Lagrange Verfahren REMAKE | Extrema mit "=" Nebenbedingungen inkl. Tipps&Tricks

Mit dem Lagrange Verfahren berechnest du Extrema und Sattelpunkte von Funktionen unter "=" Nebenbedingungen. Diese Schritt-für-Schritt-Anleitung führt dich einfach und schnell durch jede Extremwertaufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen. Wie das funktioniert, mit welchen Tricks du arbeiten kannst und was es mit dem Lagrange Multiplikator auf sich hat, erfährst du in diesem Video!
Als Dank für die 100.000 Aufrufe des Originalvideos
( • Lagrange-Methode Einfa... ) gibts dieses Remake in stark überarbeiteter Form. Vielen Dank für eure Unterstützung!
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Inhalt:
0:00 Was dich erwartet
0:20 Schritt 1: Lagrangefunktion aufstellen
2:18 Schritt 2: Gradient der Lagrangefunktion Null setzen
4:31 Schritt 3: Lambda eliminieren mit dem Additionsverfahren
7:06 Trick: Determinantenmethode (Schritt 1+2+3 in 60 Sekunden)
8:23 Schritt 4: Gleichungssystem lösen
12:48 Rangbedingung
14:23 Art der kritischen Punkte
15:25 Bedeutung der Lagrange Multiplikatoren
16:33 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[@Ladynatalie33]

Ich weiß nicht, ob es dich nicht einige Abos und likes kostet, aber ich find's absolut angenehm, dass du auf den ganzen Klamauk verzichtest wie Jingles, Hintergrundmusik, Intro, Abspann usw.

[@MathePeter]

Vielen lieben Dank! In der Planung ist allerdings trotzdem grad ein 2-3 sekündiges Intro mit Sound, dass nach den paar Einführungssätzen am Anfang der Videos geplant ist. Einfach um das Video etwas aufzulockern. Hoffe dir werden die Videos in Zukunft dennoch gefallen 😅

[@Ladynatalie33]

@@MathePeter Ach, das ist total ok.Meiner Meinung nach sollte jeder, der Videos macht, dafür sorgen, dass er selbst auch was davon hat. Egal ob Geld, Spaß, Popularität oder sonst was. Das sit nicht nur sein "Recht", sonder die Würze, die alles am Laufen hält. Wozu sollte er es sonst tun? Aber ich hab eben auch schon Videos gesehen, die 5 min lang waren, aber erst nach 3 min zur Sache kamen, und die bestand dann aus Werbung. Da bin ich persönlich dann meist raus. :-D

[@methamosb9201]

Deine Videos sind für mich eine Goldgrube. Zu jedem Thema zu dem ich Videos von dir gesehen habe kann ich hinterher die Aufgaben verstehen und die Rechnungen üben. Mir bleibt dadurch eine Unmenge an Frust erspart vielen Dank :D

[@carinam528]

Der Trick mit der Eliminierung des Lamdas ist einfach goldwert, vielen Dank dafür!!!

[@alwasitacatisaw1275]

Hi, ich will dir unbedingt danken. Ich hab gerade erfahren, dass ich meine letzte Matheklausur bestanden habe, dank deiner Videos hab ich viele Inhalte deutlich besser verstehen können. Dein Kanal ist Gold wert, danke dir Kann ich nur weiterempfehlen

[@MathePeter]

Hammer!! Freut mich für dich, hast es dir verdient! :)

[@alfreddope6956]

Ehrenpeter!! Weiter so!

[@UnknownUser-zs3fr]

Richtig gutes Remake, jetzt kann ich endlich vor 4k Mathe-Tutorials verzweifeln ;)

[@MathePeter]

An der Auflösung kanns dann nicht mehr liegen xD

[@nn9393]

Ich muss ein wirklich großes Lob aussprechen. Deine Videos sind inhaltlich und videotechnisch hochqualitativ! Unser Mathedozent hat uns Aufgaben für's Selbststudium gegeben und deine Videos als Hilfestellung empfohlen. Ich denke, dass sollte Bestätigung genug sein, wenn lehrende Mathematiker dir ihren Lehrauftrag übertragen! Mach weiter so! PS: Ich bin nun Abonnent.

[@MathePeter]

Wow vielen Dank, das ehrt mich sehr! :)

[@koopa_6ghg257]

Richtig geniales Video ! Jetzt müsste man das nur noch selbst lernen :3 Aber ungemein hilfreich schonmal !

[@liffil9116]

Es gibt einfach keine besseren Erklärungen zu den ganzen Themen, als deine. Vielen, vielen Dank, dank dir werde ich meine Mathe Klausuren bestehen und verzweifle nicht schon beim Lernen.

[@ryuzaki8847]

Deine Videos sparen mir immer so viel zeit. Danke Mann, bist der heftigste !!!!

[@Daniel-xu8rq]

Du bist echt ein Held. Man muss die Beweise des Ganzen in der Vorlesung zwar immernoch verstehen, also warum es funktioniert, aber mit so top erklärten Videos über die Anwendung fällt es einem dann doch deutlich leichter.

[@TheInvisibleKev]

Yes, Peter! Wieder ein tolles video!

[@annawolf812]

Ich danke dir für dein Statistikkurs. Hast mir den Hintern gerettet. Hatte 10 Tage vor der Klausur noch fast keine Ahnung vom Stoff und trotzdem habe ich die Klausur bestanden 😁

[@MathePeter]

Hammer!! Das freut mich! :D

[@carinaoswald6025]

Du bringst mich durchs Studium dankee!!!😊

[@AtzeTheKing]

Perfekt erklärt! Danke

[@murdock5537]

Super Video, danke! Endlich mal eine verständliche Darlegung der Lagrange-Funktion. Im VWL-Studium (Konstanz) wurde das zwar "hydraulisch" vorgeführt, doch keineswegs so gut erklärt. 🙂

[@m.k.8082]

Super erklärt. Semester gerettet

[@markokuncic199]

Danke für dieses tolle Video!

