LE PETIT EXO DE KHÔLLE #31

Résoudre une étrange équation.
INFO : Je fais une trêve estivale sur la chaîne. Prochaine vidéo prévue au plus tard à la mi-Septembre, mais il est possible que quelques vidéos sortes en fin Août. Nous verrons bien. Bonne vacances d'été !
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[@aissamokhtari4005]

la puissance du theoreme des accroissements finis.bravo pour cette perle.

[@mathema-]

Merci pour ton retour ! Je trouve également. :)

[@Al-Khayyam]

On dirait un exercice d'olympiade. Là je n'avais pas l'astuce 😅 Bonnes vacances ! Ca va me manquer toutes ces khôlles.

[@mathema-]

Merci pour ton retour. Je pense que c'est en effet un exercice au moins inspiré des olympiades. T'inquiètes pas, ça reviendra en force en Septembre :)

[@jamelbenahmed4788]

Es tu en vacances ? Vas tu faire des exos de khôlles pendant ces vacances ? Ca me ferait bien plaisir, sinon tu gères.

[@mathema-]

Merci pour ton retour. D'ici Jeudi prochain (6 Juillet 2023) je ferai prendre à la chaîne des vacances car j'ai une thèse à terminer et j'aimerai me donner plus de temps pour cela. La reprise est prévue fin Août, mais je n'ai pas encore de date exacte à donner. Si tu en est à ce PEDK, sache qu'il y a encore beaucoup de vidéos d'exercices que tu peux voir sur la chaîne et suivant ce que tu n'as pas encore vu, tu pourrais avoir du boulot pour les vacances ;).

[@jamelbenahmed4788]

Merci pour la réponse. Je fais environ 1 exo de kholle par jour. Donc j'ai de quoi faire pour les vacances.

[@mathema-]

@@jamelbenahmed4788 suivant où tu en es, oui ça peut le faire pour les vacances :)

[@kohkoh1305]

Une résolution en toute finesse :) Merci

[@mathema-]

Merci pour ce retour :)

[@antoine5571]

Génial ! ça m'a fait penser à : trouver un équivalent de (n+1)^{1/(n+1)} - n^{1/n}

[@mathema-]

C'est en effet un exercice du même style :) Merci pour ton retour !

[@Someone_68453]

Svp pourrais-je savoir comment trouver cet équivalent ?

[@bonbonsucree6670]

Un très joli exo, merci d'avoir proposé une correction ! Voici ma tentative : Avec quelques tâtonnements, je remarque 2 choses: 1. La solution évidente c'est 1 2. pour tout x dans )0,1( et dans )1,+inf( c'est inégalité strict. Donc reste à prouver ces inégalités : Soit x dans R*+ Je pose Un = (n+1)^x - n^x Remarquons que les inégalités se rapportent à comparer U2 et U4. Une étude de signe de Un+1 - Un selon x permet de conclure la monotonie et donc les inégalités.

[@mathema-]

Merci pour ta réponse. Ton approche est plutôt bonne. Toutefois le signe Un+1-Un ne me semble pas si facile à déterminer. De plus je ne vois pas totalement encore en quoi cela permet de conclure la résolution du cas d'égalité. Peut-être amener au faite que la suite est strictement croissante/décroissante ssi x différent de 1 (ce qui me semble concevable), mais je n'ai pas l'impression que le travail est totalement terminé à partir de ce que tu proposes.

[@bonbonsucree6670]

@@mathema- Merci pour le feedback! Je vais essayer de détailler : On a 5^x + 3^x = 4^x + 2^x équivaut à 5^x - 4^x = 3^x - 2^x équivaut à U4 = U2 L'idée, c'est de prouver que tant que x est différente de 1, j'ai U4 différente de U2 en particulier les inégalités suivantes: pour x > 1 : U4 > U2 pour x 1: par équivalences successives: Un+1 > Un (n+2)^x > n^x x ln(n+2) > x ln(n) (j'introduit ln, fct croissante strict.) ln(n+2) > ln(n) (je divise par x >0 ) n+2 > n (toujours vrai) Normalement pour x dans ]0,1[ , j'aurais Un+1 < Un, mais je bloque grave ici 😅 Encore un grand merci de m'avoir répondu! Tes vidéos sont super sympa👍

