¿QUÉ hay DETRÁS de la REGLA DE L'HÔPITAL? - Demostración GRÁFICA y COMPLETA

¿Alguna vez te preguntaste POR QUÉ razón funciona la Regla de L´Hôpital? Pues aquí estoy para darte la respuesta, y lo mejor de todo: Será explicado GRÁFICAMENTE, con animaciones.
Mi objetivo no es demostrar que sé sobre un tema; mi objetivo es que aprendas, te diviertas con este contenido y que tengas un tema interesante para charlar con algún compañero o compañera a los que le gusten las Matemáticas o que directamente le parezcan interesantes este tipo de temas. :D
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FE DE ERRATAS:
1:05 En este minuto, debí decir: "Resultado" y no "indeterminación", son distintas según su definición.
6:36 Mínimos y máximos son distintos a los puntos de Inflexión; los puntos de inflexión dan información sobre el cambio en la concavidad.
6:55 Faltó una hipótesis respecto a este Teorema, dice que f(a) = f(b) en algún punto.
14:50 Faltó aclarar que el (c) entre f y g es distinto del (c) en p(x).
15:50 Cuando se toma el límite, gráficamente se muestra que es por la derecha; pero en realidad al considerar el intervalo cerrado, también estamos considerando el límite por la izquierda.
Créditos:
Producción, edición y documentación: Nicolás Caicedo.
Las animaciones presentadas en este video fueron hechas mediante la librería Manim (Mathematical Animation Engine) por procesos de programación mediante Python.
Marcas de tiempo:
0:00 Intro
0:26 Presentación
1:33 Historia rápida
2:18 Pendiente
4:13 Recta tangente
5:44 Teorema de Rolle
7:01 Aplicaciones
8:20 Ejemplo
9:24 TVM de Lagrange
11:28 TVM de Cauchy
13:45 Regla de L´Hôpital
17:14 Derivada - DF alternativa
18:50 Demostración rápida
20:10 Aclaración
20:58 Generalizaciones comunes de L´Hôpital
22:56 Generalizaciones exponenciales de L´Hôpital
26:50 Despedida
Desmos:
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Gráficas hechas con Desmos:
Estas gráficas fueron hechas con el fin de crear didáctica en el video mediante animaciones.
1. Recta:
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2. Teorema de Rolle:
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3. TVM de Lagrange:
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4. TVM de Cauchy:
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5. Regla de L´Hôpital:
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Videos y canales recomendados para aclarar dudas:
1. BlueDot:
Límites - Propiedades:
• ¿QUÉ HAY tras LAS FAMO...
2. lasmatematicas.es:
TVM de Lagrange:
• TEOREMA del VALOR MEDI...
Regla de L´Hôpital - Demostración formal:
• Regla de l'Hopital, DE...
3. unProfesor:
Regla de L´Hôpital - Generalizaciones:
• Regla de l'Hopital - D...
4. 1a con Berni:
Regla de L´Hôpital - Demostración rápida:
• B.22. La regla de L'Ho...
Idea general:
1. Dar a entender de dónde sale esta regla de manera sencilla.
2. Responder dudas muchas veces planteadas por los estudiantes.
3. Crear un entorno divertido mediante y durante la demostración.
4. Hacer algo distinto a lo habitual.
5. Impulsar a las personas a que piensen y descubran cosas por si mismas.
Fuentes que se usaron para realizar este video (Demostraciones más formales y rigurosas):
1. Forma alternativa de la derivada:
es.slideshare....
2. Teorema de Rolle:
es.wikipedia.o...
3. TVM de Lagrange:
es.wikipedia.o...
4. TVM de Cauchy:
www.fisicalab....
5. Regla de L´Hôpital:
www.google.com...
Algunos libros que recomiendo para profundizar en el tema:
1. Cálculo - James Stewart:
www.google.com...
2. Cálculo - Louis Leithold:
www.google.com...
#matemática #MoviendoElCoco #calculus #maths

[@jorgepinonesjauch8023]

😮 el Márquez de L' hopital el muy chanta le habría comprado a Bernouilli esa regla que posteriormente la patentó el fresco 😂😂

[@BlueDot96]

Buen video amigo!