[@lucaberlinghof]

Bester KZbin Kanal für Mathevideos. Mathepeter = GOAT

[@dezzardhd4070]

Sehr gut aufbereitet! Sag ich jetzt mal als Student der das gebrauchen kann. ;D

[@stevestarlight8577]

Echt Geil ... ich geniesse jedes Video

[@kitstudent4446]

Hi Peter, ich hatte deine Videos gesehen, als du mit deinem Kanal begonnen hast und ich dachte mir damals schon, dass du auf jeden Fall erfolgreich wirst, da du dein Talent, die Mathematik sehr gut zu erklären nutzt und in dieser Nische, die in diesem Ausmaß noch nicht besetzt war, etablierst. Umso mehr freut es mich, dass ich gerade durch Zufall sehe, dass du nun tausende Zuschauer hast. Da ich selber meine Mathe Vorlesungen bereits absolviert hatte und nur für meine Tutorien und eigenes Interesse noch Videos durchsuche, konnte ich leider nicht zu sehr von deinen Videos profitieren. Aber, es macht sehr Spaß und weckt Begeisterung für die höhere Mathematik. Ich habe auch überlegt nach meinem Master ein Zweitstudium Mathematik zu beginnen, evtl. kannst du mal ein Video mit deinen Erfahrungen und Beweggründen für das Mathestudium machen. (Kann man bspw. alleine vorankommen oder nur durch Lerngruppen, was ist deine Spezialisierung, wie und wann hat es « Klick » gemacht, woher die Idee zum Kanal etc.) Ich hatte auch das Ziel Uni-Mathe und andere technische Fächer vor allem für Ingenieure anschaulich, anhand eines Whiteboards oder ähnliches zu erklären. Da ich, wie ich fand, vor Dir wenig gutes Angebot in diese Nische für Studenten vorhanden war.. Mal sehen, was die Zukunft so bietet. Ich hoffe bei dir läuft es weiterhin Berg auf. Viel Erfolg!

[@MathePeter]

Hey vielen Dank für die lieben Worte! Würd ich super finden, wenn du noch Mathematik machst, für mich war es eine unglaubliche Erfahrung. Gute Idee mal in einem Video darüber zu berichten! :) Wenn du gute Ideen hast für andere technische Fächer, die du gern erklären willst, sag Bescheid. Können dann ja auf die Videos des jeweils anderen verweisen ;)

[@anjo6227]

Mathe mit dir macht Spass, Peter

[@larsvandorp7621]

Super Video

[@annamaurer8682]

Peter, danke !!

[@lukasmoser7364]

Lebende Legende

[@kadarkhalil3362]

you are the best. Besten Dank

[@jinwookkim619]

So ein Ehrenmann

[@sirronkcuhc1234]

Heilige Scheiße ist das Video gut!!! Danke dafür mein Bester! ♥

[@lukasbasler9216]

Wow du bringst den Stoff sympathisch, verständlich und selbstbewusst bei. Hast du Mathematik oder ähnliches studiert?

[@MathePeter]

Ja genau, mein zweites Studium war Mathematik :)

[@bene--ip6dj]

wahnsinnig hilfreicher tipp mit der Determinanten Methode , Prof verschweigt so etwas gerne :)

[@MathePeter]

Profs wissen davon für gewöhnlich nicht mal was 😂

[@bene--ip6dj]

@@MathePeter es gibt aber keinerlei Einschränkungen für diese Methode also man darf dies bei sämtlichen erdenklichen Funktionen anwenden oder ?

[@MathePeter]

Ja. Sogar in den Fällen, wo die Standardmethode versagt, können existierende globale Extrema gefunden werden. So ein Beispiel hab ich auch in meinem Video "Determinantenmethode" erklärt.

[@bene--ip6dj]

@@MathePeter danke Meister

[@kian_gotti]

Ich kann nur eine Sache zu dir sagen: Ich liebe dich #nohomo Dank dir einfach jede VWL Vorlesung geschwänzt und trz Lagrange verstanden :'d

[@applyalone]

Perfeeeeeeek. Viel Gruß aus dem Iran

[@flyemir6816]

Ehrenmann

[@NilsTimmermann]

Ehren Peter!

[@longroad-zm5ug]

Super Video! Hat mir super geholfen! Schade, dass es kein Video zu ungleichnebenbedingungen gibt :( Ich hoffe das kommt bald! :D

[@MathePeter]

Für Ungleichungsrestriktionen gibts im Allgemeinen die Erweiterung der "Karush-Kuhn-Tucker" Bedingungen. Diesen Sonntag lade ich dazu ein Theorie Video hoch und die beiden Wochen darauf je ein Rechenbeispiel :)

[@longroad-zm5ug]

@@MathePeter Sehr gut, genau noch bevor ich darin eine Abgabe machen muss :D Danke!

[@MathePeter]

Wann ist die Abgabe?

[@longroad-zm5ug]

Montag um 8:00! :D

[@MathePeter]

Dann hoffe ich reicht das Theorie Video 😅

[@StickyTapeZz]

so ein geiler typ

[@nilubae]

Du erklärst das Thema super gut! Ich habe es nun verstanden. :) Nur ein kleiner Tipp: bitte rede ein wenig langsamer.. es geht alles so ratzfatz 😅

[@MathePeter]

Alles klar, vielen Dank :)

[@badublackwater6556]

Mannomann, wenn du mein Proff wärst.... Vielen Dank Peter-sama ^_^

[@Jokster1]

Top

[@fuzzikarluzzi9217]

Aller endlich mal einer, der erklären kann...und Äpfel sind ja auch gesund :-D

[@Abdullah-gb3mo]

Hallo Herr Peter. Ich muss bald das Modul der Differentialgleichungen belegen. 3 Semester. Bitte Wenn's geht, genau so viele Videos machen darüber :) Ich bin bei mathe 2 durch deine Videos Schlau geworden

[@MathePeter]

Ich bin gerade dabei Vides zu DGL zu planen ;)

[@LinierterBlock]

nice

danke... jetzt habe ich eine support vektor maschine mit der hand dank dir ausrechnen können, ausgang sind 3 datenpunkte... man hat am ende somit 3 lagrange multiplikatoren in einer zu maximierenden gleichung, also nochmal lagrange ( L(x,y,z,l)... dann habe ich keine quadrate gehabt und konnte alles über 6 schritte in matrizen ausrechnen...

