Oraux X-ENS - 15 - Irrationalité de pi

[@MathsEtoile]

Deux petites corrections à ce qui est dit dans la vidéo : - À 4:55, les polynômes qui s'annulent en 0 et en pi sont P, P',...,P^(n-1) et PAS le polynôme P^(n). Ça n'affecte pas la suite du raisonnement, le résultat est utilisé à 8:37 (mais seulement pour P, P',..., P^(n-1)) - À 23:45, il y a écrit que I_n = pi^(2n)/n!. Tel quel, c'est faux : il faut écrire I_n

[@gilouseb]

Effectivement, l'inégalité qui devient égalité, ça pique les yeux!

[@Jooolse]

À 23:13, je n'ai pas compris comment obtenir un majorant plus fin comme pi^2/4?

[@gilouseb]

@@Jooolse Il majore la fonction x(pi-x) sur [o; pi] par pi.pi alors qu'on peut majorer plus finement en étudiant les variations de la fonction, qui a son maximum au milieu en pi/2. Donc la majoration donne pi²/4.

[@Jooolse]

@@gilouseb Ah merci, je vois l'idée : on majore la fonction par Pi^2/4 et donc l'intégrale sur [0,Pi] par Pi^3/4... 👌🏻

[@vegetossgss1114]

d'ailleurs à 23:45 il manque pas le pi de l'intégration pour la majoration, auquel cas on a valeur absolue de I_n

[@MagicFr49]

C’était mon exo ENS Lyon lorsque j’ai passé les oraux, j’en ai un assez mauvais souvenir vu la technicité requise, je m’en suis quand même bien sorti heureusement !

[@MathsEtoile]

Incroyable ! Il est difficile techniquement mais on est content quand c'est fini :)

[@alejandrosaldarriaga6061]

Super vidéo, très claire. Il y a une façon moins lourde de prouver ce resultat en utilisant la symetrie de l'integrale autour de pi/2. On peut montrer que I_n = (2/n!)int_0^(pi/2)[((pi/2)^2-x^2)^n*cos(x)dx] Une double integration par parties (deriver le produit, integrer le cos puis le sin) donne I_n = 2I_(n-1)-(8/(n-2)!)int_0^(pi/2)[x^2((pi/2)^2-x^2)^n*cos(x)dx] Le dernier terme ressemble à I_(n-2) avec un x^2 en trop dans l'integrande, mais on peut le transformer en ((pi/2)^2-x^2+(pi/2)^2) pour faire apparaitre la relation de recurrence I_n = (4n-2)I_(n-1)-pi^2I_(n-2) Un rapide calcul montre que I_0 = 2 et I_1 = 4 ce qui permet de montrer par recurrence la premiere question.

[@vegetossgss1114]

Excellente chaîne de maths d'une qualité UNIQUE sur youtube!

[@byjak_9768]

J’adore y’a chaîne même si je comprend rien pour l’instant c’est toujours cool par curiosité de voir des bouts de raisonnement qu’on comprend

[@MathsEtoile]

Ça viendra avec le temps ;)

[@aurelehabbard1301]

tu es a quel niveau d'étude ? prépa ?

[@MathsEtoile]

@@aurelehabbard1301 J'ai fait prépa mais c'est fini pour moi, je suis en école maintenant ;)

[@renaudsamakh3103]

Bel exo. Rien de tel que de se débarrasser d’un 1/n! qu’en le faisant compléter une formule de combinaison. De prime abord, la contradiction n’a rien d’évident non plus. Bravo !

[@Simba-qm5qs]

Beaux arguments. On voit assez rapidement où tu vas avec ta manière de décrire le raisonnement. Ce qui m’intéresserait beaucoup est de savoir comment construire In de sorte à tomber sur une telle contradiction, sous l’hypothèse que pi est rationnel :)

[@renaudsamakh3103]

Excellent surtout la fin pour arriver à une contradiction

[@Freemind04]

Vous faites un excellent travail...

[@Risu0chan]

23:17 il faudrait un facteur π supplémentaire. Si sous l'intégrale on majore par M, l'intégrale de 0 à π est majorée par Mπ. Évidemment ça ne change rien pour la suite.

