Notion de dénombrabilité

[@entent2329]

Incroyable le nombre de théorèmes/théories cool évoqués dans cette seule vidéo (hypothèse du continu, diagonale de Cantor, transcendentalité...), comme quoi, la dénombrabilité c'est vraiment un concept cool Soutien à vous et à votre chaîne, c'est vraiment sympa

[@benjamingenot1803]

Génial cette vidéo, comme les autres. On veut tout le programme de licence ! ;)

[@yassineelbasraoui8516]

Vous avez le sens de la vulgarisation scientifique. Merci beaucoup Monsieur.

[@rick-ogdennzenguenzengue55]

Vous êtes fort monsieur. J'ai bien compris la diagonale de cantor. C'est très intéressant.

[@boubabiuba7200]

Vraiment je ne sait pas quoi vous dire.mais que Dieu vous beni.votre cours ma aider.merci.

[@ricegoing]

Merci!!! et j'espère que Lebesgue viendra vite, encore merci pour le temps que vous prenez pour que l'on comprenne mieux tout ça!!!

[@MathsAdultes]

Le cours est quasiment fini de tourner, il est au montage ;-) Je mettrai en ligne les chapitres au fur et à mesure :-) C'est donc ce qui va arriver dans les prochaines semaines et prochain mois !

[@samdrid7994]

Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple, vous êtes génial, vous nous expliquez des notions très abstraites d'une manière simple.

[@abdellahmokaddem9303]

Bonjour Mr le professeur Merci mille fois on attend avec impatience l intégrale de Lebesgue qui est pour moi une véritable nouveauté, un saut dans l inconnu.

[@khelifaguendouzi6247]

Une de vos meilleures vidéos. Bravo.

[@eliot_4879]

Super la preuve pour les transcendants ! Merci !

[@yourigagarov3131]

super pedagogie tres original, sans equivalent sur KZbin 👍👍👍

[@blancheperic2055]

il me semble bien que la formule pour dénombrer NxN marche aussi pour (0,0) et donc elle est top, comme le prof ;-)

[@mathdrmath9988]

Merci professeur pour toutes ces vidéos riches en contenu et attirantes visuellement . J’ai une remarque : Pour la démonstration de la non-dénombrabilité de ]0,1[ il faut juste préciser que les développements décimaux des f(n) sont : propres , c’est à dire pas de 9 à partir d’un certain rang et que les b(i,i) sont choisis entre 0 et 8.

[@gholler1]

sur l'équivalence "existence d'une injection" et "existence d'une surjection", il aurait peut être fallu préciser que cette équivalence nécessite l'axome du choix (utilisé implicitement lorsqu'on choisit un représentant dans l'image réciproque de chaque élément de l'ensemble cible)

[@MathsAdultes]

C'est juste ! En même temps je me suis toujours demandé pourquoi il faudrait systématiquement citer cet axiome lorsqu'on l'utilise et pas les autres… Des collègues constructivistes ont tentés de me l'expliquer mais je n'ai pas vraiment été convaincu ;-)

[@مواطنمغربي-ظ3ك]

Votre remarque concernant le choix fait implicitement m'a assuere vu un doute qui m'emprisonnait Merci

[@drsalamandror7185]

J'ai aussi tilté sur 《il existe surjection de A dans B ssi il existe injection de B dans A 》 avec pour preuve l'existence d'une fonction de choix. En l'occurrence, le recours à l'axiome du choix est presque explicite, mais quand c'est moins flagrant, je crois qu'on est habitués à ce que ce soit précisé. Sur le fond, je suppose qu'un théorème est d'autant plus satisfaisant qu'il est vrai dans l'axiomatique la plus petite possible qui soit cohérente dans ZF ou ZFC. J'en profite pour vous remercier pour vos vidéos qui sont d'une clarté remarquable en plus d'être intéressantes 🙂

[@remilff7902]

c'était génial merci beaucoup

[@bassekhoukebe1258]