[@kristofferfohr243]

Ehrenmann

[@cryptvortex2882]

Hallo MathePeter, vielen dank für deine tollen Videos! Ich habe eine Frage zum Additionsverfahren. Wenn ich lamda eliminiere, muss ich dann noch seperate Nullstellen prüfen? Ich hatte einen Kommilitonen, der meinte ich müsse, wenn ich dieses Verfahren anwende, nochmal x=0 und y=0 überprüfen. Allgemein fände ich es toll, wenn du etwas häufiger und ausführlicher auf mögliche Ausnahmen hinweisen könntest, wo man mit den von dir Vorgestellten Verfahren nicht oder eingeschränkt arbeiten kann. Das machst du durchaus, aber meist etwas schnell, sodass man es schnell überhören kann. Vielen Dank und viel Erfolg weiterhin! Mach weiter so :)

[@MathePeter]

Danke für dein Feedback, werds mir zu Herzen nehmen :) Was dein Kommilitone wahrscheinlich versucht hat zu sagen ist, dass du schauen musst, wo der Gradient der Nebenbedingungen zu Null werden kann und ob diese Punkte selbst die Nebenbedingung auch noch erfüllen. Denn dann hast du weitere mögliche Kandidaten für Extrema. Aber genau diesen Schritt musst du jetzt nicht mehr machen, wenn du die lambdas mit dem Additionsverfahren eliminierst. Sollte es solche "versteckten" Lösungen geben, kriegst du die automatisch mit raus. Darum feier ich ja diese Herangehensweise so sehr 😄

[@teretere8267]

Super Videos :) Mir stellt sich nur hierbei eine Frage: Ist die schreibweise der Determinantenmethode "mathematisch korrekt"? Oder dient sie eher als Hilfsmittel und man sollte es besser nochmal in der Klausur anders (also z.B. wie im Additionsverfahren) aufschreiben?

[@MathePeter]

Danke dir :) Scheint an der Determinantenmethode was nicht korrekt? Alles definiert und hergeleitet, beinhaltet sogar die Fälle bei Rangverlust. Gefunden hab ichs im Buch Peter Furlan (2012): „Das Gelbe Rechenbuch 2“, Seite 107.

[@teretere8267]

@@MathePeter Vielen Dank :) Ne ist alles super und perfekt erklärt. Unser Professor hatte nur dieses Verfahren nicht erklärt bzw. bewiesen, weswegen die Referenz super ist, dass ich ggf. in der Einsicht darauf verweisen kann.

[@marieg.3905]

Danke für deine hilfreichen Videos! Ich frage mich jedoch wie das mit "größer/gleich"- oder "kleiner/gleich"-Nebenbedingungen ist? muss ich da Schlupfvariablen oder so hinzufügen und wie gehe ich da insgesamt bei vor? Hoffe du kannst mir das helfen :)

[@MathePeter]

Schau dir mal meine Videos zu den KKT Bedingungen an :)

[@maresekenareaye8490]

Danke für den Tipp mit der Determinantenmethode!!!!!!!!!!!! Kann ich die auch bei Gleichungen mit 3 Variablen benutzen?

[@MathePeter]

Hier mal alle Fälle zu Lagrange, die du kennen solltest: (1) Bei einem Optimierungsproblem mit n Variablen und k=n-1 (Gleichungs-)Nebenbedingungen kannst du weiterhin die Determinantenmethode nehmen. Ein Beispiel findest du hier: kzbin.info/www/bejne/j3KsdmWCrqeSlas (3 Variablen, 2 Nebenbedingungen) (2) Bei n Variablen und k

[@Schoggele]

Mal ne Frage, welche nur bedingt mit Langrange zu tun hat. Ich sitze gerade vor meinem Skript der linearen Algebra und frage mich was der "Quatsch" soll :D Kann es, dass man z.B. in der Klausur ein LGS aus einer Langrange-Aufgabe erhält welches sich für Normalsterbliche wie mich nur mit der Cramerschen Regel lösen lässt? Oder es zumindest deutlich vereinfachen würde... Wenn das nicht der Fall ist kann ich mir nämlich 95% des Skripts sparen da der Prof. quasi schon die Aufgabe zu Matrizen in der Klausur rausgehauen hat. Übrigens danke, dass du meine manchmal noch so dummen Fragen immer beantwortest

[@MathePeter]

Kein Problem, ist ne gute Frage :) Es gibt Aufgaben, da ist es sinnvoller eine Lagrange Aufgabe mit Hilfsmitteln aus der linearen Algebra zu lösen. Zum Beispiel, wenn die Zielfunktion quadratisch ist und die Nebenbedingung eine Sphäre. Schau dir mal dieses Beispiel hier an: kzbin.info/www/bejne/pIS8gJqQpL2plaM Es gibt aber auch die Möglichkeit, wo eine Lagrange Aufgabe auf lineare LGS führt: kzbin.info/www/bejne/pZ-vpnp4pr2Ke5I Aber auch in diesem Fall lässt es sich mit der Methode aus dem Video hier lösen, also mit der Determinantenmethode.

[@happy1803.]

Super Video!... frage mich nur, wie der Punkt P4 mit der y-Koordinate -1 ein Maximum sein kann?

[@MathePeter]

Weil keine x-y-Kombination der Nebenbedingung zu einem größeren Funktionswert führt, wie die Punkte P3 und P4. Das y ist genau wie das x eine Koordinate und kein Funktionswert.

[@L.Becker]

Hey Peter, danke schon mal für das tolle Video. Unser Prof möchte immer noch, dass wir zuerst die "Rangbedingung" der Nebenbedingung prüfen. Demnach muss der Rang der 1. Ableitung der Nebenbedingung anscheinend null sein, damit man das Lagrange Verfahren anwenden kann. Kannst du erklären, was es damit auf sich hat?

