O Princípio de Indução Forte implica o Princípio da Boa Ordem

[@AdrianoOliveira-ls9tp]

Excelente professor!

[@felipeangeloufba]

Mano! Que daohra!!! A forma que você explica, sempre lembrando os conceitos que estão sendo utilizados, lembrando de qual conjunto/variável está falando, não pulando etapas ditas triviais e sempre dando um sentido ao todo (amarrando o entendimento) é fantástica!

[@lylavenom]

deixa de ser baba ovo.

[@ian_ramos]

Em 5.15 por que posso afirmar que o 1 não pertence ao A? O fato dele não ter elemento mínimo não significa que o 1 não pertence à ele. Se o A fosse o conjunto {6 ,7, 8, 9} por exemplo ele teria um elemento mínimo, que não seria o 1, nesse caso o 6.

[@renatogomes97]

Oi, Ian. Entendi o seu questionamento e acho que posso te ajudar a entender o porquê dele ter considerado que o 1 não está lá. Veja bem... Após definir o complementar de A dado por IN - A , é dada a suposição por CONTRADIÇÃO (absurdo) que o A não possui elemento mínimo. O professor está trabalhando a partir desse momento como o A não possuísse nenhum elemento mínimo (nessa condição dada por absurdo, ok?) Se a partir disso o A não possui elemento mínimo então é fácil concluir, que por ele não ter ninguém inicialmente, o número 1 não está nele. Por consequência, assim, o 1 pertence a IN, ou seja, ao seu complementar. Como o 1 está em IN, e em particular, está no COMPLEMENTAR de A dado por IN - A, então conseguimos mostrar que a primeira condição do princípio de indução forte foi cumprida. Agora pela hipótese de indução, dessa forte, os números 1, 2, 3,.. até um certo K está em IN - A e também o K+1, o sucessor desse tal K, está em IN, no complementar, pois A não tem menor elemento. Daí aqui uma rápida conclusão antes de elucidarmos a final: se A é subconjunto dos naturais e ele não tem elemento mínimo então ele é o Vazio, ou seja, não tem elemento algum. Daí, como todos os números anteriores juntamente ao k e ao seu sucessor estão em IN - A, isso implica que IN - A = IN (o que eu tinha dito no parágrafo anterior). Daí pela noção de operação com conjuntos IN - A tendo como resultado IN, mostra que A é vazio. Mas por hipótese inicial A é diferente do vazio. Absurdo. Portanto A é diferente do vazio e possui um menor elemento. Espero poder ter te ajudado.

[@Paol7770]

Me sinto um burro tentando entender as demonstrações

[@felipeangeloufba]

Poxa mano, que pena você não ter conseguido entender tanto. Não sei se já atingiu seu objetivo, mas fica anotado aqui de qualquer forma, pra quem está começando a entender indução o melhor é ver a utilização na prática da indução, recomendo essa playlist da OBMEP : kzbin.info/aero/PLrVGp617x0hAb3bokPETMb7ymiVW_FtuM O professor desses vídeos é ótimo (Fabio Henrique Teixeira de Souza), paciente, claro e elucidativo! Espero que ajude alguém de alguma forma, mesmo que não seja você! (já que se passou tanto tempo, contudo nunca é tarde pra aprender)