Merci prof c'est bien expliqué

[@franckmessasa9329]

excellent👌

[@ToM-ui9us]

merci ! j'espère réussir mon UE grâce à toi ! Sans toi je serais finito pipo

[@amandinerenaud8976]

Bonjour, Décidément, je ne comprend pas comment on peut dire que quelque chose d'infini est dénombrable. Même en ordonnant, et tout, je ne vois pas. J'arrive invariablement à la même conclusion : - soit je considère que tous les infinis se valent et j'ai card(N)=card(Z)=card(NxN)=+∞ - soit je considère que les infinis ne se valent pas et, en posant card(N)=+∞, j'ai card(Z)≈+2∞ et card(NxN)≈+∞^2 De plus, lorsqu'on dit à 22:46 que x n'est pas dans l'image de f, c'est négligé l'aspect infini. Car s'il y a une infinité de f(n), tous les a0i auront prient les valeurs {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, tous les a1i aussi, etc... jusqu'à l'infini. Donc on peut pas trouver bi tel que bi≠aii. Il n'en existe tout simplement pas car ils ont tous été parcouru. J'en viens donc encore à la même conclusion : soit les ensembles infinis ne sont pas dénombrables, soit ils le sont tous. Et par extension, seule la réunion finie d'ensembles finis sont dénombrables. Étant donné que ce n'est pas la conclusion admise, je cherche mon erreur. Pouvez-vous m'aider ?

[@MathsAdultes]

Certes chaque décimale apparait dans tous les emplacements, mais je peux quand même trouver un nombre qui n'a pas la même première décimale que le premier nombre de ma liste, puis qui n'a pas la même deuxième décimale que le deuxième nombre de ma liste... Du coup il n'est pas égal au premier ni au deuxième. Et ainsi de suite je construis un nombre qui n'est pas dans la liste, qui normalement devrait les contenir tous, d'où la contradiction !

[@mariemhamdi9632]

Génial! Merci infiniment ❤

[@doctormaths2]

quesqu'on peut dire pour le produit dénombrable d'ensembles dénombrables?

[@MathsAdultes]

On peut voir ]0,1[ de cette façon en regardant le dévelloppement décimal illimité donc ce n'est plus forcément dénombrable !

[@doctormaths2]

@@MathsAdultes ouiiii merci

[@top1rm44]

Bonjour, cela fait maintenant plusieurs fois (en passant une bonne heure à chaque fois !) que j'essaie de démontrer l'injectivité (et pourquoi pas plus tard la surjectivité) de la fonction Psi qui permet de démontrer la dénombrabilité de l'ensemble produit cartésien de l'ensemble des entiers naturels par lui-même (13:12). Auriez-vous un lien vers un cours ou autre donnant une démonstration ? Merci pour vos vidéos, elles sont d'une aide formidable !👏

[@MathsAdultes]

C'est vrai que c'est un peu sioux ! Je viens de rédiger une preuve et j'ai mis un lien dans la description de la vidéo. Dites-moi si cela vous convient (ou pas) ;-)

[@top1rm44]

@@MathsAdultes Merci beaucoup ! Franchement je n'étais pas loin, il me manquait simplement l'idée de la première formule, soit 95% de la preuve.

[@MathsAdultes]

Au moins tu te souviendras longtemps de l'idée maintenant :-)

[@Weazzy34]

Merci pour votre vidéo ! Quelque chose me perturbe cependant, on a donc qu’il y a (beaucoup) beaucoup plus de réels que de rationnels. mais on a tout de même que Q est dense dans R... c’est pas paradoxal ?

[@MathsAdultes]

Ça peut le sembler mais pas tant que ça...

[@Weazzy34]

Maths Adultes Merci pour votre réponse, mais du coup, pourquoi ? 😅

[@julien4230]

On aurait pu choisir la première colonne aussi non ? 23:30

[@MathsAdultes]

Je ne vois pas trop comment...

