Матриці та дії над ними

В лекції розглянуто основні означення, які стосуються поняття "матриця", операції, які можна здійснювати над матрицями, а також властивості таких операцій.
Зміст:
00:00 початок
00:20 матриця, нульова матриця
05:15 квадратна, діагональна та одинична матриці
08:48 верхньотрикутна (нижньотрикутна) матриця
10:48 крайній елемент рядка матриці, східчаста матриця
14:00 рівність матриць
15:14 додавання матриць
16:40 множення матриці на число, лінійна комбінація матриць, протилежна матриця
19:31 приклад (лінійна комбінація матриць)
20:52 властивості додавання матриць та множення матриці на число
22:07 множення матриць
25:26 приклад (множення матриць)
27:38 властивості множення матриць
30:28 піднесення матриці до степеня, матричний многочлен
31:43 транспонування матриці, транспонована матриця, симетрична матриця
34:16 властивості транспонування матриць
35:15 елементарні перетворення матриць
36:31 приклад (зведення матриці до східчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень)

[@aurvnxia3644]

Щиро дякую! Почали вивчати матриці в університеті, проте на жаль на парах нічого не зрозуміло. Дякуємо за пророблену роботу та відкритий доступ до лекції!!

[@FOLDIK_UA]

згоден з кожним вашим словом)

[@alexandrosadchuk9513]

дякуююююю! нарешті змогла спокійно розібратися, що до чого!

[@sdfy]

Ви змогли роз'яснити за 43 хвилини те, що наш викладач не зміг роз'яснити за 2 пари. Велике спасибі!)

[@sdfy]

Ми в той день списали по 14 сторінок, і я з впевненістю можу сказати, що з 32 людей зрозуміли тему, від сили, 2-3

[@oleksandryashchenko6720]

Молодець, дуже допоміг, але можна і трішки бадьоріше))

[@alexandrosadchuk9513]

як на мене, то це вже ваші забаганки. очеться веселощів, то попригайте собі

[@user-fi4sp2se2f]

Щаслива,що знайшла ваші лекції.❤

[@lordgogo9448]

мінус загубив в останньому прикладі(-1 в 1рядку має бути),але це не впливає на розв'язок,дякую за пояснення!

[@mrnahibator6820]

Дякую за чудесну лекцію. Дуже допомогли)

[@konvaliya]

Дякую вам, все зрозуміло 😊

[@user-mx1lt2bw6x]

Матеріал викладено дуже якісно. Дякую!

[@Timon_NEON]

Дякую!

[@user-mq3xl6uz4g]

Дякую, щось теорію не дуже сильно хочеться читати..)

[@McAlekzandr]

👍👍👍

[@user-vz7eb4mm7n]

21:40 7 пункт, чи не має там бути бета, що множиться на А?

[@SimonBodnarchuk]

Так, звичайно там має бути матриця А. Дякую за уважність :)

[@xxxxxez1560]

Дякую

[@user-ts6yu1mq1l]

Дякую! Дуже корисний відео урок.

[@suki3023]

А чому на 42:21 ми множимо 3 на другий рядок і потім його віднімаємо від третього? Трохи не розумію, від чого це залежить, чому там саме 3? Бо 3 числа які не є нульовими?

[@SimonBodnarchuk]

Мета всіх перетворень в цьому прикладі - отримати нулі під головною діагоналлю матриці. Щоб отримати 0 на позиції з індексом 3,2 (там де стоїть число -5), можна було одразу від третього рядка відняти 2-й рядок, помножений на 2.5, оскільки -5 - 2.5*(-2) = -5 + 5=0. Але тоді ми отримаємо дробові числа на інших позиціях, а з дробами працювати не дуже зручно. Тому, щоб цього уникнути, було зроблено декілька додаткових дій, які дозволити отримати 0 на потрібному місці і при цьому не працювати з дробами.

[@Miss_Kris_]

доброго дня, можливо ви маєте більшь детальну інформацію про множину показників степеня матриці? буду дуже вдячна за допомогу

[@SimonBodnarchuk]

Добрий день. Яка саме інформація Вас цікавить? П. С. В лекції розглядаються натуральні показники степеня. Взагалі можна підносити матрицю до степеня, який є дійсним числом, але це досить непросто (але при цьому досить цікаво) і виходить за межі стандартного курсу з вищої математики.

[@Miss_Kris_]

@@SimonBodnarchuk мене цікавити взагалі будь яка інформація з теми , що я написала (властивості, приклади, формули)...

[@SimonBodnarchuk]

@@Miss_Kris_ мабуть складно знайти одне джерело, де зібрана вся інформація про піднесення матриці до степеня, оскільки така операція - це частинний випадок множення матриць (тобто, всі властивості прямо переносяться з множення і немає потреби ще раз їх розписувати). Раджу Вам просто погуглити ("піднесення матриці до степеня", "возведение матриц в степень", "power of matrix"), принаймні прикладів можна назбирати достатньо. Ось тут наприклад є навіть теоремка з деякими властивостями mathonline.wikidot.com/powers-of-a-matrix

[@user-ib8rv1vr4r]

Классно сделано. Но вот вопросик: а почему умножение матриц имеет такую хитрую формулу? Чем это обусловлено? Почему мы не просто поэлементно умножить?