[@MathePeter]

Ja die Rangbedingung ist wichtig! Jeder Punkt, der die Rangbedingung verletzt, also bei dem die 1. Ableitung der Nebenbedingung zu Null wird, ist automatisch ein möglicher kritischer Punkt (EDIT: voraussgesetzt er erfüllt auch die Nebenbedingung selbst). Für alle anderen Punkte wird das Lagrange Verfahren benutzt, um die restlichen kritischen Punkte herauszufinden. Jetzt das Geniale: Wenn du das Lambda mit dem Additionsverfahren eliminierst oder einfach gleich die Determinantenmethode benutzt, hast du diese Lösungen automatisch mit drin, wenn es welche gibt. Ohne die Bedingung noch mal extra zu prüfen! In 12:48 hab ich das noch mal ganz genau erklärt.

[@leonard2000s]

@@MathePeter Ich würde diese Methode nun gern in der Matheprüfung nutzen - allerdings wurde die klassische Vorgehensweise in der Vorlesung eingeführt. Findet sich zu dieser eleganteren Methode ein ordentlicher Beweis, den ich meinem Prof. in der Besprechung vor der Klausur zeigen kann, sodass auch diese Methode genutzt werden kann?

[@MathePeter]

@@leonard2000s das ist nur eine Kurzschreibweise. Schau dir mal mein Video zu „Determinantenmethode“ an, da hab ich das ausführlich erklärt. Ansonsten frag ihn mal, ob er seinen Kollegen Professor Peter Furlan kennt. Der hat es in seinem Buch „das Gelbe Rechenbuch 2, S. 107“ beschrieben.

[@VK-sp4gv]

Very good teacher. Unfortunately, I don't speak German but can understand the math. I have a question, if anybody can help: what happened to the determinant at 8:22 and how was it used? Also, what is the equal sign with the exclamation mark above it?

[@VK-sp4gv]

By the way, I love long German words, like Extremwertaufgabe and Gleichungsnebenbedingungen.

[@VK-sp4gv]

@@MathePeter Wow, many thanks for your quick reply.

[@MathePeter]

Haha thank you!! 😊 The determinant method ist an alternative way to get equation (IV) in just some seconds. This method contains the steps: (1) put up Lagrangian function, (2) calculate partial derivatives and (3) eliminate lambda with addition method. Also this method can find "hidden" solutions, which are very rare but important if occuring. I decided to just notice this method in this video and go on with the regular way. The equal sign with the exclamation mark above it just means "necessary condition", because its necessary for finding extreme values. In reality you dont need it, its just a habit that i still use it haha. Thanks for watching my videos even though they are in German! Please ask me if you have any questions :)

[@jmir1]

ありがとうございます、ペータ先生

[@franzmartinzuther1967]

Kannst du bitte Tutor an meiner Uni werden? xD

[@MathePeter]

Haha danke dir, nur die Tutor Zeiten hab ich erst mal hinter mir 😄

[@paulfrisstdich]

Kurze frage dazu noch: in dem anderen video zu dem thema hast du die x und y werte dann noch in f(x,y) eingesetzt und somit 3-wertige punkte herausbekommen. Wieso hast du das hier nicht gemacht?

[@MathePeter]

Einfach nur aus Zeitgründen. Das Video war ja eh schon ziemlich lang und der aufwendigste Teil ist ja nur die Lage in der x-y-Ebene herauszufinden. Den zugehörigen Funktionswert kann man selbst ja schnell noch ausrechnen, genau wie du gesagt hast, indem man in die Funktion f(x,y) einsetzt :)

[@scriptorjo13]

Algorithmus Liebe für MathePeter...

[@Daniel-rn1de]

Funktioniert das Additionsverfahren zum eliminieren der Lambas auch wenn man 3 Variablen hat (also x,y,z,lambda)?

[@MathePeter]

Ja klar. Bei k Variablen musst du k-1 mal das Additionsverfahren nutzen.

[@OpticPeak]

Heyyy hätte mal eine kurze Frage, undzwar komme ich nicht weiter wenn es darum geht die Art der kritischen Punkte zu bestimmen. Wenn ich dies mithilfe der Determinante der Hesse Matrix versuche fehlt mir immer noch das Lambda, da dieses auch in ihr vorkommt. Wie komme ich dann auf das Lambda wenn ich den determinaten Trick angewendet habe um die jeweiligen x und y Werte für die kritischen Punkte auszurechnen?

[@MathePeter]

Um auf die Art der kritischen Punkte zu kommen, brauchst du tatsächlich noch das Lambda. Das bekommst du nur aus der Lagrange Gleichung selbst. In dem Fall musst du die noch aufstellen L(x,y,λ) = f(x,y) + λ*g(x,y), einmal nach x oder y ableiten und den kritischen Punkt einsetzen, um nach λ umstellen zu können. Für die Art des kritischen Punkts, schau dir unbedingt noch meine Videos zur geränderten Hessematrix an. In der Regel reicht nämlich die normale Hessematrix hier nicht mehr aus.

[@OpticPeak]

@@MathePeter @MathePeter also, rechne ich jedes Lambda des jeweiligen kritischen Punktes einzeln aus und bestimme dann mit der gerenderten Hessematrix (3x3, wenn n=2, k=1) die Art der kritischen Punkte nach dem Verfahren deines Videos dazu und ich schon habe ich es geschafft?

[@MathePeter]

Ganz genau!

[@songohan393]

Hi, könntest du als weiterführung dazu noch ein Video zum Envelope Theorem machen?

[@MathePeter]

Irgendwann sicher mal. Ich habs mir auf jeden Fall mit auf die Liste interessanter Themen geschrieben.

[@alx_grtz410]

nur zum Verständnis: wenn ich die Determinaten-Methode verwende, dann setze ich die aus der Gleichung gewonnenen Möglichkeiten für die 0 immer in die Nebenbedingung ein. Ist das so verallgemeinerbar?

[@MathePeter]

Ja, das machst du auf dem ausführlichen Weg ja genauso. Den Zusammenhang setzt du immer am Ende noch in die Nebenbedingung ein.