[@julien4230]

@@MathsAdultes on peut pas choisir les (a_{i,0})_i ? Sinon j’ai du zapper un truc, je vais te-regarder quand j’ai un moment.

[@hanouab9709]

merci pour votre vedio mais est ce qu'il y a des vedioes des exrcices pour montrer le tribu et fonction mesurable

[@hediskanderbenmna1830]

Merci beaucoup

[@julien4230]

Question : quel est le lien entre Cantor et Gödel ? Il me semble qu’un réponse est basée sur l’existence d’indécidables. Aussi je constate que le raisonnement que vous montrez me rappelle les nombres de Gödel.

[@MathsAdultes]

J'avoue ne pas avoir de réponse à cette question...

[@Khwartz]

#03:27 - "il existe une injection de i : D -> N" C'était pas plutôt : . "il existe une injection i : D -> N" ?

[@MathsAdultes]

certes.... erg !

[@hediskanderbenmna1830]

Concernant l'application que vous utilisez pour montrer le produit de 2 ensemble naturels est denombrale et vous prouvez que f est injective revient à l'arithmétique (gauss)

[@_rachid]

Merci beaucoup !

[@annahia7179]

Merci bcp pour la vidéo.. est ce que c'est un écran géant derière lui ou comment ça marche s'il vous plaît

[@MathsAdultes]

c'est un fond vert derrière moi et je fais comme le présentateur météo ;-)

[@annahia7179]

@@MathsAdultes ah d'accord merci beaucoup. Très belle présentation 👍👍

[@guest23736]

La quintessence de la maths 🤤

[@مواطنمغربي-ظ3ك]

Est ce que vous considerez que l'ouvert 0 1 ne contient que les nommbres decimaux? Sinon pourquoi est il necessaire de prouver qu'un autre decimal appatient a l'ouvert 0 1 n'appartient pas a im(f) alors que racine carree de deux sur deux peut jouer le role sans faire appel a la fameuse diagonale de cantor. Je vous serai tres reconnaissant si vous me corrigez au cas ou je me trompe quelque part Merci beaucoup

[@MathsAdultes]

non non je ne considère pas que des décimaux, chaque nombre possède un dévelloppement décimal illimité, donc racine(2)/2 est surement dedans :-)

[@مواطنمغربي-ظ3ك]

@@MathsAdultes merci beaucoup professeur Je voudrais vous signaler que peut etre je ne suis pas parmis le publique que vous ciblez mon niveau d'etude ne depasse pas la classe terminale du lyce de plus je suis age de 64 ans je n'etudie pas les maths de facon reguliere mais juste un amateur Merci a nouveau.

[@alainrodot9640]

Dans le sens surj => inj il ne faut pas l'axiome du choix ?

[@MathsAdultes]

je ne pense pas car j'effectue des choix au sein d'un même ensemble : l'ensemble de départ… Mais je ne suis pas un spécialiste et je peux me tromper !

[@alainrodot9640]

@@MathsAdultes Pour une fonction de choix aussi, il suffit de prendre la réunion de tout. Donc l'argument ne tient pas à mon avis. On peut le voir aussi en pensant que vous êtes éventuellement conduits à effectuer une infinité de sélections d'antécédents (selon la taille de l'ensemble de départ) sans dire comment ils se distinguent les uns des autres... A mon sens il faut donc AC.

[@alainrodot9640]

@@MathsAdultes Cela revient au-même de dire que pour chaque y de F on doit choisir un x "convenable" dans E, ou qu'on doit exhiber une application C ( de choix) de F dans le produit des Gy ( indexé par les y de F), où Gy = f^-1(y) est l'ensemble des antécédents de y par f, non vide pour chaque y de F puisque f est surjective. On voit peut-être mieux comme ça que les deux procédés sont équivalents, et qu'une fonction de choix apparait forcément... Ce serait plus compliqué de raisonner sur un choix de F dans le produit des Ey, car les x choisis ne sont alors pas indépendants...