[@SimonBodnarchuk]

Розглянуте правило множення має застосування (тобто з'являється в прикладних і не дуже задачах) і зберігає багато властивостей множення дійсних чисел. В принципі можна вигадати своє правило множення, але питання в тому чи буде воно мати хоча б якийсь сенс та застосування.

[@user-ib8rv1vr4r]

@@SimonBodnarchuk Спасибо большое, Семён Владимирович! Подумаю над своим способом умножения)))

[@user-de7fk6xc1x]

разве во время перестановки столбцов или рядов не нужно менять знак определителя? 39:40, в ссылке ниже показано как сделать треугольную матрицу и там меняли kzbin.info/www/bejne/h4KbaqVmhZWtppo

[@SimonBodnarchuk]

Знак міняти не потрібно, бо ми розглядаємо матрицю, а не визначник. Визначники будуть в наступній лекції. І в наведеному Вами відео розглядаються саме визначники.

[@user-de7fk6xc1x]

@@SimonBodnarchuk понятно, спасибо

[@onegog5435]

!!!!!!!!!!!!!!

[@hipro8022]

40:05 , можете будь ласка детальніше пояснення, чому множимо 2 стопчик на 2 а 3 стопчик на 3 так само на 42:15 ??

[@SimonBodnarchuk]

Ми множимо не стовпчики, а рядки. Робимо це для того, щоб утворити нулі під головною діагоналлю матриці. Необхідні для цього дії описані по ходу розв'язання прикладу.

[@hipro8022]

​​​@@SimonBodnarchukой перепрошую 2 рядок множимо на 2 а 3 рядок множимо на 3 так само на 42:15 ? Звідки взялися ті цифри 2 і 3

[@SimonBodnarchuk]

@@hipro8022 від 2-го рядка віднімаємо 2 перших рядки (тоді перший елемент в 2-му рядку стане рівним 0, оскільки 2 - 2*1 = 0). Так само робимо і з 3-ім рядком: від третього рядка віднімаємо 3 перших рядка (знову, перший елемент в третьому рядку стане нулем). Таким чином ми отримаємо нулі в першому стовпчику під числом 1.

[@hipro8022]

@@SimonBodnarchuk дуже сильно дякую за пояснення. Ви найкращі. Врятували мене! Ще раз дякую!!

[@MaXyM_TaRaN]

41:30 можна це записати як 3-(-1-1) ? І ще одне питання а як зрозуміти коли потрібно віднімати в даному випадку 2 перших рядки і віднімати 3 перший рядки так само із додаванням? Чому саме так ви зробили, і чому саме ви брали 3 рядок і 2 рядок але не 1

[@SimonBodnarchuk]

це те ж саме, що і 3 - 2*(-1), бо від другого рядка ми віднімаємо перший, помножений на 2. Даний приклад полягає в тому, щоб звести матрицю до східчастого вигляду. Для цього потрібно отримати нулі в нижній частині матриці. Тому перший рядок ми зазвичай не чіпаємо, але використовуємо його, щоб обнулити елементи в другому, третьому і так далі рядках. Наприклад, від другого рядка нам потрібно відняти стільки перших, щоб отримати 0 на першій позиції в другому рядку 🙂щоб отримати це в даному випадку, потрібно відняти саме 2 перших рядки

[@MaXyM_TaRaN]

@@SimonBodnarchuk я щиро вам вдячний за вашу працю і за зрозуміле пояснення яке ви дали мені. Ви краще пояснили мені в писемному вигляді ніж мій викладач на парі. Ви найкращі продовжуйте в такому ж дусі. Дякую велике вам. 🤝

[@seniorbandit21]

А хіба у 29:25 в матриці АВ зверху зліва не 1 а то все 0 ?

[@SimonBodnarchuk]

Для отримання елемента зверху-зліва треба "перемножити" перший рядок матриці А на перший стовпчик матриці В, тобто отримаємо 1*1 + 1*(-1) = 1 - 1 = 0.

[@user-qt2yd4ff4i]

Чи можете ви додати субтитри до своїх уроків? тому що я іноземний студент, я погано слухаю

[@SimonBodnarchuk]

I'll try to make subtitles but it's quite complicated task for me. I can't promise anything.

[@user-qt2yd4ff4i]

Семен Боднарчук дякую

[@elijahobiefuleh6629]

41:30 Так и не понял почему 5, видимо у препода ошибка вышла

[@SimonBodnarchuk]

5 = 3 - 2 * (-1)

[@elijahobiefuleh6629]

@@SimonBodnarchuk А, я всё понял, спасибо)

[@hipro8022]

​@@elijahobiefuleh6629можешь пожалуйста мне расписать ато я чот немогу понять что к чему и как ?

[@vladimirdushkin5213]

Мені чомусь здається, що при використанні латинського алфавіту читається і та йот, а не і та джі.

[@SimonBodnarchuk]

Латинською читається йот, англійською - джей, французькою - жі. Гадаю, що можна використовувати будь-який з цих варіантів.

[@user-hq6gv7ps2v]

Ви там помилки робите щоб віднімати додаєте

[@user-hq6gv7ps2v]

ну да мінус упустили

[@user-hq6gv7ps2v]

а у вас 1 і 10

[@user-hq6gv7ps2v]

-5-6=-11 -5-15=-20

[@SimonBodnarchuk]

-5 - 3 * (-2) = -5 + 6 =1 -5 - 3 * (-5) = -5 + 15 = 10

[@user-on8nl2ix4w]

Сразу видно что это школьный учитель ибо куча теории и ничего не понятно