Nullstellen ganzrationaler Funktionen durch Ausklammern und Faktorisieren

Wenn eine ganzrationale Funktion in faktorisierter Form angegeben ist oder sich durch Ausklammern der Variablen leicht faktorisieren läßt, dann ist die Nullstellenberechung sehr einfach durchzuführen. In diesem Video wird gezeigt, was die faktorisierte Form so attraktiv macht.
Dieses Video ist ein Teil einer Serie über Strategien der Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher. Die anderen Videos dieser Serie sind unten gelistet.
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Wenn man die Nullstellen einer faktorisierten Funktion berechnen soll, hat dies den großen Vorteil, dass man die Regel vom Nullprodukt anwenden kann. Diese Regel besagt, dass ein Produkt Null wird, sobald einer der Faktoren Null ist.
Dementsprechend kann man jeden einzelnen Faktor der faktorisierten Funktion einzeln betrachten und fragen, wann (für welchen Wert der Variablen) Null wird.
Zunächst (0:41) wird am Beispiel einer quadratischen Funktion demonstriert, wie viel einfacher die Nullstellenbestimmung ist, wenn die Funktion in faktorisierter Form vorliegt. In diesem Fall kann man nämlich die Regel vom Nullprodukt anwenden (3:10)
(4:26) Zweites Beispiel faktorisierte Funktion bestehend aus einer quadratischen und einer lineare Funktion. Dies ist ein typischer Aufgabentyp, der zum Thema Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen immer wieder mal drankommt. Außerdem demonstriert es, worin die Strategie der Nullstellenbestimmung von "höhergeradigen" ganzrationalen Funktionen besteht, nämlich durch die Faktorisierung eine komplizierte Funktion in handliche Faktoren zu zerlegen. "Handlich" sind in diesem Falle Faktoren von Funktionen, die höchstens vom Grad 1 oder 2 sind, so dass man einfach die Nullstellen dieser Faktoren berechnen kann.
(7:30) Als nächstes werden Funktionen gezeigt, die sich sehr leicht durch Ausklammern faktorisieren lassen. Dies ist immer dann möglich, wenn in der allgemeinen Form der ganzrationalen Funktion kein absolutes Glied (also der reine Zahlensummand) vorkommt (8:00). In diesem Fall kann man immer x (oder eine höhere Potenz von x) ausklammern.
(10:50) Zweites Beispiel der Nullstellenbestimmung durch Ausklammern.
Das Prinzip der Nullstellenbestimmung einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 oder höher, durch Faktorisierung in Faktoren zu Zerlegenbesteht darin, eine höhergeradige ganzrationale Funktion durch Faktorisierung in Faktoren zu
In den weiteren Videos zur Nullstellenbestimmung ganzrationaler Funktionen vom Grad 3 und höher, werden die folgenden Strategien behandelt und an Beispielen ausführlich vorgemacht:
0. Einführungsvideo ( • Nullstellen ganzration... )
1. die Funktion ist schon in faktorisierter Form angegeben (*dieses Video*)
2. man kann x oder eine höhere Potenz von x ausklammern (*dieses Video*)
3. es handelt sich um eine biquadratische Gleichung, die man durch Substitution lösen kann ( • Biquadratische Gleichu... )
4. man kann die Funktion durch Polynomdivision weiter faktorisieren ( • Nullstellen bestimmen ... )
a. dazu muss eine Nullstelle bekannt sein oder
b. man muss eine Nullstelle erraten können (es gibt Methoden für das gezielte Erraten von Nullstellen: Video kommt in Kürze)
5. man kann die Nullstellen nicht exakt, sondern nur über Näherungsmethoden bestimmen (Newton-Verfahren) - dies wird allerdings eher im Leistungskurs behandelt (Video kommt demnächst).
Die Nullstellenbestimmung von linearen und quadratischen Funktionen wird in folgenden Videos behandelt:
- lineare Funktionen: • Nullstelle und y Achse...
** Playlist: Mathematik in der Einführungsphase
• Mathe in der Einführun...
Aufruf-ID: m13v0169
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Alles Gute und bis zum nächsten Mal,
Dein Mathe-Coach, Christoph Goemans

[@monja6650]

Danke🙏 ich bin 11 klasse und habe seit 3 Jahren einen Lehrer bei dem ich kein einziges Wort verstehe. Nach diesem Video allerdings fühle ich mich endlich etwas erlöst weil ich es endlich verstanden habe. Ich schreibe in 3 Wochen meine Mathe Klausur. Danke danke danke :)))

[@Mathehoch13]

Ich drück die Daumen für die Klausur und ich freue mich sehr, dass dir meine Videos helfen. Du bist immer herzlich willkommen 😃. Danke fürs Feedback 😊

[@monja6650]

@@Mathehoch13 gerne :)

[@f.a7274]

Ehrenmann !!! Schreibe morgen ne Klausur und hab's jetzt dank dir verstanden korrekt !!

[@Mathehoch13]

Freut mich. Viel Erfolg - und danke fürs Feedback :D

[@monja6650]

Ich habe gestern einen komentar geschrieben, das ich ihnen sehr dankbar bin. Ich stehe ja in Mathe auf 5 und habe aber heute ein dickes Lob von meinem Mathelehrer bekomme , weil ich alle Aufgaben richtig vorrechnen konnte :)

[@Mathehoch13]

Super, das freut mich sehr - für uns beide 😃👍

[@nickklassen8191]

Sehr stark erklärt ! :)

[@xfrassel4360]

wie funktioniert ausmultiplizieren, wenn die Funktion ein Endglied ohne x hat. bzw. gibt es dazu ein extra video?

