Lage Ebene Ebene beide in Parameterform

In diesem Video wird erklärt, wie man die gegenseitige Lage zweier Ebenen untersucht, wenn beide Ebenen in Parameterform gegeben ist, und wie man - sofern vorhanden - die Schnittgerade bestimmt.
** Dieses Video ist Teil einer Serie. In den anderen Videos werden die Fälle behandelt, wenn die Ebene in anderen Kombinationen gegeben sind:
- beide in Koordinatenform: • Gegenseitige Lage von ...
- Parameterform/Koordinatenform: • Gegenseitige Lage zwei...
- beide in Parameterform: dieses Video
Aufruf-ID: m13v0137
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**Inhalt dieses Videos:
Für zwei Ebenen gibt es drei Möglichkeiten der gegenseitigen Lage:
- sie sind identisch
- sie sind parallel
- sie schneiden sich in einer Schnittgeraden
Die Unterscheidung zwischen diesen Möglichkeiten erfolgt durch Untersuchung, ob es gemeinsame Punkte für beide Ebenen gibt. Dabei geht man wie folgt vor:
1. Man setzt die beiden Parmetergleichungen der Ebenen gleich
2. Man sortiert die Gleichung, d.h. die "parameterbehafteten" Vektoren werden auf der linken, die "nakten" Vektoren auf der rechten Seite gebracht
3. Man schreibt die in (2.) erhaltenen Vektorgleichung als Lineares Gleichungssystem
4. Man bringt das LGS mit dem Gauß-Verfahren in die Stufenform (mit Nullen unter der Diagonalen) und betrachtet anschließend die dritte Zeile
An der dritten Zeile des LGS kann man erkennen, welcher Typ der gegenseitigen Lage der beiden Ebenen vorliegt. Im Video werden diese drei Möglichkeiten gezeigt:
(1:12) Beispiel 1: die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden
Nach Anwendung des Gaußverfahren ergibt sich, dass sich zwei Parameter einer Ebene in gegenseitiger Abhängigkeit voneinander ausdrücken lassen. Das bedeutet, dass man den einen Parameter in Abhängigkeit des anderen Parameters schreiben und ihn daher durch diesen Ausdruck ersetzen kann. So wird aus einer Ebenengleichung mit zwei Parametern eine Vektorgleichung, die nur noch einen Parameter enthält und somit eine Geradengleichung ist. Die Ermittlung der Geradengleichung wird ausführlich vorgemacht.
(9:30) Beispiel 2: die Ebenen sind parallel
Nach Anwendung des Gauß-Verfahrens zur Erlangung der Stufenform ergibt sich in der letzten Zeile ein Widerspruch: alle Koeffizienten der Parameter sind Null, aber als Ergebnis ergibt sich eine von Null verschiedene Zahl. Dieser mathematische Widerspruch bedeutet, dass kein Punkt der Ebene E1 ein Punkt der Ebene E2 ist. Und das wiederum bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel sind.
(10:48) Beispiel 3: die Ebenen sind identisch
In diesem Fall zeigt sich nach Anwendung des Gaußverfahrens, dass die letzte Zeile eine "komplette Nullzeile" wird. Dies ist eine allgemein gültige Aussage, woraus man schlussfolgern kann, dass jeder Punkt von E1 auch die Gleichung der Ebene E2 erfüllt: Beide Ebenen sind also identisch!
Zum Lösen dieses hier vorgestellten Aufgabentyps musst du unbedingt wissen, wie man Lineare Gleichungssysteme löst. Sobald die entsprechenden Videos fertig sind, kommen hier die Link hin...
Natürlich hast du auch die immer die Möglichkeit, die Darstellungart der Ebene von der Paramterform in eine der anderen Formen (Koordinatenform, Normalenform) zu überführen, wenn du dies bevorzugst. Auch hierzu gibt es separate Videos (s. unten).
** Folgende andere Videos, könnten für dich auch interessant sein:
- zum gegenseitigen Umwandeln von Ebenengleichungen:
-- Parameterform in Normalenform (Einführung): • Parameterform in Norma...
-- Parameterform in Normalenform (Methode 1: mittels LGS): • Parameterform in Norma...
-- Parameterform in Normalenform (Methode 2: Normalenvektor mit dem Vektorprodukt bestimmen): • Parameterform in Norma...
- Koordinatengleichung in Parametergleichung umwandeln: • Koordinatengleichung i...
- Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 1 - ausführlich).: • Normalenform einer Ebe...
- Normalenform einer Ebene in die Koordinatenform überführen (Beispiel 2 - kurz): • Normalenform einer Ebe...
** Playlist: Analytische Geometrie: Geraden und Ebenen
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Alles Gute und bis zum nächsten Mal,
Dein Mathe-Coach,
Christoph Goemans

[@finn.schttlr]

Danke für die ganzen starken Videos, fast alles was es zum Thema Ebenen zu wissen gibt haben wir im Unterricht nicht gemacht und jetzt muss ich mir fürs Abi alles selbst beibringen... Deine Videos helfen sehr!

[@Ray-op7xc]

Vielen Dank für das Video! Übersichtlich und gut erklärt. Hat mir gut weitergeholfen!

[@shawty4965]

Genau das Video hab ich gesucht. Dankee!

[@Mathehoch13]

Schön, dass du hier fündig geworden bist. Vielleicht hilft dir ja auch meine Webseite weiter, schnell die richtigen Videos zu finden: mathehoch13.de/Themenuebersicht.php#LAundAG

[@selina3422]

Sehr gute Erklärung, dankeee!

[@kellogsinthebox2396]

Bester Mann. Danke Bro

[@derennogay4305]

Vielen vielen Dank !!!

[@eliamarino]

Danke für das Video🙏🏽🙏🏽

[@tepptomepetto]

Ja, stimmt :) wollte nur drauf hinweisen. Aber trotzdem sehr tolles Video!

[@Anonym-qe2di]

Und Anstatt -13 in Beispiel 13/7

[@Anonym-qe2di]

Aber sonst echt gut erklärt. Danke dir, hat mir voll geholfen 👍

[@airflays5606]

Kann man nicht im 1. Beispiel nicht einfach die 1. und 3. Zeile addieren. Dan hätte man dann 2k +2l =1. Kommt jedoch wenn man es in die 1. Gleichung einsetzt, eine andere Schnittgerade heraus

[@naturbursche7240]

Ist bei den identischen Ebenen die letzte Zeile immer (0 0 0 0 | 0) ?

[@lorenzlescher1124]

ja

[@maxbaumi227]

Wer ist hier von GESS?

[@tepptomepetto]

Nicht 5, sondern -5 im Bsp Nr. 2.

[@Mathehoch13]

Tom Schneider Stimmt, danke. Wichtig ist aber, dass das LGS in Bsp. 2 keine Lösung hat. Die Schlussfolgerung gilt also weiterhin.

[@evelynefening1337]

Abitur 2023 :,)