Polinomi per Olimpiadi della Matematica: Radici Razionali

[@annapiamazzeo8414]

Parlerai di come fattorizzare nei reali un polinomio? Te ne sarei molto grata

[@bassigiuseppe]

Grazie del consiglio! Tralasciando i metodi classici che si imparano a scuola (differenza di quadrati, differenza di cubi, trinomi di secondo grado e altri ancora), esistono altre scomposizioni più “olimpiche”, tra le quali ho mostrato le principali in questo video kzbin.info/www/bejne/r4mmaKCXrJ16qac. Non esistono sempre dei metodi: anzi, la maggior parte delle volte scomporre significa trovare una radice e poi applicare la divisione tra polinomi (o preferibilmente Ruffini). Ma trovare le radici di un polinomio, anche quando esistono reali, talvolta può risultare molto complesso. Dunque fattorizzare nei reali non è sempre facile.

[@annapiamazzeo8414]

@@bassigiuseppe grazie mille, tuttavia non riesco a capire questa cosa: alcune volte trovo polinomi che non hanno radici razionali, bensì irrazionali. Come faccio a fattorizzare opportunamente il polinomio in modo tale da trovare le radici irrazionali?

[@bassigiuseppe]

@@annapiamazzeo8414 Quello è uno dei casi in cui non ci sono propriamente metodi. Quello che stai chiedendo è fattorizzare per trovare le radici. Chiaramente il metodo più standard per fattorizzare è proprio trovare le radici risolvendo l’equazione P(x)=0. Per esempio, x^2+2x-1 si fattorizza dopo aver trovato le soluzioni dell’equazione x^2+2x-1=0, per la quale esiste una nota formula che al liceo si studia in seconda superiore (a quel punto, dette x1 e x2 le soluzioni, il polinomio si fattorizza come (x-x1)(x-x2). Oltre a questa via, non esistono metodi generali . Per esempio, x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2. Ora è una differenza di quadrati, dunque è fattorizzabile in R (2x^2 è un quadrato in R). In questo caso mi è bastato aggiungere e togliere una quantità opportuna e ho potuto fattorizzare, ma non sarà sempre così. Non esistono metodi generali. Anzi, si dà il caso che, se inventi un polinomio di 3° grado, per esempio x^3+2x+1, questo si fattorizzerà sempre in R. In pratica però, avendolo inventato senza criterio, la radice irrazionale (reale) avrà una forma complicatissima lungi dall’essere trovata senza conoscere la formula delle equazioni di terzo grado. Quindi x^3+2x+1, senza un computer o la formula delle equazioni di terzo grado (e molta pazienza), non si riesce a fattorizzare.

[@annapiamazzeo8414]

@@bassigiuseppe ahh ho capito, grazie mille

[@bassigiuseppe]

@@annapiamazzeo8414 nulla! ☺