[@petergriffin8496]

Bei 5:44 warum subtrahiert man dann nur minus X mal die 2. Gleichung und nicht minus 1/2 X mal die zweite Gleichung? Ich dachte die beiden müssten sich komplett wegkürzen lassen. Weil im ersten Schritt war es ja richtig, um von 2xlamda auf 4y^3lamda zu kommen muss man mal 2y^3 rechnen. Beim zweiten Schritt aber um von 4y^3lamda auf 2xlamda zu kommen müsste man ja eigentlich 1/2 x nehmen, um von der 4 zu der 2 zun kommen und dann wäre die Gleichung unten 2y^3 mal die erste Zeile - 1/2x mal die zweite Zeile. Oder irre ich mich hier komplett? Danke schon mal für Antworten :)

[@MathePeter]

Entweder machst du aus der 4 eine 2 oder aus der 2 eine 4. Aber nicht beides gleichzeitig, sonst tauschen sich ja nur die Vorfaktoren aus.

[@xy8725]

Liebe

[@lovinfx4893]

Wenn ich lambda im Maximum als Lösung angeben soll, muss ich dann einfach aasherausgefundene x und y in eine der beiden ersten Bedingungen us Schritt 2 einsetzen und nach lambda auflösen?

[@lovinfx4893]

oder muss ich das in die Lagrangefunktion einsetzen?

[@MathePeter]

Genau, einfach in eine der Ableitungen, wo lambda drin vorkommt. Du kannst auch in beide einsetzen zur Probe, weil da der selbe Wert rauskommen muss. In Spezialfällen kann aber auch mal nur eine der beiden weiter helfen. Aber noch mal: Ja du hast Recht. "In eine der beiden ersten Bedingungen aus Schritt 2 einsetzen" :)

[@lovinfx4893]

@@MathePeter Danke für deine Antwort!

[@markuswerner7271]

Kommt Lamda dann immer mindestens 2 mal vor um das additions Verfahren anzuwenden? Bzw kann man immer das Verfahren anwenden und nie mit Lamda ausmultiplizieren?

[@MathePeter]

Genau, das Verfahren ist immer anwendbar und Lambda ausmultiplizieren ist einer der schlimmsten Fehler, die du machen kannst. Es kann aber sein, dass du mal mehr als nur zwei Gleichungen mit Lambda hast. Für jede Variable hast du eine Gleichung mit Lambda. Es kann sogar sein, dass du mehr als nur einen Multiplikator hast, Lambda1, Lambda2,... Das passiert dann, wenn du mehrere Gleichungsnebenbedingungen hast. Aber auch das lässt sich alles mit dem selben Trick lösen, schau mal hier: kzbin.info/www/bejne/j3KsdmWCrqeSlas

[@markuswerner7271]

@@MathePeter also noch eine Verständnis frage 😅, ich mache mithilfe des additions verfahrens aus 2 Gleichungen eine gleichung, anschließend nutze ich zu dieser dass einsetzungs Verfahren berechne meine x oder y Werte und setzte zum Schluss in dze nebenbedingung bzw 3 gleichung ein, kann man das so stehen lassen? 🤔

[@MathePeter]

Genau so! :)

[@vitamine6265]

kann man das addtitionsverfahren auch mit 2 nebenbedigungen leicht anwenden?

[@MathePeter]

Na klar, machst es dann einfach mehrfach :)

[@padraigsweeney7028]

Wenn man die Gleichungen mit x oder y multipliziert muss man dann nicht ausschließen, dass x oder y gleich null sind?

[@MathePeter]

Nein, weil die auf diese Weise möglicherweise dazu gewonnenen Ergebnisse ebenfalls Lösungen sind. Das gilt nur bei Lagrange, weil auch dann Kandidaten für Lösungen vorliegen, wenn der Gradient der Nebenbedingungen verschwindet. Wird aber oft einfach vergessen zu erklären.

[@updatedotexe]

Ist es auch möglich, dass in der Nebenbedingung ein z drin vorkommt? Weil dann wäre die Lagrangefunktion ja auch noch von z abhängig oder wie wäre das?

[@MathePeter]

Ja das ist kein Problem, es können beliebig viele Variablen drin sein :) Wie du in so einem Fall mit der Determinantenmethode arbeiten kannst, hab ich jeweils in extra Videos erklärt. Also der Fall 3 Variablen und 2 NB und auch 3 Variablen und 1 NB.

[@updatedotexe]

@@MathePeter Jup, hab das Video schon gesehen. Ist ja mal hammer nice :D

[@drstoned8523]

klappt der determinanten trick auch mit 3 variablen? also xyz ?

[@MathePeter]

Am besten klappt er, wenn es bei n Variablen genau (n-1)-Gleichungsnebenbedingungen gibt. Wenn es mal weniger Nebenbedingungen gibt, dann streiche soviele Zeilen aus der Matrix, bis sie quadratisch ist und dann ist er wieder anwendbar. Du musst dann allerdings mehrfach Zeilen streichen und den Trick anwenden. Im Endeffekt entspricht es lediglich dem "lambda eliminieren durch Additionsverfahren".

[@drstoned8523]

@@MathePeter danke das macht sinn und sry das ich mich so spät zurückmelde, die benachrichtigung garnicht gesehen

[@jannisgentele124]

Eeeeehreeeeenmann

[@flikflak7678]

Findet das Additionsverfahren auch Anwendung bei f(x,y,z,w)=xyzw-(y-1)^2, g_1(x,y,z,w)=xy+yz+zw-3, g_2(x,y,z,w)=xz+yw-2, wobei g(x,y,z,w)=0 als Nebenbedingung? Zu untersuchen ist ob es in P=(1,1,1,1) eine Extremstelle gibt. Denn um die Zeilen gleich zu machen, müsste man auf eine der Zeilen dann addieren. Aber dann addiert man auch was bei der 0 hinzu...

[@MathePeter]

Das funktioniert auch bei den Beispiel.