[@NicoCaicedo]

ACLARACIÓN: Para entender este video, primero tienes que tener ciertos conocimientos previos; estos temas aparecen como recomendados en la descripción de este video. :D Servidor de Discord: discord.gg/hr6U7YUERm

[@axumassasin7606]

xfa sigue haciendo videos, gracias, quedo hermoso

[@doctorrare1259]

Maravilloso!!! De forma intuitova, podemos decir que la derivada f'(a) se aproxima como Δf/Δx en entornos cercanos a "a", lo mismo con g, después de todo, la derivada es el límite de un cociente. Como f(a)=0 (bajo hipótesis de continuidad), entonces Δf=f(x), y luego el cociente f(x)/g(x) se reescribe como [f(x)/Δx]/[g(x)/Δx], de ahí viene la idea de esta regla. Por supuesto, los teoremas de análisis son para formalizar esta idea intuitiva.

[@NicoCaicedo]

Era una interpretación que vi en el canal de 3Blue1Brown. Pero me fui más por una demostración que fuera un poco más intuitiva; es que no había visto ningún video que relacionara esos temas con animaciones. ¡Gracias por el comentario! :D

[@lagranb9178]

El teorema del valor medio de Cauchy establece que existe un punto "c" en donde f'(c)/g'(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], mas no necesariamente f y g cumplen en el mismo punto el teorema de Lagrange; por ende, es erróneo aplicarlo así y decir que se trata de rectas paralelas. Para que ello ocurra, habría que tomar intervalos donde f(a)=g(a) y f(b)=g(b), es decir, donde las graficas se corten para "a" y "b". Reemplazando en el teorema de Cauchy, si se verificaría.

[@NicoCaicedo]

Es correcto; supongo que también te estás refiriendo a la función p(x), de la cual existe el punto (c). Pero no necesariamente es el que cumple el TVM de Lagrange. En este caso si, pero no de manera general. Bien ahí. 👍

[@NicoCaicedo]

Y si te referías a la parte en la que daba el TVM de Cauchy, se cumple y general siempre y cuando se cumplan sus hipótesis.

[@Deku-nk4lt]

¡¡Fuaaaaaa amigo, INCREÍBLE video, es una joya!! Y la cereza del pastel para mi fue el final en donde muestras que esas 6 indeterminaciones son en sí la misma. ¡¡Espectacular!! Me venía preguntando el ¿por qué son exactamente 7 indeterminaciones y no más? ¿Cómo uno sabe cuando algo es una indeterminación? Esto que mostraste creo que en parte me resuelve esa duda. Espero sigas trayendo más videos, que de seguro serán igual de magníficos como este. ¡Saludos y éxitos!

[@NicoCaicedo]

Este tipo de comentarios son los que me motivan a seguir creando contenido, gracias. ;)

[@elcasbense11]

Buen video. Una cosa...los puntos de inflexión son donde la curva cambia de concavidad y no son necesariamente donde la pendiente es cero. Saludos

[@mauronaranjoorlando9236]

Estuvo buenisimo el video la verdad, super interesante y el extra fue algo que no esperaba, increible.

[@quantumskg4742]

Una tontería, pero la primera derivada igualada a cero te muestra puntos críticos. Los puntos de inflexión son cambios de concavidad en la función y se encuentran con la segunda derivada.

[@quantumskg4742]

Por cierto, muy buena la explicación del Teorema del Valor Medio Generalizado. No muchos dan demostración gráfica y con ella es mucho más fácil entender de dónde sale el teorema en cuestión.

[@joel-mu1zh]

Iba a poner lo mismo..pero ya ví tu comentario..que esos son llamados puntos críticos, no puntos de inflexión..los puntos de inflexión como tú dices son los cambios de concavidad

[@elkincampos3804]

Lo más importante que hay que dejar claro, es que la regla dice que si bajo esas hipótesis si lím f'/g' existe entonces lím f/g existe y son iguales, pero puede que lím f'/g' no exista y el de f/g exista.

