[미분방정식] 10편. '비제차 상미분방정식', 왜 '제차'의 해까지 구해줘야 할까?

안녕하세요 :)
비제차 상미분방정식의 해를 구하는 법인, '미정계수법' 스터디를 하기전에
일단 해 자체가 어떻게 표현되는지를 살펴보아요 ^^
항상 감사합니다 :)

[@sjlee6913]

정말 좋은 강의입니다. 미분방정식 공부 중 '비제차 상미분방정식을 풀 때 특수해만 구해주면 되지, 왜 제차 방정식일 때의 해까지 구해서 더해주어야 하는거지?'라는 의문점이 항상 들었는데 속 시원히 해결 됐습니다. 강의 정말 감사합니다!!

[@bosstudyroom]

격려의 댓글주셔서 정말 감사드립니다 ^_^

[@gracep4306]

촌철살인 같은 짧고 명료한 강의 너무 감사해요. 이해하는 데 키포인트를 짚어주셔서 너무 좋네요!

[@bosstudyroom]

ㅎ_ㅎ 너무 친절한 피드백주셔서 감사합니다!

[@kikislong]

1편부터 정주행했습니다. 모든 편마다 댓글을 달려고 했으나 스토커같아서 이제 달아요 ㅋㅋㅋㅋ 정말 목소리도 좋으시고 설명도 어쩜이렇게 이해되게 잘해주세요 ???? ㅠㅠㅠㅠ 원서에다 영어 수업이라 진짜 내가 바본가하고 좌절하고 있었는데 진짜 빛한줄기에요 ㅠㅠ 정말 계속 유튜브해주세요 짱짱 최고최고 보석같은 보스 감사합니다 ㅠㅠㅠㅠ♥️

[@bosstudyroom]

ㅎㅎ 이렇게나 좋은 댓글을 남겨주시다니 정말 영광입니다 :) 앞으로도 계속 유튜브 잘 해보도록 할게요! 감사합니다 ^_^

[@user-pq6ei2su5z]

영상 정말 정말 감사합니다 다음 강의가 너무 기다려지네요

[@bosstudyroom]

ㅎㅎ 감사합니다! 최대한 빠르게, 그리고 최대한 양질의 영상 업로드하도록 해볼게요 ^^

[@user-zs8cg4yh6l]

정말 나만 알고싶은 강의입니다.... 너무 좋아요...

[@bosstudyroom]

너무 좋은 댓글을 남겨주셔서 감사합니다 :)

[@공업수학전문채널]

좋은강의네요!! 훌륭하십니다

[@bosstudyroom]

!! ^^ 오수학TV님 정말 감사합니다 :)

[@user-ou6rr8fe1x]

덕분에 공학수학 포기하고있다가 강의보고 전부이해했습니다 감사합니다!

[@bosstudyroom]

:) 감사드립니다 ^_^

[@user-appleyumyum]

항상 좋은 강의 감사해요..! 혹시 다음 영상은 언제쯤 올라올지 알려주실 수 있으싱까요?

[@bosstudyroom]

정말 감사해요 :) 아마 오늘 안으로 올릴 수 있을 것 같습니다 ^^ 미정계수법 관련 내용이에요!

[@user-bt5xp5cx3j]

궁금했던 점이 시원하게 해결되써요 감사합니다! 근데 제가 다른데서 공부하면서 특수해만으로는 해가 될 수 있지만 제차해만으로는 해가될수없다? 라는 걸 배웠는데, 그냥 그러려니 하고 문제를 풀긴 하는데 그건 왜 그런건지 여쭐수 있을까요?

[@bosstudyroom]

아 , 무슨의미의 말인지 알 것 같네요^^ 비제차인 미분방정식의 해 중에서, 특수해는 그 미분방정식의 형태 자체를 만족하는 의미를 갖지만, 제차해는 우변이 0일때, 즉 비제차가 아닌 말그대로 제차 미분방정식 일 때의 식의 형태를 만족시키는 해 이기 때문에 그렇다는 의미로 해석됩니다 :)

[@bosstudyroom]

간단한 예로, y''-y=sin2t 에 대해서도 그렇죠? 특수해는 대입해주면 그 결과가 sin2t가 나오겠지만, 제차해는 대입해주면 그 결과가 0이 됩니다 :) 즉, 제차해는 포함시켜줘야 할 뿐, 대입해준 결과가 그 자체만으론 우변의 비제차항이 되지 않습니다 :)

[@user-bt5xp5cx3j]

@@bosstudyroom 아... 그렇군요! 감사합니다!!