[@MathsAdultes]

Sauf qu'en général la réunion de tout n'est pas un ensemble ! C'est à mon avis ce qui fait toute la différence, mais je le répète je ne suis pas du tout spécialiste...

[@alainrodot9640]

@@MathsAdultes "le tout" est simplement la réunion des parties "antécédents" , qui est bien un ensemble comme réunion sur une sélection de P(E) (axiome de sélection-réunion), désolé je me suis mal exprimé. En aucun cas je n'ai pris la classe de tous les ensembles bien-sûr :-).

[@jeannefaucher3069]

passionnant

[@medam9042]

La théorie, c'est ok. Mais intuitivement, les éléments de ]0,1[ peuvent être représentés suivent le nombre de chiffre après virgule ASC : (0 1 2 .. 9 00 01 .. 99 000 001 .. 999 0000 ... ) donc on peut les énumérés.. C'est quoi la faille dans mon raisonnement ?

[@MathsAdultes]

la question c'est à quelle distance vous mettez le 1 après les zéros ?

[@medam9042]

@@MathsAdultes Si j'ai compris votre indication, je pense que dans la construction sa commence par la distance 1 et s'augmente au fur et à mesure, par exemple entre distance 3 et 4 i.e entre 0,001 et 0,0001 on retrouve ( 0,002 0,003 .. 0,009 0,010 0,011 .. 0,099 0,100 0,101 .. 0,199 0,200 0,201 ...... 0,999 0,0001 )

[@ngoranromarickacou6041]

Salut Monsieur j'ai des questions que j'ai du mal à répondre. 1)un ensemble négligeable est il nécessairement un ensemble mesurable ? Vrai ou faux. 2)la mesure de Lebesgue sur l'espace mesurable (R,B(R)) est t-elle sigma finie ? Vrai ou faux.

[@MathsAdultes]

1) Non, mais il est inclus dans un ensemble mesurable de mesure nulle. 2) oui il suffit de prendre les intervalles [n,n+1] où n parcourt Z.

[@ngoranromarickacou6041]

Merci Monsieur

[@ngoranromarickacou6041]

Bonsoir Monsieur j'ai des questions pour vous encore voici: Soient f et g des fonctions de R dans R, R étant muni de sa tribu Borélienne . 1) si f et g sont des fonctions mesurables, max(f,g) est mesurable. Vrai ou faux? 2) si f est mesurable, |f| est mesurable. Vrai ou faux? 3)si |f| est mesurable, f est mesurable. Vrai ou faux? 4) l'image par une fonction bijective d'une tribu est une tribu. Vrai ou faux? Quelles sont les fonctions mesurables h de l'espace mesurable(£,$) dans (R,B(R)) lorsque $ est la tribu grossière ? triviale?

[@MathsAdultes]

1) vrai 2) vrai 3) vrai 4) je ne suis pas bien sûr mais je pense que oui 5) tribu grossière je dirai les fonctions constantes et tribu triviales : toutes

[@MugiwaranoLuffy-ko1to]

Si Z est dénombrable alors il existe une bijection entre N et Z pourtant card(Z)=!card(N) comment cela se fait il ?

[@MathsAdultes]

card Z est égal à card N

[@mohamedbirali803]

Merci beaucoup ^^

[@brunoredon1520]

Sait-on si exp(1)+pi est transcendant ? Et pi*exp(1) ?

[@MathsAdultes]

non non c'est un problème ouvert à ma connaissance

[@maximederavet3093]

Les héros ne portent pas tous des capes

[@aniranir4214]

mon professeur mercii , je veux connaitre c quoi l'histoire de " axiomes du choix ,,,," ,le prof l'utilisent beaucoup ;mais je n'en sais rien

[@MathsAdultes]

lmgtfy.com/?q=axiome+du+choix&iie=1

[@MathsAdultes]

J'espère que ma petite plaisanterie vous aura fait sourire ;-) Je voulais juste vous signifier avec humour que votre question est bien trop vaste et complexe pour un commentaire KZbin ;-)

[@aniranir4214]

@@MathsAdultes votre réponse etait mieux pour la santé que la reponse souhaité hhh .merci mon professeur

[@julien4230]

Excellent comme d’hab, mais trop de pubs

[@MathsAdultes]

arg, l'algorithme de YT est parfois insupportable, je vais faire du ménage, merci pour le signalement !