[@NicoCaicedo]

Creo que eso sale gráficamente en el video de ver que las funciones son continuas en el intervalo; recuerdo cuando un compañero perdió un examen justamente por eso, jajaja.

[@santiagodevadillo6520]

que buen video, acordate que te falto una hipotesis del teorema de rolle, que dice que f(a)=f(b). Saludos

[@NicoCaicedo]

Ahh, claro que sí; con razón sentía que había una cosa que no me cuadraba de todo. Pensé que no era tan necesario, pera era justamente la conexión entre Rolle y Lagrange; lo pondré de una vez en el FE DE ERRATAS, ¡muchas gracias!

[@CARLESIUS]

Los puntos de inflexión no son los puntos donde la primera derivada de una función se anula. Esos son los puntos de máximos o mínimos. Los puntos de inflexión son los puntos donde la segunda derivada de una función se anula. Esos son los puntos donde se produce un cambio de concavidad, ya sea de concavidad que cambia desde ser hacia abajo a ser hacia arriba, o viceversa, un cambio de concavidad hacia arriba que cambia a hacia abajo. Por ejemplo las funciones seno y coseno siempre cambian de concavidad al cruzar el eje x.

[@LihuelxD]

Solamente tengo una palabra para decir: ÉPICO .

[@phipiok]

Mucho trabajo en este video. Felicitaciones! Solo para aclarar, 2/0 no es indeterminado, sino que da infinito (indefinido)... Muy bien 💪🏻 a seguir así

[@NicoCaicedo]

Esperaba a que alguien lo comentara, jajaja. La idea es que he visto a personas que les sale eso e igual aplican la regla como si nada. XD Igual y gracias por comentar. 👍

[@homiso9416]

Acabo de descubrir su videos, bro. esta muy buenos :D

[@Dadrios]

Este video es oro puro.

[@djalesiocieri391]

muchísimas gracias, capo, sos todo un pro explicando

[@PATRICKUSELESS]

muy buen video, cuenta en ascendencia.

[@jpvefa2493]

Sjkhsjkdhwjks a los 40 segundos ya me dí cuenta que también eres fan de Damián Pedraza, como yo. Te invito a que sigas y sigas haciendo videos, le haces un bien a la educación y a la divulgación matemática :3 Aún así cuidaaaado pq cualquiera que haya visto un video de Damián pensará que le estás copiando la forma de hablar. Y recalco específicamente: la forma de hablar sjkdwhkswd solo eso puede ser medio peligroso. Igual está bien que te inspires en un grande^^

[@NicoCaicedo]

Jajaja, dale que sí. La verdad es que hablamos muy distinto, supongo qué es porque él ha practicado con cursos y la experiencia también se hace notar. Xd El caso, seguimos con eso y ando preparando una serie para cuando acabe el evento de Matemática para la gente, un curso de Álgebra lineal en colaboración con parte de la comunidad de Damián. Eso porque queremos hacer cosas distintas, ya sabes. Álgebra lineal lleva cosas desde vectores y matrices hasta transformaciones del espacio. Complicado, pero es re interesante, jajaja. En fin, gracias por comentar, el objetivo siempre es traer contenido de calidad, mejorar durante el proceso y crear una comunidad basada en este tipo de valores y filosofía para la vida. :D

[@jpvefa2493]

@@NicoCaicedo ^^

[@Estebalej]

Es demasiado bueno el vídeo! llegó justo en el momento indicado, estaba tratando de demostrar el teorema de Cauchy para poder demostrar L'hôpital.

[@Estebalej]

Me quedé pensando en algo, en la demostración del teorema de Cauchy cuando utilizamos el TVM de Lagrange decimos que existe c que cumple que lo que dice el teorema. Pero, ¿qué nos asegura que ese valor c es el mismo en la función f y en la función g?

[@NicoCaicedo]

Lo colocaré directamente en el Fe de Erratas, son puntos (c) distintos. Se ve gráficamente, pero me faltó aclararlo. ¡Gracias por el comentario! : D

[@roquefabian.2099]

Excelente video amigo 😊 oye, me gusta mucho la portada foto de portada de tu canal ¿Me podrias compartir la imagen original?