[@valentinroth9774]

God of Math

[@florian8907]

Könntest du bitte erklären, warum die dazukommenden Punkte bei 12:56 die Rangbedingung verletzen und vor allem was diese Rangbedingung ist, also warum das auch Kandidaten sind

[@MathePeter]

Die Rangbedingung ist erfüllt, wenn die Grandienten der Nebenbedingungen linear unabhängig sind. In diesem Fall lassen sich die Nebenbedingungen lokal nach den Lagrange Multiplikatoren auflösen und das Lagrange Verfahren liefert Kandidaten für kritische Punkte. Wenn allerdings die Rangbedingung innerhalb des zulässigen Bereichs verletzt ist und das Lagrange-Verfahren versagt, dann können trotzdem Extrema vorliegen. Beispiel: f,g: ℝ⁺₀ x ℝ⁺₀ -> ℝ mit f(x,y)=1/e^(x+y) und g(x,y)=x*y=0 besitzt laut Lagrange keine Lösungen; allerdings ist bei (0,0) die Rangbedingung verletzt und es liegt dort sogar ein (globales) Maximum vor.

[@florian8907]

@@MathePeter Vielen Dank erstmal für die ausführliche Antwort. Ich habe jetzt das Beispiel mal durchgerechnet und wenn ich das richtig verstehe multiplizieren wir beim Additionsverfahren immer L_x mit g_y und L_y mit g_x und somit kommt die Lösung dazu, die wir erhalten, wenn wir den Gradienten von g gleich 0 setzen. Und das prüfen, ob diese Lösung g=0 entspricht geschieht "automatisch", da L_lampta=g=0 auch gelten muss. :)

[@MathePeter]

Exakt!! Freut mich, dass du die Logik dahinter nachvollzogen hast. Die Determinantenmethode ist sozusagen nur eine Zusammenfassung aller Sachverhalte.

[@xLnZ8cX]

Hi, im Höm2 Skript (RWTH Etechnik) steht dass Gradiant f = Gradiant g sein soll, das würde aber bedeuten dass grad. f- grad g = 0 sein sollte. (?) Die Idee dahinter ist ja, dass g linear abhängig von f sein soll. Jedenfalls kommt ich bei deinem Ansatz dann immer mit den Lösungen unserer aufgaben in Konflikt, da lambda ein gedrehtes Vz hat, das ist aber egal oder? ist dann ja immernoch linear abhängig

[@xLnZ8cX]

Zudem habe ich das Problem, dass wenn in der NB zwei Terme mit Y, aber unterschiedlichen Potenzen vorkommen, hat der zweite Teil des Radians zwei Terme mit Lamda *y, also ist man in dem Fall gezwungen auszuklammern und das Additionsverfahren funktioniert nicht

[@MathePeter]

Ob man "-0" oder "+0" rechnet, ist egal, darum kannst du lambda abziehen oder addieren, das ändert nichts ander linearen Abhängigkeit, richtig. Und das Additionsverfahren funktioniert ja immer, wenn das lambda sowohl in fx, als auch fy steht. Probier mal die Determinantenmethode, damit kommst du direkt auf die Gleichung, die sich beim Additionsverfahren ergeben würde.

[@xLnZ8cX]

@@MathePeter Ok, danke nochmal für den Tipp mit der Determinanten Methode, den hatte ich glatt vergessen. Damit funktionierts wirklich viel einfacher! mal sehen wie es dann in der Klausur am Samstag wird ^^ Danke nochmal für deine Videos, die heben sich wie viele hier auch schon geschrieben haben echt krass von den andern Mathekanälen wie Daniel Jung und SimpleClub ab, sowohl von der Qualität als auch der Verständlichkeit.

[@MathePeter]

Danke dir! Viel Erfolg am Samstag!!

[@smilingprincess24]

Hey, könntest du mir bitte diese Frage beantworten? Was bedeutet das Ausrufezeichen über dem Gleichzeichen? :)

[@MathePeter]

Ja klar, das Ausrufezeichen bedeutet "notwendig". Weil die erste Ableitung ist ja nicht Null, aber wir erzwingen die Null.

[@smilingprincess24]

@@MathePeter viele Dank. ☺️👍🏼

[@esperanza4170]

Wie funktioniert das mit dem additionsverfahren bei mehreren nebenbedingungen? :)

[@MathePeter]

Gleiche Prinzip nur eben öfter, weil ja alle lambda eliminiert werden müssen. Schnelle Alternative ist die Determinantenmethode :)

[@kinglak6640]

Wie funktioniert der Trick mit den eliminieren der Lambadas bei einer Funktion mit 3 variablen plus lambda, also 4 Gleichungen

[@MathePeter]

Dann musst du paarweise die lambdas mit dem Additionsverfahren eliminieren, bis du genau so viele Gleichungen (ohne lambda) wie Unbekannte hast.

[@niklas0000]

funktioniert der det() trick nur bei 2 unbekannten? wenn es x, y, z gibt wäre die det() nicht definiert oder?

[@MathePeter]

Streng genommen funktioniert es nur bei n Variablen und k=n-1 (Gleichungs-)Nebenbedingungen. Aber du kannst es auch anpassen, wenn es weniger Nebenbedingungen gibt. Dazu hab ich auch ein Video gemacht. Such mal nach "Determinantenmethode 3 Variablen 1 Nebenbedingung" und du findest es.

[@niklas0000]

@@MathePeter danke!!

[@__Ruslan__]

10:50 Ich dachte erst Satz von Vegeta #Dragonball

[@MathePeter]

Ursprünglich wurde dieser Satz auf dem Planeten Vegeta gefunden und durch eine Zeitkapsel auf die Erde gebracht, wo ihn dann Vieta gefunden hat 😄

[@caesarzheng3815]

Dank erstmal. Unsere HA hat viele Extremale Problem mit Ellipse. Aber hier finde ich kaum was Ähnliches. Vlt kannst du mal mit dem Thema ein Video machen oder Hinweise geben. Danke.

[@MathePeter]

Das Video enthält alles was du brauchst. Gib mir doch mal eine Aufgabe bei der du nicht weiter kommst.