[@pipicaca1370]

Ah oui en effet bien vu

[@pipicaca1370]

On a tellement l’habitude de travailler entre 0 et 1 qu’on en oublie de calculer l’intégrale quand ce n’est plus le cas 😂

[@vegetossgss1114]

yes

[@vVvVesPeR]

Merci pour cette vidéo, j'ai arrêté les maths après Centrale et pour autant je me rends compte qu'il y a des restes, tu expliques très bien ce que tu fais ! Continue comme ça :)

[@MathsEtoile]

Merci beaucoup, ça fait très plaisir. J'espère que tu garderas une petite place pour les maths dans ton feed KZbin alors ;)

[@vegetossgss1114]

Quelle tristesse d'arrêter les maths! J'ai fait l'ENSAE et j'essaie absolument de continuer les maths dans mon temps libre. C'est tellement stylé! Et c'est dommage de perdre tout ce qu'on a appris en prépa! Bien sûr on pas rester au top dans toutes les matières, mais les maths (ou la physique ou l'info) et les langues, c'est déjà ça de gardé!

[@vVvVesPeR]

C’est pour ça que je m’y remets de temps en temps :)

[@vegetossgss1114]

@@vVvVesPeR top! tu t'es spécialisé en quoi (si c'est pas indiscret?). Et t'es plutôt maths ou physique? :)

[@lagagensh494]

@@vegetossgss1114 hey salut, je suis en mpsi et je vise l’ensae. Est ce que tu crois par exemple que tu pourrais me donner ton ressentis sur la difficulté de cette exercice d’oral ? Comme ça je peux estimer mon niveau aha

[@kryomane5724]

Très drôle de regarder cette vidéo l’année dernière en terminale et de complètement rien comprendre et de voir qu’en milieu de sup finalement ça se suit très bien 👍 Tes vidéos sont toujours claires malgré quelques coquilles par ci par là, j’ai beaucoup aimé la série sur l’analyse complexe, quand va-elles reprendre (si c’est le cas) ? En tout cas merci pour les vidéos qui partagent vraiment l’envie de découvrir des belles maths continue à fond !❤

[@tahahoucinedoutretombe267]

incroyable. J ai tenu jusqu a la fin🤪

[@nathanhanen3634]

Alternativement, pour la question 1 on peut expliciter une relation de récurrence qui exprime I(n+1) en fonction de I(n) et I(n-1)

[@MathsEtoile]

Yes, c'est même sans doute un peu plus simple !

[@maxime4930]

A 25:10 Sur l’intervalle [0,pi] x^n(pi-x)^n et sin(x)^n ne sont pas strictement positifs puisqu’au contraires ils s’annulent en pi et 0

[@endofly1462]

Tu peux considérer l'intervalle ouvert !

[@olivierramete8961]

@@endofly1462ah oui pourquoi ?

[@endofly1462]

@@olivierramete8961 du point de vue de l'integrale de lebesgue, on intègre sur des ensembles. L'integrale sur [0,pi] et ]0, pi[ sont égales puisque l'ensemble {0,pi} est de mesure nulle.

[@endofly1462]

@@olivierramete8961 sinon tu peux juste dire qu'il existe un point où l'intégrande est strictement positive, et par continuité, il existe un voisinage autour de ce point et inclus dans]0,pi[ où la fonction est strictement positive. Sur ce voisinage, l'integrale est strictement positive et sur le reste, positive ou nulle. Donc l'integrale sur [0,pi] est strictement positive.

[@olivierramete8961]

7:10 vous avez utilisé la formule de l’IPP itérer où alors vous avez fait de tete ?

[@meddark3795]

Très intéressant

[@Sam69190]

Bien joué ! Personnellement je l’aurai foiré je pense 😂

[@Panda-cn2of]

salut , pas mal du tout ta chaine, elle mériterait un plus grand succès, ça viendra! Sinon ce serait bien aussi que tu conseilles quelques références bibliographiques interessantes histoire de travailler seul à la maison. encore merci et bravo pour ton tavail!

[@MathsEtoile]

Yess tout dépend de ce que tu fais/vises... Pour les prépas a mon avis le must have c'est les cassinis. Je ferai a l'occasion une faq où on parlera de bouquins de maths. Sinon ma collection préférée en français est de loin calvage et mounet, ils ont d'excellents bouquins sur des sujets très variés

[@nefta2240]

Excellent

[@herveclavier5857]

Petite digression : en parlant d'irrationnels, tout le monde sait que la somme ou le produit de deux irrationnels ne sont pas nécessairement irrationnels, mais saurais-tu comment prouver l'existence d'une puissance de deux irrationnels qui est rationnelle ? C'est un petit exercice rigolo que j'aime bien poser en colle. C'est assez connu je pense, mais la première fois que je l'ai vu il y a des années, ça m'avait marqué.