[@mathema-]

Merci pour le détail. C'est en effet le problème que je percevais (le cas x < 1). J'aime bien le côté "suite", mais je pense que j'irai plus loin avec une fonction (pour pouvoir faire des calculs de dérivées). Une meilleure idée serait de considérer y |---> (y+1)^x - y^x. pour y dans R+*. Cette fonction est dérivable sur R+*, tout va bien. La dérivée (en y donc) est x ((y+1)^(x-1) - y^(x-1)) et de là, je pense que c'est plus facile de conclure la stricte croissance de la fonction sur R+* si x > 1 et sa stricte décroissance sur R+* si 0 < x < 1. Tu en déduis que le seul cas où la fonction (en y) est constante et le cas x=1. Et tu en arrives à conclure un résultat plus général que celui posé dans l'exercice. Je pense que l'idée initiale de l'exercice est de pousser les étudiants à penser au théorèmes des accroissement finies, mais en effet, il existe bien une résolution plus simple. Merci pour ton retour :)

[@Max-dl4ly]

Bonjour, je trouve vraiment vos vidéos excellentes et instructives , je vous envourage vivement â continuer. Je me demandais seulement si vous aviez fait une thèse et si oui sur quoi avez vous travaillez ?

[@mathema-]

Merci beaucoup pour ce retour très apprécié. Actuellement, je suis encore en thèse à l'UQAM (Université du Québec à Montréal). J'en suis à un peu plus de la moitié de mon parcours (j'ai fait 2 ans et demi et il me reste un an et demi - un doctorat au Canada dure 4 ans). Pour ce qui est de mes travaux de thèse, tu peux jeter un œil à mes vidéos LE COIN RECHERCHES : il n'y a actuellement qu'une saison et elle correspond à un exposé (détaillé en plusieurs épisodes, mais tu peux juste regarder le dernier épisode pour te donner un idée globale) un peu vulgarisé pour des explications d'un niveau prépa (même si on va clairement au-delà). Sinon je peux t'inviter à faire un tour sur mon site Web (en description de chaque vidéo de la chaîne) et de te rendre dans la section "recherches", tu pourra y trouver des sources de ce que je fais (mon premier article de recherche, des diapos et des poster d'exposés fait en seminaire ou conférence, etc...). En espérant avoir répondu à ta question. :)

[@Silver-bq6td]

Et si on decompose en (2+3)^x +2^x =2^2x +3^x et on utilise le binome de newton pour le (2+3)^x on s'en sort ?

[@mathema-]

Alors là je ne comprend pas ce que tu veux faire. Tu ne peux pas utiliser la formule du binôme car x est un réel ! On ne cherche pas des entiers ! Et puis même si nous cherchions x un entier naturel, je ne suis pas sûr que cette méthode permettrait d'avancer dans une potentielle résolution. Il n'y a qu'à développer le binôme pour ce rendre compte qu'on risque de se retrouver avec une équation bien plus compliqué qu'au départ. Je ne crois vraiment pas que ce soit la bonne chose à faire.

[@mathemarthur]

Trop bien en plus j’ai trouvé le thm

[@mathema-]

Merci pour ton retour :)

[@shixofficiel]

Salut ! Je suis un élève de première générale et j'aime bien me perdre sur des vidéos de Maths d'un niveau plus élevé que le miens même si je ne comprends pas toujours tout (ce qui est logique), j'avais trouvé par déduction que x pouvait être égal à 1, mais du coup (pour que j'essaie de comprendre mieux) on essaie de trouver si il y a d'autres solutions possible ?

[@alexandregaeng3638]

Oui c'est ça, il y a une solution triviale qui est x = 1, après on recherche s'il y en a d'autres. On suppose qu'il existe une solution strictement positive et différente de 1, et l'application du théorème des accroissements finis conduit à une contradiction (raisonnement par l'absurde). Donc la seule solution sur R+* est 1.

[@mathema-]

Merci pour cette question et merci pour la réponse donnée :) C'est exactement ça :)

[@shixofficiel]

@@alexandregaeng3638 Super intéressant ! Merci pour ta réponse !

[@ambrosesabbat9385]

C’est un raisonnement par analyse synthèse non ?

[@mathema-]

Je pense que c'est correct de le penser comme ça oui.