Предел последовательности #25 lim(a^n/n!)=0

Рет қаралды 21,909

Valery Volkov

Күн бұрын

Пікірлер: 28

@vitiavol 5 жыл бұрын

спасибо большое! учусь в универе и завтра мат.анализ. Ваше доказательство буквально спасло!

@AlexeyEvpalov Жыл бұрын

Спасибо за понятное и подробное решение.

@gleboni Жыл бұрын

Спасибо большое за разбор! Могли бы вы рассказать, как научиться видеть такие решения? Как можно прийти к таким оценкам и так далее, а то когда только берёшься за задачу, ничего в голову не идёт

@МихаилКириллов-и6у 10 ай бұрын

Возьмём k+1 такое, что k+1>|a|, тогда, если заменить знаменатели начиная с k+1 на |a| (дробь увеличится), кроме n, т.о. всё до k+1 - константа, а после бесконечно малая, т.е. изначальная посл. при n-> беск. зажата между 0 и бескончено малой, т.о. по Лемме о двух городовых сама является бесконечно малой, т.е. стремится к нули, т.е. имеет предел равный нулю.

@조성혁-y4m 3 жыл бұрын

Best teacher good good

@ДарьяКузнецова-т5п 2 жыл бұрын

Спасибо!

@ValeryVolkov 2 жыл бұрын

Дарья, спасибо за донат!

@RomanMisakyan-mg8jl Жыл бұрын

ochen slojno

@ndimlovezacharielove7970 Жыл бұрын

Спасибо

@gh8499 6 жыл бұрын

спасибо за видео

@sergeiivanov5739 6 жыл бұрын

Не вижу смысла брать по абсолютной величине, поскольку степень и без того положительна, а факториал тем более. Речь идёт о поле действительных чисел, поэтому ясно, что a^n > 0 как для 0 < n < 1 так и для n > 1. Далее идея решения показать, что x_n = a^n/n! суть убывающая прогрессия, именно поэтому предел даст 0. Смотрим: a^n/n! = (a * a * … * a)/(1 * 2 * … * n) = a/1 * a/2 * … * a/n = = a/1 * a/2 * … * a/k * a/(k+1) * … * a/n. Ясно, что если a/k > 1 (а вдруг), то a/(k + 1) < 1, следовательно, все числа после a/k будут меньше 1. Отсюда следует, что имеем дело с убылью - предел даст 0, т. к. знаменатель будет расти. Примечательно выяснить истину неравенства a < n. Но оно очевидно, поэтому логично сказать, что коли a = const, то найдется такое число (с 1 до n), что a = k => a < k + 1.

@inna1294 2 жыл бұрын

Здравствуйте, а почему мы во втором способе взяли строго :k+1>2[a]?

@firstgoal9870 3 жыл бұрын

Спасибо за видео

@faust8th316 Жыл бұрын

Здравствуйте, разве не достаточно расписать эту формулу 1:02 и, используя формулу, говорящую о том, что предел произведения равен произведению пределов, заключить, что предел искомой последовательности равен нулю ?

@bladee5140 Жыл бұрын

интересная идея, но мне кажется так нельзя делать. Например, по такой логие lim(n/n) = lim(n) * lim(1/n) = 0, но это неверно

@ken1b 2 ай бұрын

@@bladee5140 так там не n же, а константа которая никуда не стремится

@bladee5140 Ай бұрын

Уже не понимаю, что я тогда написал, но нельзя перемножать, т.к. теорема о произведении пределов только для конечно числа пределов применима, если интересно@@ken1b

@РусланТопорков-й1п 3 жыл бұрын

не понял как там двойку в числитель подняли)

@oruelmaiklmaikl2179 6 жыл бұрын

математический анонизм .

@luckiest-nf6mq 2 жыл бұрын

ты о чём

@кириллсыроежкин-х1и 6 жыл бұрын

А нельзя ли было просто последний сомножитель представить как 0 (a/n стремится же к нулю)

@nobodyisperfect4937 4 жыл бұрын

+100500 !!

@gemeni0 3 жыл бұрын

Вы кажется доказали это уже в номере 30

@_G0R_ 2 жыл бұрын

Да, там был рассмотрен частный случай, для a = 2. Я еще тогда понял, что lim = 0, при любом а

@РоРо-ш8ч Жыл бұрын

а нельзя ли просто показать что функция факториала растет быстрее чем степенная?

@sergeiivanov5739 6 жыл бұрын

Гм! А через ряды нельзя... Действительно, ряд a_1 + … + a_n + … имеет сумму S, т. е. S = a_1 + … + a_n + … , которая суть предел частичной суммы, поэтому S = lim S_n. Но согласны ли Вы, что S - S = lim (S_n - S_n-1) = lim a_n = 0. И если данный предел не равен 0, то ряд расходится. Смотрим на вашу задачу: предел есть ноль. Значит докажем, что ряд расходится. Так думал я. Пока не вспомнил, что написал выше... В этом случае выясняется, что ряд мало того, что сходится, так его сумма равна e^a (разложите функцию e^x в ряд Тейлора, скажем). Кстати, сходимость подтверждается в этом случае как Раабе, так и Коши. И как исходя из e^a = a/1 + … + a^n/n! доказать, что ваш предел есть нуль? Да никак... Обычно помогает. Тут исключительно мажорируем общий член последовательно, ведь очевидно, что факториал растет быстрее - есть идея. Попробуем доказать. В силу a^n = e^(ln a^n) = e^(n ln a). Далее подгоняем числитель под знаменатель: n! = n! * (ln a)^n/(ln a)^n = 1/(ln a)^n * (n ln a)!. После этого имеем S = lim (ln a)^n * e^(n ln a)/(n ln a)! Положим t = n ln a и e^(n ln a)/(n ln a)! = e^t/t! Теперь у нас конкретное число - экспонента на факториал. Что растет быстрее? Взяв в руки калькулятор: e^10 = 22026.4657948, а 10! = 3628800. Внезапно :) Поэтому легко сказать, что lim e^(n ln a)/(n ln a)! = 0, но S нет, там бублик на бесконечность. Это неопределённость. берем в руки логарифм: ln S = lim n ln (ln a) + lim ln( e^(n ln a)/(n ln a)! ) = (ln (ln a)) lim n + (ln a) lim n - lim ln (n ln a)! = = (ln a + ln(ln a)) lim n - lim ln (n ln a)! = минус бесконечность. Почему? Правая бесконечность больше. Действительно, если ln k < k, то ln (n ln a)! < (n ln a)! а последнее больше, чем n. Тупо подставляя n = 1, 2, … , 00, можно убедится, что все верно. Будет накручиватся большое отрицательное число. Отсюда S = e^-oo = 1/e^00 = 1/00 = 0. Так, что мы доказали, что наш предел все равно есть 0. А значит a^n растет медленнее, чем факториал.