[@MathsEtoile]

Haha je l'ai aussi posé en colle ! C'est effectivement un exo très marrant, puisque la solution élémentaire à laquelle je pense ne permet pas d'exhiber de tels irrationnels, seulement de montrer qu'il en existe...

[@herveclavier5857]

@@MathsEtoile Oui, exactement. Dans le raisonnement on n'a pas besoin de savoir si sqrt(2)^sqrt(2) est rationnel ou irrationnel, dans les deux cas on aboutit la conclusion voulue. Cela dit Gelfond-Schneider permet de trancher : sqrt(2)^sqrt(2) est non seulement irrationnel mais aussi transcendant.

[@yannlebrech7874]

Quand on lit cette démo on se demande quest-ce qui caractérise π ici... On pourrait remplacer pi par n'importe quel nombre z non ? Evidemment c'est dans le e^(iπ) = -1 que pi joue son rôle unique (unique entre tous les nombres ou alors les (2k+1)π ) et juste là si j'ai bien compris...

[@olivie2chekarglas707]

Quand on a une racine a de multiplicité n, ce n'est pas plutôt le polynôme dérive (n-1)-fois qui est nul en a ? Je n'ai pas l'impression qu'il s'annule quand il est dérivé n fois. Par exemple (x-a)^2 s'annule en a, La dérivée est 2(x-a) qui s'annule encore en a, Mais dérivé 2 fois on a que la fonction x -> 2 ne s'annule pas en a Edit : je parle du résultat avancé à 4:55

[@MathsEtoile]

Yes, j'ai dû dire une bêtise à cet endroit. Dans tous les cas, dans ce qui vient après, c'est bien les n-1 premières dérivées qu'on utilise et pas les n premières. Merci beaucoup !

[@olivie2chekarglas707]

@@MathsEtoile Haha pas de soucis, de toutes façons je ne pense pas que ç'aurait été si pénalisant de dire ça pendant un oral

[@choma-Emmanuel-25]

J'ai adoré ta vidéo 😀, tu t'améliores de jour en jour, je fais moi aussi des vidéos sur la mathématique, n'oubliez pas de me dire 🗣 ce que vous en pensez pour que je m'améliore ☺️

[@brunoredon1520]

Oui, c'est plus difficile que la vidéo précédente... Avez-vous une preuve de l'irrationalité du nombre de Champernowne 0,1234567891011...

[@MathsEtoile]

Une preuve toute bête de l'irrationalité de la constante de Champernowne C peut être de remarquer que si un nombre est rationnel, alors son développement decimal est périodique (c'est une conséquence de l'algorithme de division euclidienne, exo classique de sup que je ne vais pas détailler ici) Reste à voir que le développement decimal de C n'est pas périodique. Pour ça, remarquer par exemple que le développement de C contient des séquences de 0 arbitrairement grandes. S'il était périodique, il serait donc égal à 00000... ce qui n'est manifestement pas le cas. J'espère t'avoir éclairé !

[@brunoredon1520]

@@MathsEtoile Oui, c'est vrai que quand on connait le développement décimal, le plus gros est fait. Merci.

[@MOURADCHALBI]

L'argument pour conclure serait qu'une fonction continue positive d'intégrale nulle serait identiquement nulle. Le sin > 0 sur 0-pi, ça pique les yeux (sin0=0?). C'est un peu calculatoire, mais citez-moi une seule notion de spé : polynômes, Q, Z, C, integ. par parties, récurrence : sup sup sup !

[@tournesole_2511]

ça ne serait pas des inégalités à la fin ? Ca ne change rien mais tout de même

[@MathsEtoile]

Effectivement, merci de votre vigilance ! Je corrige l'erreur ici : il faut donc écrire : I_n

[@twentyc192]

La preuve est démentiels j'en avais jamais vu c'est lourd Jsp si y'a des choses intéressantes à faire des mais dans les cassini j'avais étudié les anneaux euclidien, factorielle etcc Et même le fait de montrer que l'anneau des décimales est principal

[@MathsEtoile]

Yess on fera de l'algèbre des anneaux un de ces jours Bon là j'ai des partiels h24 donc j'ai pas trop le temps de faire des vidéos mais ça arrive ;)

[@twentyc192]

BON COURAGE LEC DETRUIT ÇA 🦾🦾

[@alexisclement4904]

C'était un oral de combien de temps ?