[@Mathehoch13]

Genau das ist ja das Problem und warum die Nullstellenbestimmung bei Funktionen ab Grad 3 schwieriger werden: Ausmultiplizieren geht natürllich nicht mehr, wenn die Funktion einen konstanten Term ohne x hat. In dem Übersichtsvideo (kzbin.info/www/bejne/d6aTaWtrnsebjpo) wird darauf eingegangen. Was man dann braucht ist eine Nullstellen (geraten oder angegeben). Wenn mann diese kennt kann man den zur Nullstelle entsprechenden Linearfaktor durch Polynomdivision "ausklammern". Siehe dazu die Videos "Nullstelle erraten" (kzbin.info/www/bejne/oWWZdaChrLmjiZY) und Polynomdivision (kzbin.info/www/bejne/i4CXaIR-f82iqc0 und kzbin.info/www/bejne/iqSZhZeGZtd5fpY). Spezialfall ist biquadratische Gleichung, den nimmt man auch in der Einführungsphase durch (kzbin.info/www/bejne/l4vaZ5eanpuarNU). Ich weiß, ist n bisschen viel auf einmal, aber ich hoffe, meine Antwort hat dir geholfen. LG

[@xfrassel4360]

Hat mir auf jeden Fall geholfen, vielen Dank für die schnelle Antwort. LG

[@ElisVsion]

Gutes Video👍 Ist x denn bei der letzten Aufgabe eine dopplete Nullstelle?

[@Mathehoch13]

ja, x=0 ist bei der letzten Aufgabe eine doppelte Nullstelle 👍

[@philipp_0]

Besser erklärt als in der Schule, danke !

[@Mathehoch13]

+Philipp K Danke :)

[@juliusstolterfoht7800]

Ich schwöre

[@yasminschmalhaus6713]

Vielen Dank für diese gute Erklärung! 🙌🏾

[@Mathehoch13]

+Yasmin Karakus Danke :)

[@LilP6588]

Bombe du verdienst mehr Abbonnenten

[@Mathehoch13]

Danke. Daher bitte weiterempfehlen 😉

[@felicitase9727]

DANKE DANKE DANKE!

[@thelion6360]

Wunderbar

[@maximilianb7722]

Ist die pq-formel die mitternachtsformel?

[@Mathehoch13]

Hallo! Die pq-Formel wird zur Nullstellenbestimmung verwendet, wenn die quadratische Gleichung in Normalform vorliegt, d.h. x^2+px+q=0. Hier muss der Koeffizient von x^2 also gleich 1 sein. Die Mitternachtsformel gilt für die allgemeine Form ax^2+bx+c=0 verwendet. Manchmal nennt man die Mitternachtsformel auch abc-Formel - benannt nach den Koeffizienten a,b und c in der allgemeinen Form. Ich hoffe, ich konnte deine Frage damit beantworten. VG, Christoph

[@maximilianb7722]

Mathehoch13 Ja, Danke!

[@kratosdgod173]

Ehrenmann

[@anonym216]

Was ist mit 3x (x^2-4) (x-3)?

[@jarahl.3245]

Ich verstehe leider nicht wie man von x^2 -2x-3 zur faktorisierten Gleichung kommt. Wie geht man da vor?

[@Mathehoch13]

Im Video wird das ab ca. 2:45 erklärt. Dazu suchst du die Nullstellen der Funktion x^2-2x-2, was du - weil es ja eine quadratische Funktion ist - über die pq-Formel machen kannst. Die Nullstellen ergeben sich als x1=3 und x2=-1. Daraus kannst du jetzt die faktorisierte Form darstellen f(x)=(x-3)*(x+1). Beachte, dass in den Klammern immer die Gegenzahl der Nullstelle steht... Ich hoffe, dies hilft dir ein wenig weiter...

[@VoltaireVI]

Wie geht es MIT einem absoluten Glied? Das müsste ich aus aktuellem Anlass ganz schnell irgendwo in Erfahrung bringen. Unsere Lehrerin hat uns für die Corona-Ferien Aufgaben gegeben.

[@Mathehoch13]

Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 und höher musd man eine Nullstelle kennen und kann dann eine Polynomdivision durchführen. Gib mal in die KZbin Suche folgende Suchbegriffe ein (einzeln): m13v0103, m13v0170, m13v0104, m13v0171. Bei quadratischen Funktionen musst du natürlich die pq-Formel anwenden...

[@tanja189]

mein Retter 😘

[@ichsagsdirmorgen4342]

grüße gehen raus an meine Mathe Lehrerin

[@Valentin.pavlov]

Da ist dir ein Fehler unterlaufen, x^2 bedeutet nicht, dass wir direkt 2 Nullstellen haben. Demnach hat x^2*(x^2-2x+2) nur eine Nullstelle!

[@my-xd7ls]

Vielen Vielen Dank mein Lehrer kann nichts erklären

[@hynami7247]

Warum hörst du dich an wie Trymacs? xD