[@NicoCaicedo]

No sabría para qué; pero bueno, ahí está en el canal, le puedes tomar captura o algo.

[@roquefabian.2099]

@@NicoCaicedo Era para portada de mi facebook pero muchas gracias por nada, ya encontré la imagen completa en Google.

[@NicoCaicedo]

@@roquefabian.2099 ¿Cómo? JAJAJAJA.

[@roquefabian.2099]

@@NicoCaicedo Un buen Google lens resuelve todo XD, la imagen original es bastante grande

[@mochueloDDD]

Muchas gracias por tan buen contenido. ¿Con qué programa realizas las animaciones?

[@NicoCaicedo]

¡Muchas gracias! Ya anda en proceso el próximo video. :D En la descripción, específicamente en los créditos, menciono a "Manim"; una librería para Python que me permite realizar las animaciones mediante programación. Lo usan muchos KZbinrs; por poner unos ejemplos: MatesMike, 3Blue1Brown, BlueDot, etc.

[@sergiogaleano4185]

Buen video, buen trabajo, muchas gracias.

[@elingesauriogalvez]

¿Estás empezando a hacer videos? ¡Me agrada mucho tu explicación desde las bases! :D

[@NicoCaicedo]

Sí, ¡y vamos por más! :D

[@Carlotesss]

Genial, excelente contenido

[@daniortiz3927]

Me había obsesionado con la demostraciondel teorema, ningun libro me llego a resultar suficiente.

[@WERR-l1o]

Clarisimo, osea que si la recta es la linea de X, y quien dice la pendiente Y es una función clara de m. No hay manera de decrecer la imaginacion creciente de los gobiernos derivados en una izquierda que hace decrecer la economía. Eso explica los intervalos fisicos de Taylor, que como no entendia nada prefirio ser cantante ahora es totalmente independiente Taylos Swift

[@NicoCaicedo]

Complemente de acuerdo, tal cual. XD

[@MichaelKing-97]

Excelente material!!!!

[@sergiogaleano4185]

La segunda demostracion de la regla haciendo g(a)= f(a)=0 es brutal, literalmente hablando xD

[@santiagovelasquez2578]

Un videazo!

[@kamyjn28]

Excelente 👌

[@moises5102]

O vídeo é muito e você possui grande desenvoltura, a única coisa que achei ruim foi o letreiro

[@NicoCaicedo]

Muito obrigado! :D Estou experimentando para ver o que fica melhor, principalmente sendo original.

[@moises5102]

@@NicoCaicedo o vídeo está nota 10, seu domínio da matéria é esplêndido, mas o letreiro da sua narrativa tira o foco do principal. Mas parabéns.

[@moises5102]

@@NicoCaicedo 🇧🇷🇧🇷🇧🇷

[@NicoCaicedo]

@@moises5102 Vou levar isso em consideração para a próxima vez, você me ajuda a melhorar. :)

[@ZyredX]

El más duro Nico,saludos desde el tomas!! 🙏

[@jorgeluisdebortoli8844]

muy buena calidad la del video

[@matiasamar7232]

El teorema de rolle te faltó decir que a y b son iguales

[@andresroa6678]

Tremendo👌

[@juliandelgadoalducin]

nuevo sub, muy buen video

[@danielguajardo986]

Lo del teorema del valor medio generalizado de Cauchy, cuando expusiste esos gráficos, no me cuadró. Es decir, asumiste que siempre existe un punto c tal que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) y, al mismo tiempo, g'(c)=(g(b)-g(a))/(b-a), y esa afirmación es falsa. Considera f(x)=x² y g(x)=x³ en el intervalo [0,1] como contraejemplo.