[@MathsEtoile]

45 minutes pour Lyon

[@alexisclement4904]

@@MathsEtoile wow c'est short

[@valentinenprepa1379]

Mdrr le moment où tu dis de manière bien insistante "p et q ne dépendent pas de n".

[@cainabel2553]

Je pense que vous devriez enregistrer en mono.

[@gilouseb]

A 7'42 , l'exposant de (-1) dans la somme me semble être (k-1) et non k : la première IPP donne , dans le crochet, Pn(x), soit la dérivée "zéroième", pour k=1, et avec un + devant le crochet. Ce n'est donc pas (-1)^1. Il faudrait vérifier également l'exposant de (-1) pour le dernier terme avec l'intégrale (j'ai la flemme!).

[@romain6138]

A ce propos je ne comprends pas bien d'où sort le (-1)^k, il dit que ça vient du moins devant l'intégrale résiduelle a chaque itération mais pour moi ce (-1) la est précisément le (-1)^n qui se trouve devant l'intégrale, je suppose donc que le (-1)^k vient du signe moins présent dans (π-x), je ne comprends cependant pas pourquoi on l'extrait du P^(k-1), ne devrait il pas être compris dedans ?

[@lepetitgauss1012]

Je pense que Uk(x) et de deg exactement k

[@ayoubabid213]

Clapetone :D

[@taopaille-paille4992]

Un peu bourrin mais ca reste une preuve que Pi est irrationnel:)

[@MathsEtoile]

C'est un peu lourd en calcul en effet !

[@taopaille-paille4992]

@@MathsEtoile Lourd et pas super elegant vieilles recurrences sur un vieux polynome! Il ya des trucs tres calculatoires qui sont plus jolis!

[@yankoyankov7457]

Désolé pour le dire . Je suis tellement 0000000000000 en math que je ne comprends pas comment on peut comprendre tout çà. J'adore de regarder , mais c'est de chinois pour moi Je suis jaloux que il y a des humains qui peuvent comprendre et moi non . Oui je sais pour moi qui ne comprends même pas (a+b)² , déjà pourquoi existe çà ... Imagine l'exemple dans la vidéo.. J'ai 54 ans et chauffeur routier , mais j'adore. Probablement il a des méthodes d'attaquer de début ( vraiment le début) où j'ai tout raté pour " monter en grade "dans les Maths

[@Igdrazil]

