O que NÚMEROS TRIANGULARES tem a ver com QUADRADOS PERFEITOS?

[@permuta_mat]

Consegue ver alguma outra relação entre os quadrados perfeitos e os números triângulares?

[@Arthurmorgan-k4w]

A soma de dois consecutivos também é um quadrado perfeito , só não sei pq

[@permuta_mat]

IMPORTANTE: No início do vídeo existe um erro de digitação, faltou o número 15 na sequência da primeira tela. O jeito certo é (1,3,6,10,15,21,28...)

[@ConradoPeter-hl5ij]

Um detalhe importante. Vc deu uma sequência diferente no início. {1,3,6,10,21,28...} ≠ {1,3,6,10,15,21,28...}

[@permuta_mat]

Vou olhar aqui. Incrível, mesmo revisando o vídeo 1000x pode ficar algum erro de digitação. Vou add um card, muito obrigado pelo aviso, tmj

[@ConradoPeter-hl5ij]

1 1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15 ... f(x)=[f(x-1)]+x; com f(1)=1 => f(1000)=f(999)+1000 ... humm... Entendi. => f(n)=1+2+3+...+n => f(1000)=1+2+3+...+998+999+1000 => f(1000)= (1+1000)(1000/2) => f(1000)=1001×500 => f(1000)=500500 😊 500500 é a resposta para a pergunta inicial

[@ConradoPeter-hl5ij]

8×[f(k)]+1=q²; q é impar e q > 0 Ok, vou verificar a afirmação acima. => 8[(k+1)(k/2)]+1=q² => 4[k²+k]+1=q² => 4k²+4k+1=q² => (2k)²+2(2k)1+1=q² => [(2k)+1]²=q² => 2k+1=q => q é impar (verdadeiro) 😊

[@permuta_mat]

Perfeito, é isso mesmo. No comentário que eu fixei perguntando quais outras relações os triangulares tinham com os quadrados perfeitos, um rapaz comentou uma, tem mais uma, onde você consegue criar uma função f(T) , de tal modo que f(T)= (2k)² , ou seja, que retorna quadrados perfeitos pares.

[@ConradoPeter-hl5ij]

​@@permuta_mat Peraí que eu estou tentando pensar no que vc falou

[@ConradoPeter-hl5ij]

​@@permuta_mat [(n²+n)/2]+{[(n-1)²+(n-1)]/2} = (2k)² => (n²+n)+[(n-1)²+(n-1)]=2(2k)² => n²+n+(n²-2n+1)+(n-1)=2(4k²) => 2n²=8k² => n²= 4k² => n²=(2k)² => n=2k => n é par Então, f(n)+f(n-1)=(2k)² Pode ser a relação do tipo f(T)=(2k)² que vc falou 😊

[@ConradoPeter-hl5ij]

​@permuta_mat ok, vou tentar sintetizar a partir da sua afirmação. h[f(n)]=(2k)² Então, h[(n+1)(n/2)]=4k² h[(n²+n)/2]=4k² Vou jogar umas linhas raciocínio aleatoriamente: => (n)²+2(n)(1)+(1)²=(n+1)² => (n²+n) ---> falta n+1 para ser quadrado sendo, f(n)=(n+1)(n/2) => f(n)=(n²+n)/2 portanto, 2[f(n)]=n²+n Daí, 2[f(n)]+(n+1) = (n+1)² Então, 4{2[f(n)]+(n+1)}=4(n+1)² => 8[f(n)]+4(n+1)=4k²; já vou considerar k²=(n+1)² => 8×[f(k)]+3k=(2k)² ....humm... eu tinha pensado errado, mas agora eu entendi. 1+3=4=2² (par) 3+6=9=3² 6+10=16=4² (par) 10+15=25=5² 15+21=36=6² (par) ... f(n)+f(n+1)=(n+1)² => [(n²+n)/2]+[(n+1)²+(n+1)]/2=(n+1)² => (n²+n)+[(n+1)²+(n+1)]=2(n+1)² => (n²+n)+(n²+2n+1)+(n+1) = 2(n+1)² => 2n²+4n+2=2(n+1)² => 2(n²+2n+1)=2(n+1)² => (n²+2n+1)=(n+1)² => (n+1)²=(n+1)² verdadeiro Então, se (n+1) for par, logo o quadrado será par. Então, a relação que vc queria saber pode ser essa: o número triangular somado com seu triangular antecessor, quando sua base for par, resultará em um quadrado par. Ou seja, f(n)+f(n-1)=(2k)²; quando n é par

[@permuta_mat]

É verdade isso, mas a relação é: (2n)²= 8Tn +2 -2.(8Tn+1)^(1/2) Onde Tn é o enésimo triangular. Por exemplo, seja T3=6 (2.3)²= 36= 8.6+2 -2.(8.6+1)^(1/2) De fato 36 = 50 -2.7 Curioso, não?