[@frankdaniel3938]

Top !

[@Khwartz]

Dans Wikipédia j'ai trouvé ce paragraphe pour lequel je n'arrive pas à comprendre l'utilisation du mot... comprendre dans celui-ci. C'est justement à propos de la définition de la dénombrabilité. En effet, pourquoi : " Il existe deux usages du mot «dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on comprend ou non parmi les ensembles dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. C'est seulement quand on comprend les ensembles finis parmi les ensembles dénombrables qu'il est utile de préciser infini dénombrable. " Et non-pas : " Il existe deux usages du mot «dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on [prend] ou non [] les ensembles dénombrables [parmi] les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. C'est seulement quand on [prend] [des] ensembles finis parmi [des] ensembles [infinis] qu'il est utile de préciser infini dénombrable. " Ce que je ... comprendrais mieux Cordialement.

[@MathsAdultes]

Je suis désolé mais de mon point de vue votre version est incompréhensible et fausse, Les ensembles dénombrables sont soit infinis soit finis et certains limitent l'utilisation de ce mot au cas infini, mais on ne peu pas prendre les ensembles dénombrables parmi les ensembles finis, sinon on parlerais juste d'ensemble finis... Ici le mot comprendre signifie inclure, voici ma traduction : Il existe deux usages du mot «dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on inclue ou non parmi les ensembles dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. C'est seulement quand on inclue les ensembles finis parmi les ensembles dénombrables qu'il est utile de préciser infini dénombrable.

[@simohamed7148]

La

[@samichellia9738]

Il n’existe aucun ensemble à la fois fini et dénombrable. Démonstration Par l’absurde. Supposons qu’il existe E un ensemble fini de cardinal n et dénombrable. Ainsi, comme E est fini, il existe une bijection ϕ de [[1, n]] sur E. Comme E est dénombrable alors il existe une bijection ψ de N sur E. Ainsi, par composition, ψ −1 ◦ϕ est une bijection de [[1, n]] sur N. Ainsi, N est un ensemble fini. Contradiction. Il n’existe aucun ensemble à la fois fini et dénombrable.

[@top1rm44]

Bonjour, il me semble que la définition de la dénombrabilité implique une bijection entre E et une partie de N. C'est la remarque 2 du chapitre 1 du polycopié d'Etienne Matheron.

[@Khwartz]

Ne devriez-Vous pas . INVITER CEUX QUI VISIONNENT VOS VIDÉOS, à . S'ESSAYER À DÉMONTRER LES NOTIONS QUE VOUS ABORDEZ, plutôt que de . donner Vous-même d'emblée les Réponses ? Cela ne serait-il pas plus Heuristique ? En effet, si en tant qu'enseignant on fait l'effort à la place de l'élève, comment celui-ci va-t-il . DÉVELOPPER SA CRÉATIVITÉ MATHÉMATIQUE et surtout à . TROUVER LES RÉPONSES À SES QUESTIONS LUI-MÊME, telles que justement Démontrer Un Théorème ?

[@MathsAdultes]

Vous avez parfaitement raison, c'est exactement ainsi que je procède en cours avec mes étudiants, ces vidéos ne sont conçues que pour faire des rappels détaillés des notions vues auparavant. En gros c'est un moyen de remplacer les polys d'antan... Mais en aucun cas elles ne peuvent se substituer à un cours en présentiel, d'ailleurs je doute qu'une vidéo puisse le faire ;-)

[@AlexRikyWambaNafack]

Les écritures sont floues

[@MathsAdultes]

essayez de modifier la qualité de la vidéo...

[@alainrodot9640]

oups déjà signalé sorry