Tout n'est qu'une question d'habitude et de pratique. Chaque discipline est un escalier dont on ne peut rater trop de marches sans être perdu. Donnez un poids lourd à un polytechnicien et dans une marche arrière il mettra le camion dans le fossé... Un bon départ en Maths peut être effectivement de comprendre déjà l'identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 Sa compréhension est très simple dès que l'on a compris ce que signifie le produit ab. Notre algèbre remonte en fait bien avant les Arabes et les Grecs, aux Babyloniens qui savait résoudre des problèmes de "quadratures", i.e. de calculs d'AIRES de surfaces, utiles pour leurs champs irrigués entre le Tigre et l'Euphrate. Et ce sont ces Babyloniens qui ont donné un sens au produit ab comme L'AIRE DU RECTANGLE de côtes a et b. Par suite a^2 et b^2 représentent les aires des CARRÉS de côtés a et de côté b. Et enfin, pour les mêmes raisons (a+b)^2 représente l'aire du CARRÉ de côté (a+b). Ainsi si a=2 et b=3 par exemple, l'aire du rectangle de côté a et b vaut ab=6. Et les aires des carrés de côtés respectifs a, b et (a+b) valent : a^2=4, b^2=9 et (a+b)^2=25 Et l'on peut en particulier déjà vérifier que sur cet exemple on a bien : 25 = 4 + 12 + 9 C'est à dire : (2+3)^2 = 2^2 + 2×(2×3) + 3^2 En essayant sur autant d'exemples que l'on souhaite on constate alors que l'identité remarquable : (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 est TOUJOURS vérifiée, quelle que soit les nombres a, b et c choisis. Et c'est ainsi que l'on se pose alors naturellement la question de comprendre POURQUOI cette formule est toujours vraie et constitue donc effectivement une IDENTITÉ REMARQUABLE. La preuve de cette identité n'est ni facile ni difficile. Ce qui était difficile, et qui fut l'un des plus grands actes de génie de l'humanité, était de réaliser que L'AIRE d'un RECTANGLE de côtes a et b, était ab. Ce n'est pas si simple qu'il n'y paraît car tout d'abord il faut en prendre conscience dans le cas simple ou a et b sont entiers. Et cela semble logique qu'une civilisation comme la babylonienne, qui construisait EN BRIQUES dans le semi désert, et effectuait beaucoup de carrelages et de mosaïques, ait très vite réalisé cela dans le cas où a et b sont entiers. Le pas conceptuel supérieur était de réaliser que cela reste vrai lorsque a et b sont des nombres rationnels, i.e. des fractions. Mais cela aussi semble assez naturel pour une civilisation de grands bâtisseurs et de grands carreleurs. Car ils étaient amenés naturellement à couper des carreaux et des briques en fractions, et à néanmoins correctement carreler et paver des surfaces. Et il est quasi certain que les babyloniens se sont arrêtés à la conscience de l'aire d'un rectangle, pour au mieux, des côtes a et b rationnels. Car un simple changement d'échelle (en multipliant toutes les quantités par le plus grand dénominateur dans a et b), on se ramène au cas entier. Les fractions n'étant que des entiers, à un changement d'unité près. Ce qui est très largement plus difficile est de montrer que cette formule ab de l'aire d'un rectangle de côtes a et b, reste valable même lorsque a et b sont irrationnels. Montrer cela est hautement non trivial et nécessite une véritable théorie de la MESURE (des aires), et donc le développement de toute la puissance de la théorie de l'Analyse. Et encore, à l'axiome du choix près.... Ainsi l'essentiel de la difficulté de démonter l'identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 était dans la compréhension du sens de ab, et donc à fortiori de a^2, b^2 et (a+b)^2. Et comme les babyloniens l'avaient très bien compris, au moins pour a et b entiers ou même rationnels, il ont enfin pu comprendre la raison (preuve) géométrique de cette identité remarquable toujours vraie. Ils se sont vite aperçu en effet, en faisant des DESSINS tout simplement de rectangles et de carrés, que le grand carré d'aire (a+b)^2 pouvait se DÉCOUPER en 4 morceaux symétriques : en DEUX CARRÉS PARFAITS a^2 et b^2, et en DEUX RECTANGLES ÉGAUX d'aire ab. Il suffit en effet de faire un dessin pour s'en apercevoir, moyennant que l'on sache tracer des angles droits pour dessiner rectangles et carrés. Bien entendu la preuve purement géométrique des babyloniens peut être faite de façon purement algébrique. Mais ça ils ne savaient pas le faire, faute de posséder la théorie des symboles qu'est l'Algèbre et les notations introduites par François Viète dont on se sert depuis, et qui rendent les calculs énormément plus simples et pratiques que les raisonnements exclusivement littéraires des Perses et Arabes du VIII ème siècle, comme ceux du mathématicien persan d'Al Kwarismi. Voilà donc déjà pour la compréhension de l'identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 dont TOUTE la raison d'être vient de l'interprétation de ab comme L'AIRE DU RECTANGLE de côté a et b, ainsi que de la propriété D'ADDITIVITÉ des aires (qui elle aussi est fondamentale et profonde). Il faut faire attention néanmoins qu'une telle identité, bien qu'universellement valide, ne s'applique pas forcément à toutes les situations. Par exemple si l'on travaille avec des grandeurs qui ne sont pas additives, comme la température, il faut faire attention à l'application correcte de l'algèbre dans ces cas délicats. Les températures en effet ne s'ajoutent pas. Mais ce sont leurs inverses qui s'ajoutent. En revanche les aires des surfaces sont bien ADDITIVES. Et donc l'identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 est vraie pour les AIRES. Aussi, ce n'est pas tant une identité portant sur des LONGUEURS, que sur les AIRES de surfaces.

[@dumainemarcel9112]

Bcp de digressions qui ne facilitent pas le suivi et la compréhension de la démonstration....🤪🤪

[@MathsEtoile]

Merci pour ton retour, je vais essayer de moins m'éparpiller :)