[@caesarzheng3815]

@@MathePeter bist du so nett?haha, wollte dich gar nicht während den Feiertagen stören. Aber ich bin schon seit gestern mit dieser schief Ellipse beschäftigt. und zwar extremaler Abstand zu Ursprung. Fkt. x^2+y^2+xy=1. Habe die Fkt schon um 45º gedreht bekomme ich u^2/1/3+v^2=1 , ein weitere Hinweis wäre sehr dankbar. Muss ich dann dieser gedreht Fkt ableiten? bin kein Ellipse Mensch.lol frohe Weihnachten nachträglich. 谢谢

[@caesarzheng3815]

Ohne Nebenbedingung.

[@MathePeter]

Danke war echt schön mal wieder bei der Familie und alten Freunden zu sein, morgen gehts aber erst mal über Silvester in die Berge. Hoffe hattest auch schöne Feiertage :) Die Ellipse selbst ist die Nebenbedingung, g(x,y)=x^2+y^2+xy-1=0 Der "Abstand zum Ursprung" ist die Zielfunktion, die Funktion die minimiert/maximiert werden soll, also f(x,y)=x^2+y^2. Benutz einfach den Trick mit der Determinantenmethode aus dem Video und du bist in Rekordzeit mit der Aufgabe fertig. Nahezu die identische Aufgabe erkläre ich übrigens im Detail in einem Video im Online Kurs "Extremwertrechnung", aber auch im Kurs "Funktionen mit mehreren Variablen", wenn du Interesse daran hast, schau mal unter dem Video nach, da hab ich die verlinkt :)

[@caesarzheng3815]

@@MathePeter allein allein, allein allein,.Ich geniesse meine Ruhe.\

[@TrueBlueNeXus]

Kann mir jemand erklären warum die "Verstecken" Lösungen bereits in diesem Verfahren beinhaltet sind ? Da wir in der Uni dieses Verfahren nicht behandelt haben könnte es sein das ich diesen Lösungsweg in der Einsicht diskutieren muss wenns drauf ankommt.

[@MathePeter]

Bei der Suche nach Extrema unter Gleichungsnebenbedingungen kriegst du auch Kandidaten, wenn der Gradient der Nebenbedingungen verschwindet, schau noch mal ab 12:48, da hab ich das erklärt. Stichwort "Rangbedingung".

[@Schoggele]

Wenn ich nur eine Nebenbedingung habe, dann kann ich ja auch nur einen Wert für Lampda ermitteln oder? Hab bei einer Aufgabe 2 stationäre Stellen ermittelt und durch das Einsetzten in die erste Ableitung bekomme ich für die beiden Stellen unterschiedliche Lampda-Werte. Das kommt mir aber nicht richtig vor. Hab leider auch keine Lösungen zu lampda was dessen Wert sein soll. Wäre nett, wenn mir wer aushelfen könnte :)

[@MathePeter]

Ja genau, für jeden stationären Punkt gibts in der Regel einen eigenen Lagrange Multiplikator :)

[@Schoggele]

@@MathePeter vielen Dank

[@TheghostgamerXD]

Wie geht man vor wenn man in Lx 2 λ-Terme hat und in Ly nur einen? Lx = 2x - 2λx + 4λ Ly = λ-1

[@MathePeter]

Wieder ausklammern, damit du nur ein lambda hast. Generell lass es besser nie soweit kommen, dass du ausmultiplizierst, das führt nur in eine Sackgasse!

[@marvinfunk6720]

Was passiert, wenn beim Nullsetzen des Gradienten der Nebenbedingung ein singulärer Fall auftreten kann?

[@MathePeter]

Dann ist das kein kritischer Punkt.

[@AS-lt4zf]

Wie kann ich das Lamda eliminieren, wenn davor nur eine Zahl z.B bei Lx: -1,5x + 1950 - Lamda und Ly -6x +7892 - Lamda steht? Ich kann da doch nichts hinzu multiplizieren.. Kann mir da jemand helfen? Danke!

[@MathePeter]

An dem Lambda steht jeweils nur der Faktor -1? Dann einfach bede Gleichungen subtrahieren und Lambda löscht sich aus.

[@TruongNguyen-pl9cd]

funktioniert das auch mit funktionalen ?

[@MathePeter]

Weiß ich nicht. Probiers mal aus und sag Bescheid :)

[@danebengeschissen]

Hallo vllt sieht jemand das und könnte mir bei meinem Problem helfen. Und zwar habe ich die Lagrangemethode mithilfe des Additionsverfahren benutzt und komme auf einen kritischen Punkt, während in der Lösung der Altklausur das Einsetzverfahren benutzt wurde, wodruch lambda übrig geblieben ist und mehr kritische Punkte zustande kamen, die bei mir nicht erkennbar sind. Ist es dann nicht so, dass das Additionsverfahren dann mögliche kritische Punkte außenvor lässt? Irgendwie verwirrt mich das..

[@MathePeter]

Beim Einsetzverfahren kriegt man die selben Lösungen raus. Man muss allerdings auch auf Fallunterscheidungen achten. Einfach nur "Einsetzen" reicht da manchmal nicht aus. Nimm am besten die Determinantenmethode, um ganz sicher zu sein.

[@danebengeschissen]

@@MathePeter alles klar, vielen Dank :)

[@lawlies7714]

Wie kann man die Art der kritischen Punkte ohne die Hilfe der geränderten Hessematrix bestimmen, falls einem die normale Hessematrix nichts bringt?

[@MathePeter]

Wenn das Gebiet, auf dem die Extrema gesucht werden, kompakt ist, dann gilt der Satz von Weierstraß: Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihr globales Minimum und ihr globales Maximum an.

[@lawlies7714]

@@MathePeter Hatte sogar daran gedacht mit diesem Satz zu arbeiten! Danke dir!

[@annawolf812]

Wäre es möglich, Kurse zu Geometrie oder Algebra zu erstellen? Ich wäre der erste, der sich diese holt😁

[@MathePeter]

Geometrie steht bei mir ganz hinten auf der Liste, tut mir Leid xD Aber Algebra schon eher. Nur vorher mache ich noch Kurse zur Analysis! Folgen&Reihen, Komplexe Zahlen, Gewöhnliche DGL.

