Nieskończone pierwiastki - poziom rozszerzony

[@truskawa8476]

Po prostu geniusz

[@michaflorianczyk5687]

niesamowite

[@bellatrixx93]

Dziękuję, super material ♥️♥️♥️

[@kacperiusz1763]

dzieki za rozwiazanie! czy mozna to uogolnic i zamiast 3 podstawic dowolna liczbe rzeczywista (w przypadku ujemnych liczb bedziemy mieli jednostke urojona ktora tez bedzie podniesiona do tej nieskonczonej sumy)?

[@matemaks]

Tak - można to tak uogólnić - jeżeli zamiast 3 byłaby dowolna liczba rzeczywista r, to wynik ostateczny będzie r^1 czyli r. Nie trzeba nawet wprowadzać liczb urojonych (wystarczy zapisać, że przykładowo √(-3) = (-3)^(1/2) itd, bez zapisywania, że: √(-3) = i√(3)). Jedynie co, to trzeba w takim przypadku dopuścić, że wyciąganie pierwiastka z liczby ujemnej jest dopuszczalne ;). Przykładowo dla wyrażenia √(-5√(-5√(-5√-5...))) = (-5)^(1/2 + 1/4 + 1/8 +...) = (-5)^1 = -5. Myślę, że nawet można uogólnić dla liczb zespolonych: √(z√(z√(z√z...))) = z^(1/2 + 1/4 + 1/8 +...) = z^1 = z.

[@dan-cv2pv2zn8l]

Trochę inaczej podstawiajac x mozna nawet pominac rozwiazywanie rownania kwadratowego √(3√3...)=x √(3x)=3 |² 3x=9 x=3 Nie trzeba żadnych założeń robić, dzięki czemu mniejsze ryzyko błędu.

[@FeueR-eg6je]

Tylko że nie do końca, bo podstawiłeś 3 po prawej stronie równania tak jakby to było powiedziane, a przecież masz to udowodnić. Jak masz coś udowodnić to nie możesz tak sobie podstawić jakby to była prawda - właśnie dlatego trzeba wyznaczyć równanie funkcji aby obliczyć miejsca zerowe.

[@flexiak3584]

fajnie, choc mysle ze rozwiazanie gdzie oznaczamy ten nieskonczony pierwiastek jako jakies a, by pozniej obustronnie skwadratowac i dostac 3a = a^2 jest owiele ladniejsze 😅

[@matemaks]

Niewątpliwie ma swój urok :D

[@mordownianamodawskiej4585]

Cześć! Robisz świetną robotę! Chciałbym jednak zwrócić uwagę na drugie rozwiązanie. Stosujesz "zwykłe" podnoszenie do kwadratu w stosunku do nieskończonego zagnieżdżonego wyrażenia, które niekoniecznie musi mieć sens w takiej sytuacji (należałoby najpierw zdefiniować odpowiedni ciąg i udowodnić jego zbieżność, np. z tw. o ciągu monotnicznym i ograniczonym). Żeby nie zaciemniać czytającym komentarze, pokażę, dlaczego pochopne stosowanie zwyczajowych chwytów do nietypowych bytów (jak np. zagnieżdżone nieskończone wyrażenia) może prowadzić do błędów i nie jest w ogólności dobrą metodą. Weźmy sobie przykład: Spróbujemy obliczyć √(1 - √(1 - √(1 - ...))) dwoma sposobami (jak na filmie). I sposób: √1 = 1 √(1 - √1) = √(1-1) = √0 = 0 √(1 - √(1 - √1)) = √(1 - 0) = 1 √(1 - √(1 - √(1 - √1))) = √(1 - √(1 - 0)) = √(1 - 1) = √0 = 0 ... Otrzymujemy ciąg, którego wyrazy to naprzemiennie "jedynki" i "zera", taki ciąg nie ma granicy - jest rozbieżny. Gdybyśmy zastosowali II sposób bez sprawdzenia zbieżności, otrzymamy: √(1 - √(1 - √(1 - ...))) = x /^2 1 - √(1 - √(1 - ...)) = x^2 1 - x = x^2 x^2 + x - 1 =0 Δ = 1^2 - 4*1*(-1) = 5 x = (-1 + √5)/2 lub x = (-1 - √5)/2 Nawet jeżeli zrobimy odpowiednie założenia i wybierzemy x = (-1 + √5)/2, to otrzymujemy kompletną bzdurę, że √(1 - √(1 - √(1 - ...))) = (-1 + √5)/2 ~ 0.618.

[@matemaks]

Cześć! Dziękuję za wartościowy komentarz - masz rację - powinienem na to zwrócić uwagę, że nie zawsze można tak postąpić. Zbieżność jest tutaj kluczowa. Po zrobieniu przykładu pierwszym sposobem straciłem czujność i w drugim już nie pomyślałem, że trzeba zaznaczyć, że mamy do czynienia z ciągiem zbieżnym, tylko z automatu zastosowałem metodę jak dla wyrażeń skończonych. Dziękuję za przykład który podałeś!

[@mariusznawrocki3953]

Ale szef

[@Bezwymówek-t1i]

Więcej geometrii!! :)

[@ostrry1]

Przyjemne zadanie, szczególnie jak się zrobi pierwiastek na potęgę z ułamka i sumę ciągu geometrycznego

[@matemaks]

Też bardziej podoba mi się to z ciągiem geometrycznym, mimo że trochę dłuższe.

[@dokumer4725]

hej matemaks takie pytanie do ciebie, w jakim programie prowadzisz nagrywane filmiki albo z jakiego tabletu graficznego korzystasz jeśli oczywiscie mozna wiedziec?

[@sylwiuszgorbaszewicz134]

Mozna W Wykladnikach Poteg Te Ulamki Zwykle sprowadzic Do Wspolnego Mianownika! 😀

[@matemaks]

Dopóki suma jest skończona, to można ;) A później zapisać wykładnik jako (2^n-1)/(2^n) i pokazać że granica to 1 :)

[@sylwiuszgorbaszewicz134]

@matemaks Dziekuje Za Odpowiedz 😀

[@Mary_TempestEmerson]

czy można wysłać ci kilka zadań z książki gdzieś (np. insta) byś zrobił je na filmie kolejnym?

[@meduzazmozgiemkrowy]

Z czego wynika założenie x>√3 ?