[@bosstudyroom]

@@user-bt5xp5cx3j 멤버쉽 가입 까지 해주시다닝.. 정말 감사드립니다^^😗

[@cspby]

만약 우변이 상수인 경우에는 particular solution을 어떻게 구해줘야 할까요? 응용에서 막혀버렸습니다 ㅠ

[@hungry....]

갑자기 수학이 재밌어진다

[@bosstudyroom]

😙

[@user-ic7qs5tg7l]

공수농축액 쪼옵쪼옵

[@dkskals2498]

제차방정식의 해를 일반해, 비제차방정식의 해를 특수해라고 하고 비제차방정식의 전체해? 어떻게 표현해야하는지 잘 모르는데 일반해와 특수해 둘다 더해주면 된다고 설명하면 되나요?

[@user-qb5er5rf3y]

감사합니다. 평소에 궁금했던 것들에 대해 정말 많이 배우고있습니다. 하지만 제 짧은 식견으로는 여전히 왜 '제차'의 해까지 구해줘야 하는지 이해가 가지 않습니다 ㅜㅜ 그러니까, 동영상의 증명은 비제차 방정식을 풀 때 제차 + 비제차를 해도 "문제가 없다" 로 해석되지, 왜 제차까지 구해야 하는가에대한 근본적인 궁금증은 계속 풀리지 않습니다. 예를들어서 정말 간단히 비유하자면 3 = 3 + 0 인데, 왜 0을 굳이 더하는 형태로 결과를 나타내야 하는 것인지.. 저 0이 없으면 어떻게 잘못되는 것인지 잘 모르겠습니다. 괜찮으시다면 추가 설명 부탁드립니다 ㅜㅜ

[@bosstudyroom]

좋은 질문입니다! 이를 이해하기 위해서는 선형대수학을 아시면 더 좋지만, 아직 익숙하지 않으시다는 가정 하에 답변을 드릴게요. [1] 우선 '제차'와 '비제차' 중에서는 (오히려) '제차'가 더 중요합니다. 이는 제차 미분방정식을 만족하는 지수함수 꼴(exp)의 해를, '벡터공간'을 생성하는 '기저' 벡터로 볼 수 있다는 점을 이용하여 설명이 가능해요. 보통 벡터라고 하면 2차원, 3차원 (유클리드) 공간의 벡터만을 떠올릴 수 있지만 일반적인 벡터의 정의는, '벡터공간'의 정의를 만족하는 집합에 '속하는 원소'입니다. 이때 '제차 상미분방정식의 해집합'은 벡터공간의 정의를 만족시킵니다. (이는 제가 다른 영상에서 설명드린 선형대수학에서 설명드린 적이 있어요!) 일례로, 2계 제차 상미분방정식인 y'' + 5y' +6y = 0 해가 이루는 집합을 exp(-2x)과 exp(-3x)로서 표현(생성) 가능한 것은 2차원 (유클리드)공간을 'x축 단위벡터' 및 'y축 단위벡터'로 표현 (생성) 가능한 것과 같은 상황입니다. 그렇다면, 일단 n계 제차 미분정식의 해는 (선형대수학에 따라) n개의 기저함수로 표현하면 되죠.

[@bosstudyroom]

[2] 다만 (질문하신) 비제차의 경우는 조금 다르게 해석해야 합니다. (아래 부분 부터는 이전에 다른분께 답변드린 내용이라서 붙여 드릴게요.) : 비제차 미분방정식의 해를 y라고 할 때, 다음과 같은 선형 상미분방정식을 만족시킨다고 합시다 : y" + p(x)y' + q(x)y = r(x) 그런데 yp라는 해는 좌변의 결과로 r(x)를 주는 또 다른 해라고 합시다. 즉, 설정 상 yp" + p(x)yp' + q(x)yp = r(x) 로서 우변이 같죠. 두 식을 빼면, (y-yp)" + p(x)(y-yp)' + q(x)(y-yp) = 0 으로서, 우변이 0이 되었으니 y-yp는 제차 미분방정식의 해가 됩니다. 그렇기 때문에 y-yp는 e의 지수함수 꼴을 갖는 기저의 합으로 기술할 수 있으며, 그러한 형태의 해를 yc라고 둔다면 y-yp = yc 입니다. 따라서 y = yp + yc 이고, yp는 특수해이죠. 이렇게 y-yp가 제차 미분방정식의 해임을 통해서 y = yc + yp인 것을 설명하는 미분방정식 교재가 더 많습니다 : )

[@user-qb5er5rf3y]

@@bosstudyroom 아직 선형대수학을 정확히 알지 못해 100%이해하지는 못했지만 정말 많은 도움이 되었습니다. 더욱 열심히 공부하여 이 의미를 정확히 이해하기 위해 노력하겠습니다 ! 정말 감사합니다 !