１のn乗根の問題を体系化【複素数平面が面白いほどわかる】

[@bamon_o_piz]

複素数って答え自体はめちゃくちゃ簡単だから超気持ちいい

[@あんにん-y1v]

わかりやすかったので復習用に時々見させて頂きます！

[@ぼけにゃす]

複素数はチャートやめて 先生の動画にある問題解けるようにしようと思います😇

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録70V" 【 ド･モアブルの定理 】 ⑴ z⁵ ＝ 1 省略■ 〖 参考 〗z＝ cos2π/5 ＋i sin2π/5 のとき、zⁿ＝ cos2π/5・n ＋i sin2π/5・n ( zⁿ )⁵ ＝ cos2π･n ＋i sin2π･n ⇔ ( zⁿ )⁵ ＝ 1 だから、 zº, z¹, z², z³, z⁴ は、x⁵ ＝ 1 の異なる五つの解である。⑵ z⁴ ＝ －8＋8√3 i 省略■ ⑶〖 別解 〗 z⁶＋z³＋1＝ 0 ⇔ ( z³－1 )( z⁶＋z³＋1 )＝ 0, z³ ≠ 1 ⇔ z⁹ ＝ 1, z³ ≠ 1 よって、 z＝ cos40°･n＋i sin40°･n ( n＝ 1, 2, 4, 5, 7, 8 ) ⑷ z⁵ ＝ 1 だから、( z－1 )( z⁴＋z³＋z²＋z＋1 )＝ 0, z≠ 1 だから、z⁴＋z³＋z²＋z＋1＝ 0 ■ これより、 ( z＋z⁴ ) ＋ ( z²＋z³ )＝ －1 ⇔ ( z＋z* ) ＋ ( z²＋z²* )＝ －1 ⇔ 2・cos2π/5 ＋2・cos4π/5 ＝ －1 ⇔ cos2π/5 ＋ cos4π/5 ＝ －1/2 ■ z⁴＋z³＋z²＋z＋1＝ 0〖相反形〗 ⇔ ( z＋1/z )² ＋( z＋1/z ) －1＝ 0 ( ∵ z≠ 0 ) これより、 w²＋w－1＝ 0 ･･･① ∴ w²＋w＝ 1 ■ ①より、w＝ (－1 ± √5 )/2 ここで、w＝ z＋z* ＝ 2・cos2π/5 だから、cos2π/5＝ (－1＋√5 )/4 ■ ⑸ z＝ cos2π/5・n ＋i sin2π/5・n ( n＝ 0, 1, 2, 3, 4 ) とおくことができて、 z⁵＝ 1 より、 1, z¹, z², z³, z⁴ は、 x⁵ ＝ 1 の異なる五つの解である。 ( x－1 )( x⁴＋x³＋x²＋x＋1 )＝ 0 ( ⅰ ) x＝ z＝ 1 のとき、A＝ 2・2・2・2＝ 16 ■ ( ⅱ ) x＝ z≠ 1 のとき、x⁴＋x³＋x²＋x＋1＝ ( x－z¹ )( x－z² )( x－z³ )( x－z⁴ ) ･･･① z⁵＝ 1 より、A＝ ( 1＋z¹ )( 1＋z² )( 1＋z⁴ )・( 1＋z³ ) ＝ 1 ■( ∵ ①で x＝ －1 )

[@neo-universe]

早いですが停止しながらゆっくり考えたらお陰様で理解できました。あざます

[@哲平伊野]

最後のマジであたまいいよね

[@User-f9hi]

Step3で両辺にz³-1をかけて z⁹-1=0とし、 z⁹=1の解からz³=1の解(偏角0°,120°,240°)を除外するのもありですか？

[@shoyumentaimayo]

4:50どこから40度とか80度って出てきたんですか？

[@shoyumentaimayo]

解決しました！

[@user-vo4zs2is8x]

11分あたりの|z|=1はなぜ成り立つのですか？ 最後の問題のz^2などが解になるところもよくわからないですだれかおしえてください😢

[@jelly9227]

極形式の前のr=1

[@TENTENpen]

前の人が言ってるようにこの式の絶対値は1だから。√(cos2π/5)＾2+(sin2π/5)＾2を計算すれば絶対値は1って分かりますよ

[@TENTENpen]

計算しなくても絶対値が書いてない時点で単位円上っていうのは分かるけど

[@moonprismpowerm3k]

神

[@あいうえお-p7v8o]

最後のやつってz＝1を代入しても成り立つんですか？

[@mskkch6645]

題より Z＝cos(2π/7) + i sin(2π/7) なので Z ≠ 1 です。 ここでの意味は 1 Z (Z^2) (Z^3) (Z^4) (Z^5) (Z^6) を解に持つXの方程式は X^7＝1 で表せますね、､と言う意味です。

[@sub1_st]

5:39

[@kazusaka4063]

サムネはカッコが1個少ないよね

[@Yuki_chem]

僕がおかしいのかと思ったありがとう

[@増田修-v7e]

あうん