez peur des défis. C’est exactement le but opposé de l’humanité. Les humains sont censés rompre avec la nature en utilisant leur conscience de soi, leur conscience, leur volonté et leur imagination. C’est pourquoi l’humanité a réussi à établir une civilisation qui la distingue de tous les animaux. Nous, les humains du XXIe siècle, devons remercier nos ancêtres disparus depuis longtemps en nous séparant encore plus pour les rendre fiers. Einstein a laissé dans son testament en disant que la première personne qui utilisera sa théorie de la relativité pour inventer le voyage dans le temps devra voyager jusqu'au 17 avril 1955 pour le rendre fier. "Indéfini" signifie essentiellement que nous ne sommes pas habitués à ces chiffres, alors ne les utilisons pas. Tout dépend du contexte. Si nous vivions dans Minecraft, un monde sans cercles, et que tout d'un coup, un cercle apparaissait au hasard, nous l'appellerions "indéfini", mais comme dans notre monde, nous avons des coordonnées polaires, le forfait premium avec le faisceau sphérique, nous sommes habitués à voir des cercles, et nous ne les qualifierons pas d'« indéfinis ». De plus, il y a longtemps, les gens adoraient la lune comme un dieu à une distance "indéfinie" de nous, et ils croyaient que le ciel était la limite, et tout ce qu'ils voyaient dans le ciel nocturne étaient essentiellement de pures sphères de lumière célestes à un " "indéfinie" de nous, et la Terre était le point vers lequel convergeaient ces distances "indéfinies", mais nous avons réussi à atteindre la Lune et même à envoyer des sondes spatiales en dehors de notre système solaire, tentant même d'atteindre la fin d'un univers, ce qui rend de telles distances ne sont plus "indéfinies". Enfin, les infinis sont partout. Sans cela, le Big Bang n’aurait pas eu lieu, et chaque fois que vous bougez, il faut des infinis pour que cela se produise. Les infinis nous ont créés, ne leur manquez pas de respect en le qualifiant d'"indéfini". Divisez par 0, déployez vos ailes, apprenez à voler et réalisez l'impossible. Nous avons besoin d’infinis pour réaliser nos rêves de voyage dans le temps et de super pouvoirs.

[@gallermaez]

Zéro n'est pas un nombre , mais le symbole d'un concept pour signifier l'absence de nombre , alors lui appliquer le meme traitement qu'aux "vrais" nombres est absurde .

[@ed.game4868]

Le 0 fut considéré comme un vrai nombre au 7ème siècle par le célèbre mathématicien Brahmagupta. Certes avant il était considéré comme une absence comme ce fut le cas pour les Mayas ou les Babyloniens, mais alors c’est plus ici un « 0 » positionnel alors. Mais il est très important de considérer le 0 comme un vrai nombre même si cela apporte son lot de paradoxes comme ça l’a toujours existé dans la science au final

[@Kerlyos_]

Ok mais partant de là est-ce qu'un nombre négatif est vraiment un nombre ? Et une fraction comme 1/3 ? Est-ce que ce ne serait pas qu'une notation ? Et le nombre complexe i ? Quid des quaternions ? De façon plus générale qu'est-ce que tu appelles un nombre ? Comment etablis-tu une distinction entre les "nombres" et les "notations" ? Si un ensemble de nombres est un ensemble d'éléments avec lesquels on peut faire des opérations, alors je suis désolé mais 0 est bien un nombre. 0+5=5 par exemple. 0x38=0. Ces opérations ont un sens pour toi, au même titre que 1/3 + 1/3 = 2/3, c'est d'ailleurs pour cela que l'on considère aussi les fractions comme étant des nombres. Du moment que tu peux considérer et donner un sens aux opérations entre des éléments, on considérera que ces éléments sont des nombres. Autant à l'époque c'était difficile de considérer 0 comme un nombre a part entière. De même pour les négatifs, les fractions ou les complexes en leurs temps. Mais affirmer ceci en 2022, alors même que les ensembles de nombres communément admis par l'ensemble de la communauté mathématiques inclut le 0.... Il faut le faire.

[@gallermaez]

​@@Kerlyos_ Le zéro ne peut etre un nombre "comme les autres" : c' est une absence et l'absence ne se divise pas : on ne peut etre à moitié absent (meme dans la physique quantique ) A la rigueur on peut dire que l'absence d'une absence est une présence : 0X0 = quelque chose , mais combien ?

[@thebeautyworldfrancecrush6255]

Ca me fait marrer ces mathematicien. On prouve rien avec un nombre 'approchant zéro'. Zéro c'est zéro. Du temps de perdu.