[@NicoCaicedo]

Asumiendo que existe y que cumple con la condición, siempre debería existir algún punto que cumpla con dicho teorema; por eso es que la gráfica está a escala. Pero igual gracias por ser tan crítico, me ayudas a mejorar. :D

[@danielguajardo986]

@@NicoCaicedo ahora, si te sirve, igual yo conocía un método no gráfico para demostrar el teorema generalizado (no lo recuerdo bien, pero debe estar en mis apuntes) que implicaba "inventar" una nueva función algo rebuscada y a ésta aplicarle el teorema del valor medio y con ello concluir el teorema generalizado.

[@danielguajardo986]

@@NicoCaicedo ahora, ciertamente puede demostrarse el teorema generalizado con este método gráfico siempre que la condición de tangentes paralelas se cumpla (yo lo encontré bueno). Lo único que me chocaba es que, como esa condición no se cumple siempre, en matemáticas no podríamos decir que el teorema generalizado funciona para todas las funciones, sino que sólo para un par que cumpla la hipótesis.

[@NicoCaicedo]

@@danielguajardo986 El objetivo con mi video era justamente hacerlo de manera distinta a la habitual.

[@NicoCaicedo]

@@danielguajardo986 Se cumple siguiendo las hipótesis, es correcto. Igualmente, es válido para demostrar la regla de L'Hôpital.

[@agudeloyt]

Nico a los 60 subd❤

[@agudeloyt]

Vamos nicolas🎉

[@SirIvan13]

se nota el esfuerzo para hacer el video, pero no me queda muy claro aun con la explicación

[@NicoCaicedo]

Puede que te hagan falta algunos conocimientos previos, puedes encontrarlos como recomendaciones en la descripción. Luego puedes volver para aclarar tus dudas. : D

[@benjaminojeda8094]

que mal video, creí que sería la demostración completa de l'hopital, pero solo demuestra un caso y no, el que las otras indeterminaciones puedan ser transformadas en el 0/0 no es la demostración de la que hablo, l'hopital puede ser usado en infinito / infinito sin hacerle ninguna transformacion

[@NicoCaicedo]

Tremendo. La verdad es que hago lo que puedo con lo que entiendo y puedo comunicar; tal vez en algún "remake" o próximo video pueda interpretar eso. Por el momento, gracias por el comentario, siempre trato de mejorar. : D

[@biolinux2307]

Like y a favoritos !!

[@ziggyop3326]

Por que 1/x lim x->0 =infinito ???

[@NicoCaicedo]

Analizando la gráfica, puedes darte cuenta de que el límite no existe; ya que en la función 1/x cuando x - 0, esta tiende a +inf o -inf dependiendo de si te acercas por la izquierda o por la derecha.

[@NicoCaicedo]

Acá te dejo un video que lo explica con más detalle: kzbin.info/www/bejne/anaUeKqdq5xsiJosi=o9U9lSkv26SW8t9D

[@ziggyop3326]

​@@NicoCaicedopor eso pregunto , en la demostracion de que infinito/infinito es igual a 0/0 utilizas que lim x->a 1/f(x)= infinito

[@NicoCaicedo]

@@ziggyop3326 Es correcto, tomando en cuenta a la división, puedes darte cuenta de que en los dos casos (-inf/-inf), (inf/inf), la división da positivo y de ahí sale la igualdad.

[@adelaidaflorez2861]

buen vídeo para ti 1 es primó o no me gustaría una respuesta tu ya att jhonny Angarita

[@NicoCaicedo]

Jajaja, yo pienso que el 1 es primo por propiedades e historia; igual y solo es una opinión. En fin, gracias por el comentario. :D Acá un video que lo explica (lo del 1 primo): kzbin.info/www/bejne/j3PWe2OmZ7SfpKM

[@adelaidaflorez2861]

@@NicoCaicedo iré a ver lo Yo pienso hacer un vídeo donde lo de muestro muy bueno tu vídeo att jhonny Armando Angarita Florez

[@adelaidaflorez2861]

@@NicoCaicedo ya lo vi antes parecé que tienes los mismos youtuber que Yo agregados att jhonny

[@NicoCaicedo]

@@adelaidaflorez2861 ¡Excelente! Lo más importante es empezar, ser original y mejorar cada día más. :)

[@samuelbetancur2734]

Blue label🗿

[@isaacospina6185]

Primer comentario