[@annawolf812]

@@MathePeter Das habe ich mir schon gedacht 😁 Aber das macht nichts freue mich trotzdem darauf!

[@cxnx3371]

ja top und was wenn man mehrere lambdas hat?

[@MathePeter]

(1) Bei einem Optimierungsproblem mit n Variablen und k=n-1 (Gleichungs-)Nebenbedingungen kannst du weiterhin die Determinantenmethode nehmen. Ein Beispiel findest du hier: kzbin.info/www/bejne/j3KsdmWCrqeSlas (3 Variablen, 2 Nebenbedingungen) (2) Bei n Variablen und k

[@cxnx3371]

@@MathePeter Wow, danke! Bist einfach der Beste :)

[@kanackemitkopfchen7509]

Müsste dann aber nicht auch beim Eliminieren von Lamda die zweite mit ein halb multiplizieren, dass diese so aussieht wie die erste Gleichung

[@MathePeter]

Entweder die zweite mit 1/2 oder die erste mit 2 multiplizieren. In beiden Fällen werden die Vorfaktoren von lambda gleich.

[@Safouan-yr6ir]

Freshe Haare

[@alirezaansari7208]

du bist Got

[@herrderr366]

1,5 h VL in 17min

[@TuningFreak23]

Bei uns wurde gesagt dass das Gradient von g ebenfalls gleich 0 sein soll. Warum ist das so???:0

[@TuningFreak23]

Erklärst du am Ende '^^, nice

[@MathePeter]

Hier mal ein schönes Beispiel, bei dem die "normale" Herangehensweise keine Lösungen liefert, aber das Nullsetzen des Gradienten von g sogar zum globalen Maximum führt: f,g: ℝ⁺₀ x ℝ⁺₀ -> ℝ mit f(x,y)=1/e^(x+y) und g(x,y)=x*y=0 verletzt in (0,0) die Rangbedingung und es liegt dort sogar ein (globales) Maximum vor. Wenn du die Determinantenmethode verwendest, kriegst du den Punkt automatisch mit geliefert, ohne dir weiter Gedanken machen zu müssen.

[@tz9976]

Miiinus P halbe plus minus die Wurzel aus... P halbe ins Quadraaat minus Q

[@xro1001]

ich hasse es, hab nichts verstanden. wo kommen die zahlen her

[@MathePeter]

Die Zahlen aus der Aufgabe kommen aus meinem Hirn. Da hab ich sie mir ausgedacht. Wichtig ist nicht wo sie herkommen, sondern was damit passiert.

[@theelysium1597]

Mhm, eigentlich ein cooles Verfahren, was ich auch schon anwenden konnte, aber die Idee mit dem Additionsverfahren direkt Lambda zu eliminieren, scheint (vielleicht irre ich mich auch) so einfach bei Funktionen mit mehreren Nebenbedingungen nicht zu funktionieren.

[@MathePeter]

Natürlich wirds aufwendiger, wenn mehrere Variablen und Nebenbedingungen vorkommen. Das Additionsverfahren bleibt dabei trotzdem am schnellsten. Um noch mehr Zeit zu sparen, kannst du es auch auf elegante Weise nutzen in Form der Determinantenmethode: kzbin.info/www/bejne/j3KsdmWCrqeSlas Im Spezialfall, wenn du die Extrema einer quadratischen Gleichungen auf einer Sphäre suchst, empfehle ich dir mit Eigenwerten und Eigenvektoren zu arbeiten: kzbin.info/www/bejne/pIS8gJqQpL2plaM

[@theelysium1597]

@@MathePeter mhm, ich hab für meinen Fall keine Lösung über das LGS gefunden, was aber auch daran liegen mag, dass ich den harten "Bruteforce" nicht verfolgen wollte. Am Ende konnte ich anhand der Nebenbedingungen und der Funktion Maximum und Minimum der Funktion bestimmen und habe versucht mich über die Beschaffenheit der Funktion rauszuargumentieren. Richtig glücklich bin ich noch nicht. Ich werde die Aufgabe mal in den Discord posten, vielleicht haben andere ja noch bessere Ideen ;) Das Video mit der Determinantenmethode habei ch mir bereits angeschaut, aber leider haben wir diese Methode erst heute besprochen.

[@MathePeter]

Gib mal dein Beispiel. Und ihr besprecht die Determinantenmethode in der Uni? 😄

[@theelysium1597]

@@MathePeter Gerne, das Beispiel ist: $f: \mathbb{R}^3 ightarrow \mathbb{R}, f(x)=4x_1+x_2-2x_3$ auf der Menge $K={x\in\mathbb{R}^3:x_1+x_2+x_3=0, x_1^2+x_2^2+x_3^2=1}$ Bestimmen sie alle lokalen Extremstellen sowie das Maximum und Minimum der Funktion. Zur Determinantenmethode: Das schien mir zumindest so. Die letzte Vorlesung (gestern) habe ich noch nicht nachgearbeitet und mein Professor hat einen Weg Formeln anzuschreiben, so dass man es möglichst schwer hat alternative Quellen zu finden ^^ daher kann ich erst nach der Nacharbeitung sagen, ob das die selbe Methode ist. Aktuell ist das aber meine Vermutung, weil es von der Thematik passen würde. (Mathe für Naturwissenschaften II Bielefeld)

[@MathePeter]

Mit der Determinantenmethode ist die Aufgabe sehr leicht lösbar.

[@jacobdietertupactorresbart435]

Bei 10:35 : Liefert es mir nicht noch eine weitere Lösung wenn ich y⁴ in die nebenbedingung einsetze? y = 1 für y⁸ + y⁴ = 2 stimmt ja aber gibt es nicht auch eine Lösung mit y⁸ ≠ y⁴ vlt denke ich auch zu twisted, kommentare sehr geschätzt VG

[@MathePeter]

Im Komplexen gibts neben den Lösungen y=±1 auch noch 6 weitere im Komplexen. Allerdings gehts hier nur um reelle Funktionen und Variablen.